精品解析：北京市密云区2024一2025学年下学期期末考试 八年级数学试卷

北京市密云区2024－2025学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别是（ ） A. 10，4 B. 7，4 C. 10，1 D. 7，1 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（ ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在圆的面积公式中，是常量，当半径为自变量时，______是______的函数． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 11. 比较大小：______5．（填“”“”或“”） 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为______，与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 14. 如图，是的中位线，点在上，且，连接并延长交延长线于点．若，则线段的长为______． 15. 如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=________度． 16. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算：． 18. 计算： 19. 已知，，求代数式的值． 20. 阅读下列材料： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 下面是小芸同学设计的“已知矩形的长，构造黄金矩形”的尺规作图过程： 如图，线段的长为2． ①过点作的垂线，在上截取，连接； ②以点为圆心，的长为半径作弧交于点； ③过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径作弧，在直线的上方交于点． ④过点作的平行线交于点．则四边形即为所求作的黄金矩形． 结合阅读，根据上述尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下列推理与计算，并在括号内填写推理的依据． 证明：，， ． ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形（ ）． 在中，，， ， ， ， ， 即：矩形为黄金矩形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 22. 如图，在矩形中，、交于点，点为边上一点，连接交于点，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，在四边形中，，平分，过点作的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是的中点，，，求线段的长． 25. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是 ； （2）下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 2 1 2 3 4 5 … 直接写出表格中的值； （3）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有 个解； ②当时，的取值范围是 ； （5）进一步研究：若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ． 26. 我国机器人产业正处于高速发展时期．某科研团队研发了、、三款智能机器人．为测试这三款机器人在图像识别和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分100分）分别为88分、85分、89分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力的测试成绩．以下是、、三款机器人运动能力测试的部分数据信息： a．、两款机器人运动能力得分的折线图 b．款机器人运动能力得分的扇形统计图 c．、、三款机器人运动能力测试情况统计表 测试员打分情况 机器人 中位数 众数 运动能力测试成绩 方差 A 84 B 8 87 C 8 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中、的值； （2）比较与的大小； （3）按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，在、、三款机器人中综合成绩最高的是 ，其综合成绩是 分； （4）若选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请说明理由． 27. 在正方形中，点是射线上的一个动点（不与点重合），过点作的垂线交直线于点，取线段的中点，连接和． （1）如图1，当点在线段上时，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时． ①用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出正方形边长的值． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：过点作直线的垂线交直线于点，若，则称点为直线的“限距点”．特别地，直线上所有的点都是直线的“限距点”． 已知点，，． （1）当直线的表达式为时． ①在点中，直线的“限距点”是 ； ②若以为边的矩形上所有的点都是直线的“限距点”，求点的纵坐标的取值范围； （2）当直线的表达式为时，若线段上存在直线的“限距点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市密云区2024－2025学年第二学期期末考试 八年级数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不为零求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故选：A． 2. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，理解其定义是解题的关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同则为同类二次根式，可以合并． 【详解】解：A：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； B：，被开方数为，与相同，可以合并，故该选项符合题意； C：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； D：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意． 故选：B． 3. 已知一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别是（ ） A. 10，4 B. 7，4 C. 10，1 D. 7，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差，理解其定义是解题的关键． 根据平均数和方差的定义，当每个数据都减去同一个常数时，平均数也减去该常数，而方差保持不变，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意知：，故， 新数据，，的平均数为： ， 因此，新数据的平均数为； 原数据的方差为4，即， 新数据，，的平均数为，每个数据与新平均数的差为： ，，， 因此，新方差为： ， 方差保持不变，仍为； 综上，新数据的平均数为，方差为． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的除法，性质计算即可． 本题考查了二次根式的除法，性质，熟练掌握运算和性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，不是同类二次根式，无法计算，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 5. 若点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：，，的图象在一、二、三象限，，，的图象在一、三、四象限，，，的图象在一、二、四象限，，，的图象在二、三、四象限．先根据在第二象限判断出，，再判断一次函数图象即可. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图像过第一，第三，第四象限， 故选：C 6. 七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查七巧板相关的计算，利用算术平方根解方程，设宽为x，则长为，列方程求解即可，解题的关键是根据图形得出矩形的长是宽的2倍． 【详解】解：∵图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4， ∴图2中由七巧板拼成的矩形的面积为4， 由图2可知，矩形的长是宽的2倍， 设宽为x，则长为， 可得， ∴（负值舍去） 故选：D． 7. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 【答案】A 【解析】 【分析】两个笔筒粗细相同，底面直径相等，再根据勾股定理，构造方程即可求解． 【详解】解：设铅笔的长度为， 则， 解得：， 则铅笔的长度为． 