精品解析：云南省开远市第一中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

云南省开远市第一中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章～第八章，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. －2 4. 若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直 5. 如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. B C. 复数的实部与虚部不相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 若，则共面 11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. B 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 二面角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 13. 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的外接圆的面积为__________. 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量的夹角的正弦值. 16. 设函数. （1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （2）求在上的最值. 17. 在锐角中，内角的对边分别为且. （1）求角； （2）求的面积的取值范围. 18. （1）若，，求的值； （2）已知，，， ，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，. （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省开远市第一中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章～第八章，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，所以. 故选：A 2. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解. 【详解】关于平面的对称点为. 故选：B 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直转化为数量积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，且， 所以, 则，所以， 故选：B． 4. 若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质推理即得. 【详解】由直线平面，直线平面，得直线直线. 故选：D 5. 如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得旋转形成的几何体为圆台，结合圆台体积公式计算即可得. 【详解】易得旋转形成的几何体为圆台， 所以. 故选：C. 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知有或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解即可. 【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且， 则在区间上单调递减，且， 由，得或， 即或，解得或， 综上所述，满足原不等式的的取值范围是. 故选：A. 8. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 复数的实部与虚部不相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由复数的四则运算以及模的计算公式直接验算即可；对于B，由共轭复数的概率和复数加法验算即可；对于C，直接由复数的实部、虚部的概念即可判断；对于D，由复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A，由题意知，则，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，复数的实部为，虚部为，故C正确； 对于D，复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 若，则共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C. 【详解】A：，又，故A错误； B：，则，故B正确； C：因为，所以， 所以，故C正确； D：因为，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A B. 平面 C. 异面直线与所成的角的取值范围是 D. 二面角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线线角的向量求法判断C，利用二面角的向量求法判断D即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2， 故,,，，， 所以，， 对于A，，，故， ，因为，共线， 所以，故， 故，而， 所以，故A正确， 对于B，而，化简得， 故，， 而，， 设面的法向量为，可得， 所以，令，解得， 故，则， 可得平面，故B正确， 对于C，，， 设异面直线与所成的角为，， 所以， 当时，， 而时，令， 因为，可得， 故，得到，故C错误， 对于D，已知面的法向量为， 设面的法向量，所以， 故，令，解得， 故，设二面角为， ，故，而， 而，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，由线线角的向量求法表示出线线角． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由斜二测画法的知识求解． 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而， 则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，如图． 所以四边形的面积为． 故答案为： 13. 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的外接圆的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形面积公式平方关系公式、正弦定理计算可得答案. 【详解】因为的面积为，所以， 根据余弦定理得即，即， 又，所以， 设的外接圆的半径为，所以，解得， 所以的外接圆的面积为. 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量的夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果； （2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值. 【小问1详解】 因为，且， 所以，. 解得， 所以； 【小问2详解】 设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，， 所以，得. 16. 设函数. （1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； （2）求在上的最值. 【答案】（1）；； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案； （2）利用函数的单调性求出最值． 【小问1详解】 因为， 令，解得， 所以的对称轴方程为， 令，得， 可得函数图象的对称中心的坐标为； 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，，故 17. 在锐角中，内角的对边分别为且. （1）求角； （2）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； 【小问2详解】 由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 18. （1）若，，求值； （2）已知，，， ，求值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式及同角三角函数关系式可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，， 所以； （2）因为，，所以， 又，，且， 所以，因为， 所以， 又，而在上单调递减，则， 所以， 由 ， 又，所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，. （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件判定垂直关系，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量求得两平面的法向量计算即可. 【小问1详解】 分别取中点，连接， 由已知底面是直角梯形，，，， 易得， ∵平面平面，平面平面， ∴， 以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意知为等腰直角三角形，，, 则， ∴， ∵， ∴， 显然是平面的一个法向量， 若平面，则， 即； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时， ∴， 设分别为平面与平面的一个法向量， 则有，， 不妨令，则， 则， 设平面与平面的夹角为， 故, 即平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $