第02讲 平面向量的数量积及其应用（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 平面向量的数量积及其应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 求平面向量的数量积 题型02 辨析数量积的运算律 题型03 模长综合计算 题型04 夹角综合计算 题型05 垂直综合计算 题型06 求投影向量 题型07 求参数值或范围的综合计算 题型08 数量积范围的综合问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 求平面向量的数量积 1．已知 ，向量 的夹角为，则 （    ） A． B．1 C．2 D． 2．已知向量，，其中，若，则（    ） A．40 B．48 C．51 D．62 3．正方形ABCD的中心为O，边长为2，点P在BD上，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．已知正方形的边长为2，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 5．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 02 辨析数量积的运算律 6．已知非零平面向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知平面向量和，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 03 模长综合计算 11．已知向量与的夹角为，且，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 12．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．8 13．已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 14．已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 15．已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 16．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．已知向量，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 18．向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 04 夹角综合计算 19．若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 20．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 22．设，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 23．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 24．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 05 垂直综合计算 25．已知向量，且，则（    ） A． B． C．6 D．8 26．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 27．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 28．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 29．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 30．已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 06 求投影向量 31．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 32．若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 33．已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 34．已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 35．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 36．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 07 求参数值或范围的综合计算 37．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ） A． B． C． D． 38．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 39．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 08 数量积范围的综合问题 40．键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．已知向量是单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．若对于向量，，满足，则称为的绝对增值向量，若为的绝对增值向量，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知与共线的一个向量的坐标为，若点为原点，点在第三象限，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在2025年春晚的舞台设计中，工程师设计了一个三角形装饰灯架用于悬挂灯光设备.已知灯架的两边米，米，且.为了加固结构，需从边的中点到顶点安装一条加固杆，则加固杆的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 5．为了发展旅游业，方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟修建观景栈桥．规划如图所示，为规划区域，面积为万平方米，，，，是四条观景木栈桥，其中，，，为观景玻璃栈桥，则的最小值（单位：百米）为（    ） A． B．4 C． D． 6．教材中关于数量积有如下性质“，当且仅当时等号成立”，应用该结论可以解决某些函数最值问题，则函数的最大值是（   ） A．1 B． C． D． 7．已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（   ） A．R B． C．1 D．无法确定 8．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 9．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 10．已知在△ABC中，．P是其内部一点，满足最小．设．则t的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的数量积及其应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 求平面向量的数量积 题型02 辨析数量积的运算律 题型03 模长综合计算 题型04 夹角综合计算 题型05 垂直综合计算 题型06 求投影向量 题型07 求参数值或范围的综合计算 题型08 数量积范围的综合问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 求平面向量的数量积 1．已知 ，向量 的夹角为，则 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】 ； 故选：C. 2．已知向量，，其中，若，则（    ） A．40 B．48 C．51 D．62 【答案】C 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 又，所以，此时，， 所以，所以. 故选：C. 3．正方形ABCD的中心为O，边长为2，点P在BD上，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】以正方形ABCD的中心为原点，AC与BD分别为轴、轴建立直角坐标系. 因为正方形边长为，对角线长度为. 则，，. 由于点在BD上，设，. ，. 根据向量数量积公式. 故选：A. 4．已知正方形的边长为2，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 5．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 02 辨析数量积的运算律 6．已知非零平面向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在向量非零向量的情况下， 若，即， 即有，即． 又，故， 又，所以，即方向相反，故， 即“”是“”的必要条件； 若，则共线，但与的方向可能相同也可能相反， 所以由推不出，故充分性不成立； 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 7．已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设， 则此时 ， 而向量夹角范围是，当时，严格单调递减， 从而， 综上所述，在题设条件下“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．已知平面向量和，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】两边平方得出，展开等价变形得出，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 则“”是“”的充分必要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题. 9．已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当，且时， ，充分性满足； 当时， ，当，时， 是可以大于零的， 即当时，可能有，，必要性不满足， 故“，且”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 10．设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，则，即， 当时，可得，此时恒成立， 即充分性成立； 当对于任意的实数恒成立时， 可得，又， 所以，即必要性成立， 综上可得，“”是“对于任意的实数，都有”的充分必要条件. 故选：C. 03 模长综合计算 11．已知向量与的夹角为，且，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】由得，， 又，则． 故选：D. 12．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】因为所以,所以, 因为，所以. 故选：A. 13．已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【详解】由 可得 ，因为，所以. 故选：D 14．已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：由，可得，① 由，可得， 整理得， 代入①得， 解得 故选：D. 15．已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设的夹角为，由题意得，， 所以， 故选：C 16．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 . 故选：D. 17．已知向量，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由，， 由，得， 所以，得. 故选：D 18．向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 . 因为 ，所以. 故选：C 04 夹角综合计算 19．若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 又因为，所以，即与的夹角等于. 故选：D 20．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A. 21．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 得，又， 所以. 故选：C. 22．设，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又，所以，得到， 所以，得到， 所以. 故选：D 23．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 24．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：， 因为，解得， 则，即， ， 可得， 且，所以与的夹角为． 故选：D． 05 垂直综合计算 25．已知向量，且，则（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵向量， ， 则m=6， 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断向量垂直或平行的方法： （1）若，则； （2）若，则. 26．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 即，得，即， 又， 所以，解得， 故选：D. 27．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 解得：. 故选：D. 28．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题意可知，且，所以，解得. 故选：C. 29．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 30．已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】当时，由可知与方向相同，得，解得； 当时，，即，解得． 故选：C 06 求投影向量 31．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 32．若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 即在上的投影向量为. 故选：C. 33．已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的投影向量为， 即， 则有， 又向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 34．已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， 在方向上的投影向量为. 故选：A． 35．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：D. 36．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 07 求参数值或范围的综合计算 37．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意：与共线，点位于的等分点处(靠近点) 解法一：欲使最大，根据“米勒最大角定理”，此时以为弦圆与相切，根据切割弦定理：,故 . 解法二：设，则，有= ， 当且仅当时成立. 故选:A 38．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，所以， 即，所以，所以， 又，， 则， 所以，即， 由，，， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，， 所以当取最大值时， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题. 39．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为 ，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 08 数量积范围的综合问题 40．键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取线段的中点，则， ， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 由图形可知，当取最大值时，点在折线段上， 连接，则， 同理， 由正六边形的几何性质可知，， 所以，， 则、、三点共线，则，即， 当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大， 同理可知，， 当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大， 所以，当取最大值时，点在折线段上运动， 以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、、 、，设点， （1）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 则； （2）当点在线段上运动时，，，则， 所以，； （3）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 所以，， 因为函数在上单调递增， 故. 综上所述，的最大值为，故， 故的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 41．已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，取线段的中点，连接，则， 由 ， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 42．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上， ②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 43．已知向量是单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，由可得， 化简可得，即. 设，由可得， 故的轨迹是以，为焦点，的椭圆，其方程. 设，的夹角为，则，由圆与椭圆的性质可得，， ，，故当，同向，均往x负半轴时，取得最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用向量的坐标运算把向量问题转化为平面几何问题求解. 1．若对于向量，，满足，则称为的绝对增值向量，若为的绝对增值向量，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，即，解得， 所以. 故选：C 2．已知与共线的一个向量的坐标为，若点为原点，点在第三象限，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，可设， 则， 因为点在第三象限，所以，得， ， 由，得， 则的取值范围为． 故选：A 3．在2025年春晚的舞台设计中，工程师设计了一个三角形装饰灯架用于悬挂灯光设备.已知灯架的两边米，米，且.为了加固结构，需从边的中点到顶点安装一条加固杆，则加固杆的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】因为是的中点，，，， 所以， 所以， . 故选：A. 4．已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 根据题中定义可得 ，故. 故选：A. 5．为了发展旅游业，方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟修建观景栈桥．规划如图所示，为规划区域，面积为万平方米，，，，是四条观景木栈桥，其中，，，为观景玻璃栈桥，则的最小值（单位：百米）为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】中，设，，由，， 可得，即，所以． 因为，所以， 由，得，即，整理得， 因为， 所以， 而，所以，当且仅当时，即，时，等号成立． 因此，当，时，的最小值为，即的最小值为百米． 故选：C． 6．教材中关于数量积有如下性质“，当且仅当时等号成立”，应用该结论可以解决某些函数最值问题，则函数的最大值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由， 可得，当且仅当取等号， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以函数的最大值是. 故选：B. 7．已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（   ） A．R B． C．1 D．无法确定 【答案】C 【详解】 如图所示，过作于，则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得, 代入得，解得， 所以，则. 故选：C. 8．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 9．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【详解】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 10．已知在△ABC中，．P是其内部一点，满足最小．设．则t的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】先证：费马点：如图1，点为内任意一点，连接，当与三个顶点连线的夹角为120°时，的值最小. 注意：上述结论成立的条件是的最大的角要小于，若最大的角大于或等于，此时费马点就是最大角的顶点.（通常只考查三角形的最大顶角小于） 证明：如图2，以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．∵为等边三角形，∴，．而， ∴． 在与， ∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接．由△AMB≌△ENB知，． ∵，，∴为等边三角形． ∴．∴． ∴当四点共线时，的值最小． 此时，；；得证； 由已知可得， 即， 所以，整理得， 所以由正弦定理可得， 所以. 所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知， 设，，, ， 则由得， 由余弦定理可得， ， ， 所以由得， 即， 则，且，令，则， 所以， 当且仅当即时，取等号. 所以的最小值为. 故选：C 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$