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（ ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．先画出图形，根据菱形的性质可得，再证出、，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行四边形和菱形的判定即可得①③正确；若菱形是正方形时，证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得④正确，②错误． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴必经过的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴存在无数个四边形是平行四边形，则结论①正确； 存在无数个四边形是菱形，则结论③正确； 若菱形是正方形时（正方形是特殊的菱形，在此只证明存在性）， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当菱形是正方形时，菱形是正方形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴至少存在一个四边形是正方形，则结论④正确； 不存在无数个四边形是矩形，则结论②错误； 综上，结论正确的是①③④， 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在圆的面积公式中，是常量，当半径为自变量时，______是______的函数． 【答案】 ①. S ②. r 【解析】 【分析】本题考查函数，在一个变化过程中，有两个变量x、y，当给x一个值时，y有唯一的一个值与之对应，则把y叫x的函数． 掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：公式中，是常量，当半径为自变量时， 则S是r的函数． 故答案为：S；r． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 11. 比较大小：______5．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较．根据题意，，，然后即可比较． 【详解】解：， 且 ． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为______，与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 分别令，求出直线与轴的交点坐标，即可求解面积． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴与轴的交点坐标为， 当， ∴与轴的交点坐标为， ∴与两坐标轴围成的三角形的面积为：， 故答案为：，． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或或或， 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD， 故答案为AC⊥BD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 14. 如图，是的中位线，点在上，且，连接并延长交延长线于点．若，则线段的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 先由三角形中位线的性质得出，，再证明，得到，即可由求解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 15. 如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=________度． 【答案】45 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，求得BC2= 32，∠ACB=45°，在△BCD中，根据勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，即可求得∠DCB=90°，根据∠ACD=∠DCB-∠ACB即可求得∠ACD的度数. 【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°， ∵AB=AC=4， ∴BC2=AB2+AC2=32，∠ACB=45°， 在△BCD中，CD=2，BD=6． ∵BC2+CD2=32+4=36=BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠DCB=90°， ∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=90°-45°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键. 16. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是______． 【答案】##④① 【解析】 【分析】本题考查了函数图象获取信息，从函数图象获取信息是解题的关键： 看图象中轿车初始距甲地的距离，确定①正确．用货车行驶全程的路程除以总时间，得速度，故②错误． 先算相遇时间，再减去轿车行驶的时间，得休息，所以③错误．分别算出货车、轿车（行驶用时+休息）的时间，作差得，故④正确． 【详解】①由图象知轿车初始距甲地，故甲乙两地相距，正确． ②货车行驶，速度为，错误． ③相遇时货车行驶，用时；轿车行驶用时，休息时长为，错误． ④货车行驶全程用，轿车行驶全程（含休息）：行驶需，休息，总用时，，正确． 正确结论序号为． 故答案为：． 三、解答题（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和正确化简每一项是解题的关键． 依次化简计算零指数幂，绝对值，算术平方根，负整数指数幂即可． 【详解】解： ． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘除，再计算加减即可． 【详解】解： ． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减运算，代数式求值，因式分银的应用．熟练掌握次根式加减运算法则是解题的关键． 先求出，，再由因式分解得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 20. 阅读下列材料： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 下面是小芸同学设计的“已知矩形的长，构造黄金矩形”的尺规作图过程： 如图，线段的长为2． ①过点作的垂线，在上截取，连接； ②以点为圆心，的长为半径作弧交于点； ③过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径作弧，在直线的上方交于点． ④过点作的平行线交于点．则四边形即为所求作的黄金矩形． 结合阅读，根据上述尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下列推理与计算，并在括号内填写推理的依据． 证明：，， ． ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形（ ）． 在中，，， ， ， ， ， 即：矩形为黄金矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的判定，勾股定理，正确作出图形是解题的关键． （1）根据题意按照尺规作垂线，线段垂直平分线，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明四边形是矩形，再由勾股定理求得，由得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求： 【小问2详解】 证明：，， ． ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）． 在中，，， ， ， ， ， 即：矩形为黄金矩形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题的关键是：求函数解析式及两直线的交点． （1）先把代入中求出，从而得到的坐标，然后把点坐标代入中求出得到直线的表达式； （2）结合函数图象，且直线在直线下方所对应的自变量的范围． 【小问1详解】 解：∵直线：过点， ∴， 解得， ∴， ∵直线：过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知，在A点右侧，直线落在直线下方， ∴不等式的解集是． 22. 如图，在矩形中，、交于点，点为边上一点，连接交于点，，，求的长． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．由矩形的性质得，再证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 如图， 当时，， 把代入，得 ， ∴． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 24. 