5.4　分式方程 暑假题型专练2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 5.4　分式方程 暑假题型专练 一、分式方程的一般解法 1.分式方程的解为（　　） A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=﹣1 2.已知与的值互为倒数，则x的值为（　　） A.﹣1 B.0 C. D.1 3.解分式方程，下列解题步骤中，错误的是（　　） A.方程的最简公分母是x2-1 B.方程两边乘以(x2-1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 C.解B项中整式方程，得x=1 D.原方程的解为x=1 4.当x=　　　　时，分式与另一个分式的倒数相等. 5.若分式与（x﹣4）互为倒数，则x=　    　． 6.将a，b，c，d排成两行、两列，两边各加上一条竖线，记作，定义=ad﹣bc，上述就叫做二阶行列式，根据以上定义解方程=3． 7.解方程： （1）； （2）． 二、用换元法解分式方程 1.用换元法解方程，若设，则方程可化为（　　） A.a2+a+2=0 B.a2﹣a+2=0 C.a2﹣a﹣2=0 D.a2+a﹣2=0 2.若1﹣+=9，则的值是（　　） A.4 B.﹣2 C.4或﹣2 D.±3 3.用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程（　　） A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11 4.用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　     ． 5.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　        　． 6.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0， 因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1， ∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1）， 解得x=， 检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面， ∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1， 此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 7.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 三、用待定系数法确定字母的取值范围 1.若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　） A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2 2.若关于x的方程=有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（　　） A.c B. C. D. 3.分式方程=0解的情况是（　　） A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解 4.若关于x的方程的解不大于8，则m的取值范围是　   　． 5.要使关于x的方程=的解是正数，a的取值范围是　   　． 6.已知关于x的分式方程=1的解是非正数，求a的取值范围. 7.（1）若k是正整数，关于x的分式方程+=1的解为非负数，求k的值； （2）若关于x的分式方程﹣=总无解，求a的值． 四、分式方程的增根 1.若关于x的方程没有增根，则m的值不可能是（　　） A.3 B.2 C.1 D.﹣1 2.从3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（　　）. A. B.3 C.﹣3 D.﹣ 3.若解分式方程产生增根，则m的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣4 D.﹣5 4.若关于x的方程+=有增根，则k的值为　    　． 5.关于x的方程无解，则k的值为　    　． 6.计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 7.已知关于x的分式方程. （1）若方程的增根为x=1，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值； （3）若方程无解，求m的值． 五、行程问题 1.某市实现列车升级，并且升级后列车从A地到B地的行驶路程比原路程缩短25千米，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从A地到B地的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从A地到B地的行驶路程为175千米，则列车升级后的速度为（　　） A.45千米/小时 B.60千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时 2.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.其中父亲的骑行速度大于儿子的速度，且相较于同向行驶，反向行驶时相遇的频率增大11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　） A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 3.一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行90 km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 4.A，B两地相距135千米，两辆汽车均从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车早到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5﹕2，若小汽车的速度为5x千米/小时，则可列方程为              . 5.A，B两地相距10 km，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到h.设乙的速度为x km/h，可列方程为　　　　　　. 6.某市为促进经济发展，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度． 7.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？ 六、工程问题 1.甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 2.为了维修某高速公路需开凿一条长为1 300米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿10米，且甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿（　　） A.20米、30米 B.30米、20 米 C.40米、30米 D.20米、50米 3.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x套，则根据题意可得方程为（　　） A. B. C. D. 4.某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是　　       ． 5.甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同．已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意列方程　　        ． 6.在某市地铁一号线施工建设中，安排甲、乙两个工程队完成某路段的铁轨铺设任务，该路段全长3 600米．已知甲队每天铺设铁轨的长度是乙队每天铺设铁轨长度的1.5倍，并且甲、乙两队分别单独完成600米长度路段时，甲队比乙队少用10天． （l）求甲、乙两个工程队每天各能铺设铁轨多少米？ （2）若甲队每天施工的费用为4万元，乙队每天施工的费用为3万元，要使甲、乙两队合作完成该路段全长3 600米的总费用不超过520万元，则至少应安排甲队施工多少天？ 7.小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同． （1）求小王平均每分钟清点图书的本数； （2）周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3 600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？ 七、其他（利润）问题 1.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（　　） A. B. C.=5 D. 2.“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（　　） A.2元 B.2.5元 C.3元 D.5元 3.某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50 000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 4.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 5.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 6.某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？ 7.某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享自行车”，这批自行车包括A，B两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价 该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两款自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A，B两款自行车的单价各是多少？ 问题2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a辆“共享自行车”，乙街区每1 000人投放辆“共享自行车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值． 北师大版八年级下册 5.4　分式方程 暑假题型专练（参考答案） 一、分式方程的一般解法 1.分式方程的解为（　　） A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=﹣1 【答案】B 【解析】去分母，得2x=3x﹣3，解得x=3， 经检验，x=3是分式方程的解． 故选：B. 2.已知与的值互为倒数，则x的值为（　　） A.﹣1 B.0 C. D.1 【答案】A 【解析】由题意得×=1， 原方程可化为=1， 方程的两边同乘x﹣5，得2x﹣4=x﹣5， 解得x=﹣1． 检验：把x=﹣1代入（x﹣4）（x﹣5）=30≠0，∴原方程的解为x=﹣1． 故选：A. 3.解分式方程，下列解题步骤中，错误的是（　　） A.方程的最简公分母是x2-1 B.方程两边乘以(x2-1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 C.解B项中整式方程，得x=1 D.原方程的解为x=1 【答案】D 【解析】经检验，当x=1时，x2-1=0，所以原分式方程无解. 故选：D. 4.当x=　　　　时，分式与另一个分式的倒数相等. 【答案】10 【解析】由题意得=，解得x=10，经检验，x=10是原方程的解. 5.若分式与（x﹣4）互为倒数，则x=　    　． 【答案】2.5 【解析】∵分式与（x﹣4）互为倒数，∴×（x﹣4）=1， 方程两边同乘2（2x+1），得x﹣4=2（2x+1）， 解得x=﹣2． 检验：把x=﹣2代入2（2x+1）=﹣6≠0，即x=﹣2是原分式方程的解． 6.将a，b，c，d排成两行、两列，两边各加上一条竖线，记作，定义=ad﹣bc，上述就叫做二阶行列式，根据以上定义解方程=3． 【答案】解：由=3，得=3，解得x=4， 经检验，x=4是原行列式方程的解． 7.解方程： （1）； （2）． 【答案】解：（1）去分母，得x﹣5=2x﹣5， 解得x=0， 经检验，x=0是分式方程的解. （2）去分母，得8+x2﹣1=x2+4x+3， 移项、合并同类项，得4x=4， 解得x=1， 经检验，x=1是增根，分式方程无解． 二、用换元法解分式方程 1.用换元法解方程，若设，则方程可化为（　　） A.a2+a+2=0 B.a2﹣a+2=0 C.a2﹣a﹣2=0 D.a2+a﹣2=0 【答案】C 【解析】原方程化为a2﹣a=2，移项得a2﹣a﹣2=0． 