专题1.5 二次函数的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版 2024）（解析版）

专题 1.5 二次函数的性质 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）二次函数化为 2 【题型1】一般式化为顶点式 2 知识点（二）二次函数的图象画法 2 【题型2】画二次函数的图象 2 知识点（三）二次函数的图象与性质 4 【题型3】二次函数的增减性 4 【题型4】二次函数的最值 5 【题型5】二次函数的对称性 5 【题型6】抛物线与坐标轴交点坐标 5 知识点（四）待定系数法求二次函数的解析式 6 【题型7】待定系数法求二次函数解析式（一般式） 6 【题型8】待定系数法求二次函数解析式（顶点式） 6 【题型9】待定系数法求二次函数解析式（两根式） 7 知识点（五）二次函数图象的特征与、、、的符号之间的关系 7 【题型10】二次函数图象与各项系数符号 7 【题型11】由二次函数图象判断式子的符号 8 知识点（六）二次函数图象的平移 9 【题型12】二次函数的平移 9 知识点（七）利用二次函数图象求不等式解集 10 【题型13】利用二次函数图象求一元二次不等式解集 10 二．同步练习 11 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 11 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 16 3. 直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题） 19 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）二次函数化为 对比 ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【题型1】一般式化为顶点式 【例题1】 （24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）推导二次函数的顶点式，并写出顶点，需写出详细过程． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是 ． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期中）把二次函数化成的形式，并指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式3】（24-25九年级上·山东威海·期末）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 知识点（二）二次函数的图象画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． （2）求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【题型2】画二次函数的图象 【例题2】 （24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中利用描点法画出此二次函数的图象； … … … … （2）当时，观察函数图象，请直接写出函数值的取值范围 ． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数 ． （1）求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是 ． 知识点（三）二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大（小）值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【题型3】二次函数的增减性 【例题3】 （2025·西藏拉萨·一模）已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式 【题型4】二次函数的最值 【例题4】 （2025·河南平顶山·模拟预测）已知某抛物线的解析式为，为实数． （1）若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． 【变式1】（2025·山东东营·三模）已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【题型5】二次函数的对称性 【例题5】 （24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【变式1】（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于的二次函数的图象经过点，，，其中为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）点在二次函数的图象上，点C是顶点且，则m的取值范围是 ． 【题型6】抛物线与坐标轴交点坐标 【例题6】 （2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． （2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 知识点（四）待定系数法求二次函数的解析式 1.一般式： 2.顶点式： 3.两根式（交点式）：（其中是、图象与轴交点的横坐标） 【题型7】待定系数法求二次函数解析式（一般式） 【例题7】 （25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式． 【变式1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）在等式中，若；若；若；若 ． 【变式2】（24-25九年级下·云南临沧·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【题型8】待定系数法求二次函数解析式（顶点式） 【例题8】 （24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 【变式1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【题型9】待定系数法求二次函数解析式（两根式） 【例题9】 （24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）指出它的对称轴和最值． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过三点，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 【变式2】（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知抛物线与x轴交于、，且过点，求抛物线的解析式；并指出其开口方向，对称轴及顶点坐标． 知识点（五）二次函数图象的特征与、、、的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧 ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【题型10】二次函数图象与各项系数符号 【例题10】 （24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【变式2】（24-25九年级上·北京房山·期中）二次函数的图象如图所示，则 0， 0（填或）． 【题型11】由二次函数图象判断式子的符号 【例题11】 （23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点且则下列结论：① ，②，③，④，其中正确结论的序号是（　 　）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图为二次函数（）的图象，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25八年级下·北京·期末）二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，图象与x轴交点的横坐标分别为，且满足．根据以上信息，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④抛物线上有两点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 知识点（六）二次函数图象的平移 二次函数的平移是指将抛物线沿着平面直角坐标系的水平方向（轴）或垂直方向（轴）移动，平移过程中抛物线的形状和开口方向不变（即二次项系数的值不变），仅位置发生改变。