17.2勾股定理的逆定理练习2024-2025学年人教版八年级数学下册

17.2 勾股定理的逆定理 练习 一、单选题 1．若下列各组数是三角形的三边长，则能组成直角三角形的一组数是（    ） A．2，3，4 B．5，12，13 C．7，8，9 D．10，12，15 2．以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（   ） A．1，2，5 B．6，7，8 C．1，1， D．2，，3 3．如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ） A． B． C． D． 4．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 6．在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（   ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏西方向 7．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，对边分别是a，b，c，下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 9．下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（   ） A． B． C． D． 10．用3根小木棒首尾相接拼成一个直角三角形，则符合条件的三根木棒长度可以是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 11．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 二、填空题 13．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格中，连接，下列结论正确的是 ．（填序号） ①，②是直角三角形，③，④． 14．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 15．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 16．，， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的 方向上． 三、解答题 17．如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 19．劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 20．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D C A B B C 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A.，不能组成直角三角形，故不符合题意； B.，能组成直角三角形，故符合题意； C.，不能组成直角三角形，故不符合题意； D.，不能组成直角三角形，故不符合题意； 故选B． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理判定直角三角形，掌握勾股定理逆定理的计算是关键． 运用勾股定理逆定理的计算判定直角三角形即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C ． 3．B 【分析】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握勾股定理与网格，全等三角形的判定和性质是关键． 如图，连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴能判定为直角三角形； B．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； C．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形；     D．∵， ∴， ∴不能判定为直角三角形． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方位角，解题的关键是利用勾股定理的逆定理求出，再求出，再根据方位角求解即可． 【详解】解：在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里， ， 所以， 在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，如下图： ， ， 则灯塔O位于渔船B的北偏西方向， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理逆定理；由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵，设，，， ∵， ∴， 解得：， 则， 所以不是直角三角形，故此选项符合题意； C、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不合题意； D、∵ 设，，， ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意． 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理及三角形内角和进行排除选项． 【详解】解：A、由可设，则有，所以该三角形是直角三角形，故不符合题意； B、由结合可知：最大角为，不是直角三角形，故符合题意； C、由及可知：，所以该三角形是直角三角形，故不符合题意； D、由可设，则有，所以该三角形是直角三角形，故不符合题意； 故选B． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 11．D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 12．C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 13．①②④ 【分析】此题主要考查了正三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．设正三角形的边长为a，分别求出和的长，即可判断出． 【详解】解：过A作于E，过B作交的延长线于F，如图， 设正三角形的边长为a，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，故①正确； 同理可得，，， ∴， 在中，， 又， ∵ ∴ ∴是直角三角形，故②正确； ∵，是直角三角形，且， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∴正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 14．7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 15．135 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质，过点作，连接，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，连接， 由勾股定理得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．正南 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，能够利用直角三角形判断方向角．由题中数据可得为直角三角形，所以点，在一条垂线上，进而可得出其方向角． 【详解】解：， 为直角三角形， 地在地的正南方向上， 故答案为：正南． 17．(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而得出结论； （2）先求出，再根据勾股定理求出的长，结合题意根据求出结果即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的长为14． 18．(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，； （2）设米，若点恰好在边的垂直平分线上， 则米，米， 在中，， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，，， 在中，根据勾股定理，得， 答：蔬菜区边的长为； （2）解：，， ，， ， 是直角三角形， 答：劳动基地（四边形）的面积为． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$