故选：C. 2.若1﹣+=9，则的值是（　　） A.4 B.﹣2 C.4或﹣2 D.±3 【答案】C 【解析】令=y，则原方程可化为1﹣2y+y2=9，（y﹣1）2=9， 所以y﹣1=3或y﹣1=﹣3，解得y=4或y=﹣2． 故选：C. 3.用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程（　　） A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11 【答案】A 【解析】把代入原方程，得+3y=11． 方程两边同乘y，得3y2﹣11y+8=0． 故选：A. 4.用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　     ． 【答案】3y+= 5.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　        　． 【答案】y2﹣3y﹣2=0 【解析】根据题意得y﹣=3，去分母得y2﹣3y﹣2=0． 6.先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0， 因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1， ∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1）， 解得x=， 检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面， ∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1， 此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 【答案】解：x2++x+=0， （x+）2+x+﹣2=0， 设x+=a，则原方程化为a2+a﹣2=0， 解得a=﹣2或a=1， 当a=﹣2时，x+=﹣2，x2+2x+1=0， 解得x=﹣1， 经检验x=﹣1是原方程的解； 当a=1时，x+=1，x2﹣x+1=0， 此方程无解； 综上所述，原方程的解为x=﹣1． 7.阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 【答案】解：（1）解是x1=c，x2=， 经检验，c和是原方程的解. （2）原方程可化为x-1+，根据题意得x-1=a-1或x﹣1=， ∴x1=a，x2=1+=． 三、用待定系数法确定字母的取值范围 1.若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　） A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2 【答案】A 【解析】∵有理数m满足+2=0，∴=﹣2，∴m是负数，并且比﹣1小，∴B，C，D错误，A正确. 故选：A. 2.若关于x的方程=有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（　　） A.c B. C. D. 【答案】C 【解析】去分母得（x2﹣bx）（m+1）=（ax﹣c）（m﹣1）， 整理得（m+1）x2﹣b（m+1）x=amx﹣ax﹣cm+c， 即（m+1）x2﹣（bm+b-a+am）x+cm﹣c=0， 由方程有绝对值相同，符号相反的两个根，得=0，整理得m=. 故选：C. 3.分式方程=0解的情况是（　　） A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解 【答案】C 【解析】方程两边都乘（x+5）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+5）=0， 化简，得2x=8， 解得x=4， 经检验，x=4是原分式方程的解. 故选：C. 4.若关于x的方程的解不大于8，则m的取值范围是　   　． 【答案】m≥﹣18且m≠0 【解析】去分母，得2﹣x﹣m=2x﹣4，解得x=， 由题意得解得m≥﹣18且m≠0， 则m的取值范围是m≥﹣18且m≠0. 5.要使关于x的方程=的解是正数，a的取值范围是　   　． 【答案】a＜﹣1且a≠﹣3 【解析】去分母，得（x+1）（x﹣1）﹣x（x+2）=a，解得x=﹣； 因为解是正数，所以﹣＞0，即a＜﹣1； 又因为分式方程的分母不能为零，即﹣≠1且﹣≠﹣2，所以a≠±3； 则a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣3. 6.已知关于x的分式方程=1的解是非正数，求a的取值范围. 【答案】解：方程两边同乘x+1，得a+2=x+1，解得x=a+1. 由即解得a≤-1且a≠-2. 7.（1）若k是正整数，关于x的分式方程+=1的解为非负数，求k的值； （2）若关于x的分式方程﹣=总无解，求a的值． 【答案】解：（1）去分母，得（x+k）（x﹣2）﹣k（x+2）=x2﹣4， 整理得x=2﹣2k， 由x为非负数，得2﹣2k≥0，即k≤1， 由k为正整数，得k=1. （2）去分母，得3﹣x﹣a（x﹣2）=﹣2，即（a+1）x=2a+5， 当a=﹣1时，显然方程无解； 当a≠﹣1时，x=， 当x=2时，a不存在； 当x=3时，a=2， 综上所述，a的值为﹣1，2． 四、分式方程的增根 1.若关于x的方程没有增根，则m的值不可能是（　　） A.3 B.2 C.1 D.﹣1 【答案】B 【解析】将分式方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0， 把x=1代入m﹣1﹣x=0，得m-1-1=0，解得m=2． 因为原分式方程没有增根，所以m≠2． 故选：B. 2.从3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（　　）. A. B.3 C.﹣3 D.﹣ 【答案】C 【解析】解不等式组得 由不等式组无解，得到a≤1， 分式方程去分母，得x+a﹣2=﹣x+3，解得x=， 由a取自于3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，且使得分式方程有整数解，到a=3，﹣1（此时x=3，舍去），1，﹣3， ∵a≤1，∴a=1，﹣3． 则这5个数中所有满足条件的a的值之积为﹣3. 故选：C. 3.若解分式方程产生增根，则m的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣4 D.﹣5 【答案】D 【解析】方程两边都乘（x+4），得x﹣1=m， ∵原方程增根为x=﹣4，∴把x=﹣4代入整式方程，得m=﹣5. 故选：D. 4.若关于x的方程+=有增根，则k的值为　    　． 【答案】﹣ 【解析】去分母，得x+2+k（x﹣2）=3， 整理得（k+1）x=1+2k， ∵方程有增根，∴最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，∴x=2或x=﹣2， 当x=2时，2（k+1）=1+2k，方程无解； 当x=﹣2时，﹣2（k+1）=1+2k，解得k=﹣. 5.关于x的方程无解，则k的值为　    　． 【答案】﹣4或6或1 【解析】去分母得2x+4+kx=3x﹣6，即（k-1）x=-10， 当k=1时，方程化简得4=﹣6，无解，符合题意； 由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2， 把x=2代入整式方程得2(k-1)=-10，即k=﹣4； 把x=﹣2代入整式方程得﹣2(k-1)=-10，即k=6， ∴k的值为-4或6或1. 6.计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【答案】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣5（x+1）=m， 化简，得m=﹣3x﹣7． 分式方程的增根是x=1或x=﹣1． 当x=1时，m=﹣3﹣7=﹣10， 当x=﹣1时，m=3﹣7=﹣4， 当m=﹣10或m=﹣4时，关于x的方程会产生增根． 7.已知关于x的分式方程. （1）若方程的增根为x=1，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值； （3）若方程无解，求m的值． 【答案】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣1）， 去分母并整理，得（m+1）x=﹣5， （1）∵x=1是分式方程的增根， ∴1+m=﹣5， 解得m=﹣6. （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）=0， 解得x=﹣2或x=1， 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6. （3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解， 由（2）得m=﹣6或m=1.5， 综上所述，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 五、行程问题 1.某市实现列车升级，并且升级后列车从A地到B地的行驶路程比原路程缩短25千米，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从A地到B地的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从A地到B地的行驶路程为175千米，则列车升级后的速度为（　　） A.45千米/小时 B.60千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时 【答案】D 【解析】设列车原来的行驶速度是x千米/小时，则升级后的速度为x千米/小时， 根据题意得，解得x=70， 经检验，x=70是原方程的解， 则x=×70=100，∴列车升级后的速度为100千米/小时． 故选：D. 2.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.其中父亲的骑行速度大于儿子的速度，且相较于同向行驶，反向行驶时相遇的频率增大11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　） A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 【答案】B 【解析】设父亲的速度为x，则两人同向行驶时，相遇所用的时间为， 反向行驶时，相遇所用的时间为， 由题可知同向行驶的相遇时间是反向行驶相遇时间的11倍， 可得方程=11×，解得x=1.2v， 经检验，x=1.2v是所列分式方程的解，所以父亲的速度为1.2v. 故选：B. 3.一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行90 km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 4.A，B两地相距135千米，两辆汽车均从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车早到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5﹕2，若小汽车的速度为5x千米/小时，则可列方程为              . 【答案】+=+5 5.A，B两地相距10 km，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到h.设乙的速度为x km/h，可列方程为　　　　　　. 【答案】 6.某市为促进经济发展，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度． 【答案】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得，解得x=70， 经检验，x=70是原方程的解． ∴汽车原来的平均速度70 km/h． 7.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？ 【答案】解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步， 根据题意得，解得x=30． 经检验，x=30是原方程的解． ∴小红每消耗1千卡能量需要行走30步. 六、工程问题 1.甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得． 故选：A. 2.为了维修某高速公路需开凿一条长为1 300米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿10米，且甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿（　　） A.20米、30米 B.30米、20 米 C.40米、30米 D.20米、50米 【答案】B 【解析】设乙工程队每天能开凿x米，那么甲工程队每天能开凿（x+10）米，依题意得， 解得x=20，经检验，x=20是原方程的解，20+10=30（米）， 所以甲工程队每天能开凿30米，乙工程队每天能开凿20米． 故选：B. 3.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x套，则根据题意可得方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设原计划每天加工x套，则提高效率后每天加工（1+20%）x套，由题意得+=18． 故选：A. 4.某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是　　       ． 【答案】 【解析】小李每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣（x+8）个物件，根据题意得． 5.甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同．已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意列方程　　        ． 【答案】 【解析】设甲每天完成x个零件，则乙每天完成（x﹣4）个零件，根据题意得. 6.在某市地铁一号线施工建设中，安排甲、乙两个工程队完成某路段的铁轨铺设任务，该路段全长3 600米．已知甲队每天铺设铁轨的长度是乙队每天铺设铁轨长度的1.5倍，并且甲、乙两队分别单独完成600米长度路段时，甲队比乙队少用10天． （l）求甲、乙两个工程队每天各能铺设铁轨多少米？ （2）若甲队每天施工的费用为4万元，乙队每天施工的费用为3万元，要使甲、乙两队合作完成该路段全长3 600米的总费用不超过520万元，则至少应安排甲队施工多少天？ 【答案】解：（1）设乙工程队每天铺设铁轨x米，则甲工程队每天铺设铁轨1.5x米. 根据题意得， 解得x=20，经检验，x=20是原方程的解． 1.5x=1.5×20=30. ∴甲工程队每天铺设铁轨30米，乙工程队每天铺设铁轨20米. （2）设安排甲队施工a天，根据题意得4a+×3≤520，解得a≥40， ∴至少安排甲队施工40天． 7.小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同． （1）求小王平均每分钟清点图书的本数； （2）周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3 600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？ 【答案】解：（1）设小王平均每分钟清点图书x本，则小李平均每分钟清点，图书（x-5）本， 由题意得，解得x=15， 经检验，x=15是原分式方程的解， ∴小王平均每分钟清点图书15本. （2）设小王清点y本图书才能离开， ≤3×60，解得y≥1 800， ∴小王至少清点1 800本图书才能离开． 七、其他（利润）问题 1.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（　　） A. B. C.=5 D. 【答案】A 2.“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（　　） A.2元 B.2.5元 C.3元 D.5元 【答案】B 【解析】设乙商品的单价是y元，则甲商品的单价为（1+20%）y元，依题意得， 解得y=2.5， 经检验，y=2.5是分式方程的解，且符合题意， ∴乙种商品单价是2.5元． 故选：B. 3.某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50 000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 4.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 【答案】 5.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 【答案】-= 【解析】周三买的牛奶的单价为，周日买的牛奶的单价为，所列方程为-=． 6.某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？ 【答案】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元， 由题意得，解得x=50． 经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义，x-5=45， ∴乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元． （2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件， 由题意得解得23＜y≤25． ∵y为正整数，∴y=24或25， 当y=24时，3y-5=67； 当y=25时，3y-5=70， ∴共有两种方案： 方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件； 方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件． 7.某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享自行车”，这批自行车包括A，B两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价 该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两款自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A，B两款自行车的单价各是多少？ 问题2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a辆“共享自行车”，乙街区每1 000人投放辆“共享自行车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值． 【答案】解：问题1 设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元， 依题意得50x+50（x+10）=7 500，解得x=70， ∴x+10=80（元）， ∴A，B两款自行车的单价分别是70元和80元. 问题2 由题可得×1 000+×1 000=150 000，解得a=15， 经检验，a=15是所列方程的解， 故a的值为15． 学科网（北京）股份有限公司 $$