解题过程中首先将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，再利用其横坐标遵循“左加右减”和纵坐标规律是“上加下减”规律. 【题型12】二次函数的平移 【例题12】 （24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出函数的顶点坐标； （2）写出方程的两个根； （3）写出不等式的解集． 【变式1】（2025·新疆喀什·三模）将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线必定经过（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则 ． 知识点（七）利用二次函数图象求不等式解集 二次函数与一元二次不等式的关系紧密，解一元二次不等式的核心是借助二次函数的图象（抛物线），通过数形结合求出其解集： 【题型13】利用二次函数图象求一元二次不等式解集 【例题13】 （2025·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示．根据图象解答下列问题： （1）不等式的解集为 ． （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【变式2】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象经过点P，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川乐山·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，设y的最大值为M，则M的最小值为（   ） A． B．7 C． D．9 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2022九年级上·全国·专题练习）已知二次函数（a，b，c是常数），x与y的部分对应值如下表，则当x满足的条件是 时，y＝0；当x满足的条件是 时，y＞0． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y ﹣16 ﹣6 0 2 0 ﹣6 10．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 11．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）将二次函数的图象右平移2个单位长度．再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 ． 12．（2025·河南·一模）已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为 ． 13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    14．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 15．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 三、解答题 17．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． （1）求函数表达式； （2）若点在图像上，且，求的取值范围． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值． （2）已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 19．（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． （1）求二次函数的对称轴． （2）若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． （3）若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 20．（2025·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的点，若x，y満足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． （1）下列是平衡点的是______；（填序号） ①，      ②         ③      ④ （2）已知一次函数 （k为常数）图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 （k为常数）图像上另一个“平衡点”的坐标； （3）已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·陕西宝鸡·二模）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（    ） A．或 B．1 C． D．或 3．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同的两点，，且该二次函数的图象与轴有交点，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C． D． 7．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 8．（24-25九年级下·湖南·期中）刘星同学通过观察如图所示的二次函数的图象，得出下面5个结论： ； ；； ；．其中你认为错误的有（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是 ． 11．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，且使二次函数的图象与y轴交于正半轴，则所有符合题意的整数a的值之和是 ． 13．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 15．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴是直线 ． （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ． 16．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 三、解答题 17．（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）已知抛物线交轴于、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求的值； （2）若点在该抛物线上，且，求的值． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和1．过点A作轴，与抛物线相交于点C，分别以AC，的长为边长向上方作矩形． （1）求抛物线的函数表达式． （2）将矩形先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上．求n关于m的函数表达式，并直接写出自变量m的取值范围． 19．（2025·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． （2）已知点在抛物线上，且，求n的取值范围． 20．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． （2）对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 3. 直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题） 一、单选题 1．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 8．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 9．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 10．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    11．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      12．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题 13．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 14．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.5 二次函数的性质 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）二次函数化为 2 【题型1】一般式化为顶点式 2 知识点（二）二次函数的图象画法 4 【题型2】画二次函数的图象 4 知识点（三）二次函数的图象与性质 7 【题型3】二次函数的增减性 8 【题型4】二次函数的最值 9 【题型5】二次函数的对称性 11 【题型6】抛物线与坐标轴交点坐标 15 知识点（四）待定系数法求二次函数的解析式 16 【题型7】待定系数法求二次函数解析式（一般式） 17 【题型8】待定系数法求二次函数解析式（顶点式） 18 【题型9】待定系数法求二次函数解析式（两根式） 19 知识点（五）二次函数图象的特征与、、、的符号之间的关系 21 【题型10】二次函数图象与各项系数符号 21 【题型11】由二次函数图象判断式子的符号 23 知识点（六）二次函数图象的平移 27 【题型12】二次函数的平移 27 知识点（七）利用二次函数图象求不等式解集 29 【题型13】利用二次函数图象求一元二次不等式解集 30 二．同步练习​ 32 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 32 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 48 3. 直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题） 69 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）二次函数化为 对比 ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【题型1】一般式化为顶点式 【例题1】 （24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）推导二次函数的顶点式，并写出顶点，需写出详细过程． 【答案】推导见分析，顶点坐标为 【分析】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将进行变形为即可求解． 解： ， 即顶点式为， ∴顶点坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查将抛物线化为顶点式，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式进行配方即可得到答案． 解：． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期中）把二次函数化成的形式，并指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：． ∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式3】（24-25九年级上·山东威海·期末）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数顶点坐标，用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键． 用配方法把二次函数一般式化为顶点式即可得到答案． 解：， ， ， ， 顶点坐标为， 故选：A ． 知识点（二）二次函数的图象画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． （2）求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【题型2】画二次函数的图象 【例题2】 （24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中利用描点法画出此二次函数的图象； … … … … （2）当时，观察函数图象，请直接写出函数值的取值范围 ． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 解：（1）解：补充表格如下： … … … … 画出抛物线如图所示． （2）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减少， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的取值范围为． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数 ． （1）求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】（1）顶点坐标；抛物线与轴交点为，；（2）见分析 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征： （1）将函数关系式运用配方法配成顶点式，进而可得顶点坐标；令，得一元二次方程，求出的值，可得函数图象与轴的交点； （2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象． 解：（1）解：由于 ∴顶点坐标； 令，得 解得，，， 抛物线与轴交点为，； （2）解：列表如下： 描点、连线，如图所示： 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意画出对应的函数图象，再利用函数图象进行求解即可． 解：如图所示，在x轴上方（包含x轴上）的函数图象即为， ∴的图象具有对称性，对称轴为直线，故①正确； 由函数图象可知，没有最大值，故②错误； 由函数图象可知，当，y随x增大而增大， ∴当时，，故③正确； 由函数图象可知，函数图象与直线有4个交点，故④正确； 故答案为：①③④． 知识点（三）二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大（小）值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【题型3】二次函数的增减性 【例题3】 （2025·西藏拉萨·一模）已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的性质，由题意可得，即得，又由二次函数的性质可得，即得，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：，理由如下： ∵抛物线，当时，， ， ， ∵当时，的值随值的增大而减小， ， 解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意设二次函数为，根据题意得出，，取值即可解答． 解：设二次函数为， ∵对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小， ∴， ∵图像过点， ∴， 取， 则二次函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4】二次函数的最值 【例题4】 （2025·河南平顶山·模拟预测）已知某抛物线的解析式为，为实数． （1）若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为或 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）把解析式化为顶点式得到对称轴和开口方向，从而得到离对称轴越远，函数值越大，进而可确定当时，，则，解方程即可得到答案． 解：（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，的最大值为4， ∴当时，， ∴， 整理得：， ∴或， 故的值为或． 【变式1】（2025·山东东营·三模）已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 解：∵， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，；当时，， 当时，． 故选：A． 【变式2】（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 【题型5】二次函数的对称性 【例题5】 （24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把点和点坐标代入后解方程组求出、，从而得到抛物线解析式； （2）抛物线与轴的另一个交点为,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线，进而求出点的坐标，连接交直线于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，接着求出直线的解析式，进而求解． 解：（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得， ∴． 连接交直线于点，如下图 ∵， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【变式1】（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于的二次函数的图象经过点，，，其中为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及性质是解答本题的关键． 根据二次函数经过，得对称轴为，从而可得的值，再将代入化简得，从而求出的值，即可得解． 解：将代入得： ， ， 二次函数经过，， 抛物线对称轴为， ， ， ， ， 故答案为：B． 【变式2】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）点在二次函数的图象上，点C是顶点且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于的一元一次不等式． 根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，由题意推出二次项系数小于，可找出函数的单调区间，再结合、点坐标的特点即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 解：二次函数的对称轴为， ∵点在二次函数的图象上，且， ∴当时，有最大值， ， ∴二次函数图象在上随的增大而增大，在上随的增大而减少， ∵点都在二次函数的图象上，且 ∴点离对称轴更近， ， 解得：， 故答案为 【题型6】抛物线与坐标轴交点坐标 【例题6】 （2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． （2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ 【答案】（1）见分析；（2）当时，这两个交点都在原点的左侧 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意只需要证明即可； （2）设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为，则，根据根与系数的关系得到，解不等式组即可得到答案． 解：（1）证明：令，则． ， 此抛物线与x轴必有两个不同的交点． （2）解：设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为， ∴和为关于x的方程，的两个不相等的实数根，且， ，解得， 当时，这两个交点都在原点的左侧． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，先令，得，可知抛物线与x轴有两个交点，当时，，可知抛物线与y轴有1个交点，故可得结论． 解：对于 当时，得，即， 此时， 所以，抛物线与x轴有两个交点； 当时，， 所以，抛物线与y轴有1个交点， 所以抛物线与坐标轴有3个交点． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案. 解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 知识点（四）待定系数法求二次函数的解析式 1.一般式： 2.顶点式： 3.两根式（交点式）：（其中是、图象与轴交点的横坐标） 【题型7】待定系数法求二次函数解析式（一般式） 【例题7】 （25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的表达式． 设这个二次函数的表达式为，把代入计算即可. 解：设这个二次函数的表达式为． 把代入，得解得 ∴这个二次函数的表达式为． 【变式1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）在等式中，若；若；若；若 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查看运用待定系数法求函数解析式、求函数值等知识点，求得函数解析式成为解题的关键． 先运用待定系数法求函数解析式，然后将代入求y的值即可． 解：由题意可得： ，解得：， ∴， 当时，． 故答案为：9． 【变式2】（24-25九年级下·云南临沧·期中）已知二次函数的图象经过点，． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 解：（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【题型8】待定系数法求二次函数解析式（顶点式） 【例题8】 （24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像过点，顶点为，求函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．先设二次函数的顶点式为，再将点代入求出的值，由此即可得． 解：∵二次函数的顶点为， ∴这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过点， ∴， 解得， ∴，即． 【变式1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图像过点， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 【题型9】待定系数法求二次函数解析式（两根式） 【例题9】 （24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）指出它的对称轴和最值． 【答案】（1）；（2）对称轴为直线，最小值为 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 解：（1）解：二次函数图象经过点，， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过三点，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解题的关键是根据抛物线与轴的交点设出合适的函数表达式形式． 已知抛物线与轴的两个交点坐标，设出交点式，再代入点求出的值，进而得到函数表达式． 解：设抛物线对应的函数表达式为． 把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． 【变式2】（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知抛物线与x轴交于、，且过点，求抛物线的解析式；并指出其开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案】，抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，设抛物线的解析式为：，将代入即可得出抛物线的解析式，再将抛物线化为顶点式即可得出答案． 解：根据题意设抛物线的解析式为：， 把代入可得出：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标． 知识点（五）二次函数图象的特征与、、、的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧 ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【题型10】二次函数图象与各项系数符号 【例题10】 （24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、判断坐标点的象限，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象开口方向、与轴交点的位置得出，，再结合对称轴的位置得出，即可得出答案． 解：由图象知，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， 由图象知，二次函数图象的对称轴， ， 点在第二象限． 故答案为：二． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·北京房山·期中）二次函数的图象如图所示，则 0， 0（填或）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，根据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，代入即可判断的正负． 解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：；． 【题型11】由二次函数图象判断式子的符号 【例题11】 （23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点且则下列结论：① ，②，③，④，其中正确结论的序号是（　 　）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系、二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点以及抛物线与x轴的交点个数确定．根据抛物线开口向下得到，由对称轴位置得出，由抛物线与轴的交点在轴的正半轴得出，即可判断①；根据抛物线与的交点个数得出，即可判断②；由得出，代入函数解析式可得即可判断③；设两点的横坐标为、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可判断④． 解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ，故①错误，不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ， ，故②错误，不符合题意； 当时，， ，， ， ， ， ，故③正确，符合题意； 设两点的横坐标为、，则，， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有③④， 故选：D 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图为二次函数（）的图象，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，进而结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 解：由题意，∵抛物线开口向下，图象与轴交于正半轴， ∴，． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴． ∴，，故①②说法正确； 由图象可得，当时，，故③说法错误； ∵抛物线过， ∴当时，． 又∵， ∴，故④说法错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取最大值为， ∴当时，， ∴，即，故⑤说法正确． 正确的有①②⑤，共个． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期末）二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，图象与x轴交点的横坐标分别为，且满足．根据以上信息，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④抛物线上有两点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的对称轴可得，进而判断结论①，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，结合函数值得出，进而判断结论②，根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可得出时，得出m的取值范围，进而判断结论④，即可求解． 解：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论不正确； 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故②结论正确； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线的开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， 若， 则或，故④结论错误； 综上，结论正确的有①②． 故答案为：①②． 知识点（六）二次函数图象的平移 二次函数的平移是指将抛物线沿着平面直角坐标系的水平方向（轴）或垂直方向（轴）移动，平移过程中抛物线的形状和开口方向不变（即二次项系数的值不变），仅位置发生改变。解题过程中首先将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，再利用其横坐标遵循“左加右减”和纵坐标规律是“上加下减”规律. 【题型12】二次函数的平移 【例题12】 （24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出函数的顶点坐标； （2）写出方程的两个根； （3）写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键． （1）根据函数图象的最高点得到顶点坐标； （2）观察图形可以看出抛物线与轴交于（和，即可解题； （3）根据抛物线的图象，得到在x轴上方的自变量x的取值范围解答即可． 解：（1）解：由图象可得函数图象的最高点坐标为， ∴函数的顶点坐标为； （2）解：图中可以看出抛物线与轴交于（和， ∴方程的两个根为，； （3）解：通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 【变式1】（2025·新疆喀什·三模）将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线必定经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可． 解：将抛物线化为顶点式， 即： ， 将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得： ， 把代入得：， ∴新抛物线必经过， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式． 根据二次函数图象的平移规律，求出平移后抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ∵抛物线与x轴交点处， ∴令，即． ∴或， 解得：∴，， ， 故答案为：5． 知识点（七）利用二次函数图象求不等式解集 二次函数与一元二次不等式的关系紧密，解一元二次不等式的核心是借助二次函数的图象（抛物线），通过数形结合求出其解集： 【题型13】利用二次函数图象求一元二次不等式解集 【例题13】 （2025·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 【答案】（1）对称轴为直线．顶点的坐标为；（2） 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 解：（1）解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示．根据图象解答下列问题： （1）不等式的解集为 ． （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围求解即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根即二次函数与直线有两个不同的交点进行求解即可． 解：（1）解：由函数图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：由函数图象可知方程有两个不相等的实数根，即为二次函数与直线有两个不同的交点， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，进而可得二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标即可得到答案． 解：由图象可得，直线经过点，， 把点，代入得，，解得， 二次函数解析式为， 二次函数图象的顶点坐标为，即二次函数顶点在第一象限， 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象经过点P，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出是解题的关键．先求出，，再求出，最后判断一次函数图象即可． 解：由二次函数的图象可知，，， 当时，， ∴的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 4．（2025·四川乐山·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值． 解：由抛物线上可知，纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的顶点为最高点， 所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1． 故选：B 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据题意设顶点式，代入抛物线的顶点坐标为，由于抛物线与开口大小相同、方向相反可知，继而得到本题答案． 解：设顶点式， ∵顶点坐标为， ∴二次函数解析式为：， ∵抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，设y的最大值为M，则M的最小值为（   ） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据题意可求出原函数的对称轴为直线，当，即时，则原函数在时取到最大值，当，即时，则原函数在时取到最大值，据此分两种情况讨论求解即可． 解：由题意得，原函数对称轴为直线， ①若，即，则原函数在时取到最大值， 从而． ②若，即，则原函数在时取到最大值， 从而． 综上，可知当时，． 故选：C． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 解： ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先根据已知条件求出抛物线的解析式，再求出当时的函数值即可． 解：∵点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 即点B到x轴的距离为， 故选：D． 二、填空题 9．（2022九年级上·全国·专题练习）已知二次函数（a，b，c是常数），x与y的部分对应值如下表，则当x满足的条件是 时，y＝0；当x满足的条件是 时，y＞0． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y ﹣16 ﹣6 0 2 0 ﹣6 【答案】 或 【分析】根据表格中的数据即可得当或时，，再画出函数的大致图象，利用函数图象法即可得． 解：由表格可知，当或时，， 即二次函数与轴的交点为， 根据表格中的数据，画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当时，， 故答案为：或；． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象法是解题关键． 10．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 11．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）将二次函数的图象右平移2个单位长度．再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 解：的图象右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到， 即． 故答案为： 12．（2025·河南·一模）已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质．根据，可得关于对称轴对称，从而得到，再把点B的坐标代入，即可求解． 解：∵，， ∴关于对称轴对称， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入，得： ，解得：． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 14．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 解：∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系． 由二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点，然后观察图象，即可求得答案． 解：由图象可知，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点与坐标原点， 当时，的图象在下方，因此； 由与轴交于点，可知当时，； ∴当时，． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． （1）求函数表达式； （2）若点在图像上，且，求的取值范围． 【答案】（1）​或​；（2）当函数表达式为时，的取值范围是；当函数表达式为时，的取值范围是或 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． （1）先由题意得出抛物线的顶点是或，再分别利用顶点设出函数表达式，将已知点代入即可得解； （2）分情况讨论：当函数表达式为时，当函数表达式为时． 解：（1）解：依题得，该抛物线的顶点是或， 设该二次函数解析式为， ①当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； ②当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； 故函数表达式为或． （2）解：①当函数表达式为时， 即， ， ， 解得； ②当函数表达式为时， 即， 解得或， 综上，当函数表达式为时，的取值范围是； 当函数表达式为时，的取值范围是或． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求与的值． （2）已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先把的坐标代入，求得，再把的坐标代入，即可求解； （2）由（1）得抛物线，求得其对称轴和顶点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，设直线的表达式是，利用待定系数法求得直线的表达式，令，即可求解点的坐标． 解：（1）解：将代入正比例函数，解得：， 点的坐标为， 将代入，得：，解得：． （2）解：由（1）得：抛物线， 抛物线的对称轴是，顶点是， 点C关于x轴的对称点的坐标为． 如图，连接交轴于点，此时最小． 设直线的表达式是， 把，代入， 得：，解得：， 直线的表达式是． 令，则，解得：， 点的坐标是． 19．（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． （1）求二次函数的对称轴． （2）若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． （3）若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值；（3） 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键． （1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解． 解：（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 20．（2025·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的点，若x，y満足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． （1）下列是平衡点的是______；（填序号） ①，      ②         ③      ④ （2）已知一次函数 （k为常数）图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 （k为常数）图像上另一个“平衡点”的坐标； （3）已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①④；（2）另一个平衡点为；（3）或 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可； 对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可； 对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可. 解：（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点是“平衡点”． 故答案为：①④； （2）解：将点代入关系式， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为. ∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”， ∴， 即或， 解得或， 则， 所以另一个“平衡点”的坐标是； （3）解：或． ∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”， ∴， ∴或， 即或 当，且时， 解得； 当，且时， 解得． 所以a的取值范围是或． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·陕西宝鸡·二模）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性增减性，是解题的关键． 根据二次函数解析式，得开口向上时，对称轴为直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大．根据当时y随x的增大而增大，得对称轴应位于直线左侧或与之重合． 解：∵二次函数的开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，随的增大而增大， 因此需满足． 故选：D． 2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（    ） A．或 B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】该题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．将已知抛物线化为顶点式，确定顶点坐标，根据对称性得到另一条抛物线的顶点坐标，利用顶点间距离建立方程求解． 解：将抛物线化为顶点式：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴关于轴对称的另一条抛物线的顶点坐标为． ∵它们的顶点相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或． ∴的值为或， 故选：D． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同的两点，，且该二次函数的图象与轴有交点，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题． 根据抛物线解析式可得对称轴为直线，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线对称，可得，即可得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点列不等式可得出b、c的值，即可得答案． 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线经过不同两点，， ∴A、B两点关于直线对称， ∴， ∴， ∵该二次函数的图象与x轴有公共点， ∴， ∴，即， ∴， 故选C． 5．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，根据顶点坐标计算公式可得原二次函数的顶点坐标为，根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值可得二次函数图象的顶点到轴的距离为，根据二次函数的性质求出有最小值时，c的值，进而确定原二次函数解析式，再求出原二次函数与x轴的两个交点的横坐标即可得到答案． 解：解；∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当时二次函数图象的顶点到轴的距离最小， ∴此时二次函数解析式为， 当时，解得， ∴当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为， 故选：D． 7．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 8．（24-25九年级下·湖南·期中）刘星同学通过观察如图所示的二次函数的图象，得出下面5个结论： ； ；； ；．其中你认为错误的有（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，根的判别式，抛物线的增减性等解答即可. 解：根据抛物线与x轴有两个不同的交点， 故 故正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵, ∴, ∴, 故⑤正确， 根据图象，得 ， 故②错误； ∵， ∴， 故③正确； 当时, ∴， 故④正确； 故选：A． 【点拨】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，根的判别式，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 二、填空题 9．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当或时，反比例函数随着的增大而减小． ∴当时，均随着x的增大而减小． 故答案为：． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；先求得点的坐标，进而求得的解析式，根据题意，分别求得和在上的函数值，即的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解． 解：∵抛物线 的解析式为 ．将 向右平移 2 个单位得到 ． ∴平移后， 的解析式为：， ∵，点 在 上，点 在 上，且 ． ∴点 的横坐标为 ．代入的解析式， 得 则代入到的解析式，得 ∵点在抛物线上． ∴． 条件时， 的最大值小于 ∵， ∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得 当时， ， 当时， ， ∴， 且． 解不等式：， ， ， ， ∵， ∴ ． 解得 ． 解不等式：， 即， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为 ． 故答案为： 11．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 12．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，且使二次函数的图象与y轴交于正半轴，则所有符合题意的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组和二次函数与y轴的交点，根据不等式组无解得到，然后根据二次函数与y轴交点在正半轴得到且，然后求出整数a的值即可解题． 解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组的无解， ∴， 解得， ∵二次函数的图象与y轴交于正半轴， ∴，且， 解得且， ∴且， ∴整数a为，，，，， ∴整数a的值之和是， 故答案为：． 13．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 ． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得出，，进而得出，B点的纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解． 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 令， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴B点的纵坐标为， 把代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 （是常数，） 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键． 14．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，对任意的，，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于即可，进而求解．将转换为最大值与最小值的差小于等于是解题的关键． 解：∵函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小， ∴， ∵和， ∴时，函数的最小值为：， ∴函数的最大值在和中产生， 则，中，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，而， ∴距离更远， ∴当时，函数取得最大值为：， ∵对任意的，，，相应的函数值，总满足， ∴最大值与最小值的差小于等于， 即， ∴， 解得：， ∵， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 15．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴是直线 ． （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）由题意直接求解即可； （）分当时和当时两种情况结合图象即可求解． 解：（）∵抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上， ∴点与点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （）如图，当时， 在中，令得， ∴， ∵，， ∴点在线段上，而， 由图可知，当点在点下方（包括点）时，抛物线与线段恰有一个公共点， ∴，解得， ∴； 如图，当时，同可知，点在线段上，， ∵， ∴，即点在点下方且在抛物线内部， ∴抛物线与线段无公共点， 综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时，， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 三、解答题 17．（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）已知抛物线交轴于、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求的值； （2）若点在该抛物线上，且，求的值． 【答案】（1）的值为1，的值为；（2）2025 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，根与系数的关系，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到轴，是方程的两根，然后得到，求出，然后代入求解即可． 解：（1）解：∵抛物线交轴于、． ∴， 解得， ∴． 故的值为1，的值为； （2）由（1）知， ∵点在该抛物线上，点是第四象限内抛物线上的一个动点，且， ∴轴，是方程的两根， ∴． ∵， ∴． ∴， 解得． ∴ ． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和1．过点A作轴，与抛物线相交于点C，分别以AC，的长为边长向上方作矩形． （1）求抛物线的函数表达式． （2）将矩形先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上．求n关于m的函数表达式，并直接写出自变量m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数表达式、图形平移及函数关系，解题的关键是利用交点坐标求函数表达式，结合平移规律和抛物线性质建立函数关系． （1）先根据抛物线求出、两点坐标，再将其代入抛物线的表达式，解方程组得到、的值，确定的表达式． （2）先求出的长度，再根据平移规律得到的坐标为，结合在上，建立与的函数关系，根据平移实际情况确定的取值范围． 解：（1）解：∵当时，，当时，， ∴点的坐标分别为， 将点的坐标代入抛物线的表达式， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知，点的坐标为， ， 平移后点的坐标为， 将点的坐标代入抛物线的表达式， 得，即， ∵， 当时，点不在抛物线上， ∴， ． 19．（2025·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． （2）已知点在抛物线上，且，求n的取值范围． 【答案】（1）①  ②；（2） 【分析】（1）①由，可得，即可得抛物线的顶点坐标为． ②平移后所得抛物线为，将代入，得，即，可得．设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，，可得，，进而可得，求出a的值，从而可得答案． （2）由题意得，抛物线的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，将，代入，得，可得，进而可得，结合，从而可得n的取值范围． 解：（1）解：①∵， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． ②将抛物线向下平移m个单位，所得抛物线为， 将代入，得， ∴， ∴． 设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∴，． ∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． （2）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 将，代入， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴n的取值范围为． 【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． （2）对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；②或；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①可证明抛物线经过点，则由对称性可求出对称轴；②根据①所求可得直线解析式为；根据对称轴计算公式得到，进而得到原抛物线顶点坐标为，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可得，解之即可得到答案； （2）当时，一定有；而当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况，当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况，当时，一定有，据此可得答案． 解：（1）解：①在中，当时，， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； ②由①得， ∵， ∴直线解析式为； ∵原抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线的顶点到轴的距离为1， ∴， 解得或； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵，， ∴， ∴当时，一定有； 当时，一定有， 当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况， 当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况， 又∵对于抛物线上的任意两点，，对于，都有， ∴， 综上所述，． 3. 直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题） 一、单选题 1．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立． 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 2．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 3．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 5．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 二、填空题 7．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 9．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 12．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确． 解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得， 即， ∵，， ∴，故①错误； ②∵，，， ∴， ∴方程的两个根的积大于0，即， ∵， ∴， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的右侧， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴当时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∵，抛物线开口向下， ∴距离抛物线对称轴越近的函数值越大， ∴，故③正确； ④方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ∴， ∵把代入得，即， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∵在抛物线上， ∴，n为方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下． 三、解答题 13．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1）；（2）①；②见分析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 解：（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 14．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）见分析；（2）四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$