如图，在四边形中，，平分，过点作的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是的中点，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （）根据菱形的性质得到，求得，推出，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵点为的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在Rt中，， ∴． 25. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是 ； （2）下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 2 1 2 3 4 5 … 直接写出表格中的值； （3）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有 个解； ②当时，的取值范围是 ； （5）进一步研究：若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ． 【答案】（1）一切实数 （2） （3）图象见解析 （4）①2；② （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据二次根式的意义条件得，求解即可； （2）把代入 中，求出y值即为m值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解； ②根据图象可知：当时，，当时，，当时，，又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，可得出答案； （5）由题意，结合（2）可得，对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小．当，，都有，故M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，从而可求出t的范围． 【小问1详解】 解：由二次根式的意义条件，得 解得：x为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数　 故答案为：一切实数． 【小问2详解】 解：把代入 中，得 ， ∴． 【小问3详解】 解：函数的图象如图所示： 【小问4详解】 解：如图， ①∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解； ②由图可得：当时，， 当时，， 当时，， 又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，的取值范围是． 【小问5详解】 解：由题意，结合（2）可得，对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴ ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 26. 我国机器人产业正处于高速发展时期．某科研团队研发了、、三款智能机器人．为测试这三款机器人在图像识别和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分100分）分别为88分、85分、89分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力的测试成绩．以下是、、三款机器人运动能力测试的部分数据信息： a．、两款机器人运动能力得分的折线图 b．款机器人运动能力得分的扇形统计图 c．、、三款机器人运动能力测试情况统计表 测试员打分情况 机器人 中位数 众数 运动能力测试成绩 方差 A 84 B 8 87 C 8 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中、的值； （2）比较与的大小； （3）按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，在、、三款机器人中综合成绩最高的是 ，其综合成绩是 分； （4）若选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请说明理由． 【答案】（1）10和9，8 （2） （3）B， （4）B机器人 【解析】 【分析】（1）根据图象信息，得A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 由此得到A的众数为10和9； C组机器人打分：6分有个；8分有个；9分有个； 10分有个；中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分），解答即可； （2）先计算各自的平均数，再根据方差公式解答即可； （3）C组的平均分为分，根据占比计算加权平均数即可； （4）根据方差越小越稳定作出决策即可． 【小问1详解】 解：根据图象信息，得得A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 由此得到A的众数为10和9； 故或； C组机器人打分：6分有个；8分有个；9分有个； 10分有个；中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 故； 【小问2详解】 解：∵B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6求这组数据的方差？ ∴，， 故， ， 故． 【小问3详解】 解：根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占， 故综合成绩为：A机器人：（分）， B机器人：（分）， C机器人：（分）， 故综合成绩最高的是B机器人，综合成绩为分， 故答案为：B，． 【小问4详解】 解：， 故选择B机器人． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数，方差，根据统计量作出决策，熟练掌握公式计算是解题的关键． 27. 在正方形中，点是射线上的一个动点（不与点重合），过点作的垂线交直线于点，取线段的中点，连接和． （1）如图1，当点在线段上时，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时． ①用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出正方形边长的值． 【答案】（1）见解析 （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，，即可得出结论； （2）①如图，过点H作于G，连接，先证明，得到，从而求得，进而得出，得到，再由勾股定理求得，然后证明是的中位线，得到，即可得出结论． ②根据直角三角形的性质求得，然后根据可证，得到，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，然后由勾股定理求得，最后由正方形的性质得． 【小问1详解】 证明：如图1， ∵正方形， ∴， ∵点是线段的中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①． 证明：如图，过点H作于G，连接， ∵正方形， ∴，， ∵点是线段的中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即G是的中点， ∵点是线段的中， ∴是的中位线， ∴， ∴； ②∵点是线段的中， ∴ ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵正方形， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：过点作直线的垂线交直线于点，若，则称点为直线的“限距点”．特别地，直线上所有的点都是直线的“限距点”． 已知点，，． （1）当直线的表达式为时． ①在点中，直线的“限距点”是 ； ②若以为边的矩形上所有的点都是直线的“限距点”，求点的纵坐标的取值范围； （2）当直线的表达式为时，若线段上存在直线的“限距点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合题，点为直线的“限距点”的定义等知识，解题的关键是理解题意并正确画出图形，利用特殊位置解决问题． （1）①根据直线的表达式为，得出直线与坐标轴夹角为，从而得出到直线的距离，故是直线的“限距点”；到直线的距离，故不是直线的“限距点”；到直线的距离是，故是直线的“限距点”； ②设点的纵坐标为，分为当点在直线的上方，点到直线的距离时，当点在直线的下方，点到直线的距离时，分别求出，再结合图象即可解答． （2）如图，分为当直线在点的下方，且到点的距离为，过点作轴交直线于点，则，表示出，解三角形列方程得出，求出；当直线在点的上方，且到点的距离为，过点作轴交直线于点，同理求出，结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：①∵直线的表达式为， ∴直线与坐标轴夹角为， 根据题意到直线的距离是， 故是直线的“限距点”； 到直线的距离是， 故不是直线的“限距点”； 到直线的距离是， 故是直线的“限距点”； 故答案为：； ②设点的纵坐标为， 当点在直线的上方，点到直线的距离时， 解得：； 当点在直线的下方，点到直线的距离时， 解得：； 结合图象可得当时，以为边的矩形上所有的点都是直线的“限距点”， 即． 【小问2详解】 解：如图， 当直线在点的下方，且到点的距离为， 过点作轴交直线于点， 则， ∴， ∴， 解得：； 当直线在点的上方，且到点的距离为， 过点作轴交直线于点， 则， ∴， ∴， 解得：； 综上，根据图象可得，当时，线段上存在直线的“限距点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $