专题04 与圆相关的综合题（3重难点题型）（题型专练）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

专题04 与圆相关的综合题 题型梳理 题型方法 题型一 圆与三角形、四边形的综合 题型二 圆与函数的综合 题型三 动态问题 题型方法 【题型一】圆与三角形、四边形的综合 【例1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，内接于圆，过点B的直线与AC的延长线交于点D．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理．掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键． 根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，内接于圆O，圆O的半径是6，，于点D，则线段的长度是（　　）    A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，，根据圆周角定理可得，然后利用垂径定理可得，，最后在中，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理，进行计算求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接，，    ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 则 ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理及垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知四边形内接于圆． (1)求的度数； (2)若的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的对角互补．在同圆或等圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半以及弧长公式：，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的对角互补，算出，是等腰三角形，即可求出的度数． （2）算出根据圆周角定理求出用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形内接于圆， （2）连接， 故的长为：． 【题型二】圆与函数的综合 【例2】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点，一次函数（k为常数，且）的图像与交于B、C两点，则弦的长的最小值为 【答案】24 【分析】易知直线 过定点 ，运用勾股定理可求出 ，由条件可求出半径，由于过圆内定点 的所有弦中,与 垂直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题． 【详解】解：对于直线 ，当 时，， 故直线 恒经过点 ，记为点 ； 过点 作 轴于点 ， 则有 ， ∵点A ， 由于过圆内定点 的所有弦中，与 垂直的弦最短， 如图所示，    因此运用垂径定理及勾股定理可得： 的最小值为 ； 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、 垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点 以及运用“过圆内定点 的所有弦中，与 垂直的弦最短“这个经验是解决该选择题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 【答案】 【分析】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线的解析式为，由与相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的方程，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性即可得出结论． 【详解】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示， 设直线的解析式为， 即， 与相切，且的半径为1， ， 解得， 直线的解析式为或， 点E的坐标为或， 令中，则， ， 根据运动的相对性，且以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动， 移动的时间为或， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图像上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出E、M的坐标，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线． 【变式3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 【题型三】动态问题 【例3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，根据可判断点H在以为直径的圆上运动，则点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径是以为直径的半圆，然后根据勾股定理求出，最后根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 则点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴点H运动的路径长为， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置（   ） A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦． 因为是的平分线，所以，所以，则，所以，所以点是线段垂直平分线和圆的交点．从而可得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是线段垂直平分线和圆的交点， ∴当在上运动时，点不动．故选B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在线段上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点在线段上时，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． (1)证明： (2)当点不与重合时，求的度数． (3)当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 【答案】(1)见解析 (2)或； (3) 【分析】本题考查了周角角定理，三角形的中位线定理，求弧长； （1）由三角形中位线定理可得，； （2）由圆周角定理得，由平行线的性质可得或； （3）先确定点的运动轨迹，作的外接圆，并从中确定的运动轨迹是圆上的一条弧，根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， （2）如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在劣弧上时，则， 同理可得 综上所述或； （3）如图3，作的外接圆，连接，    ∵ ∴， 又∵， ∴， ∵当点C在上运动时， ∴点D在上运动， ∴点D的运动路径长， 好题必刷 一、单选题 1．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（  ）． A．140° B．40° C．70° D．50° 【答案】C 【分析】连接OC，因为点C是弧BD的中点，所以可知∠COB=∠DAB，又因为OB=OC，可知∠ABC的度数． 【详解】 解：连接OC ∵点C为弧BD的中点 ∴∠COB=∠DAB=40° ∵OC=OB ∴∠ABC=∠OCB=70°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键． 2．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的⊙G与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　   　） A．π B．π C．π D．π 【答案】A 【分析】连接AC，取其中点H，则点F的运动轨迹是以H为圆心，以HA为半径的圆的上，根据垂径定理，求得∠HCO=30°，从而得到∠AHO=60°，计算HA=，利用弧长公式计算即可． 【详解】连接AC，取其中点H，则点F的运动轨迹是以H为圆心，以HA为半径的圆的上， ∵以G(0，1)为圆心，半径为2的⊙G与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点， ∴OG=1，GA=GC=2，OC=3， ∵∠AOG=90°， ∴OG=1，GA=GC=2， ∴OA==，AC==2， ∴HA=， ∴∠HCO=30°， ∴∠AHO=60°， ∴点F所经过的路径长为=π， 故选A． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和弧长公式是计算的关键． 3．（20-21九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为，点O为正方形的中心，点F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作，垂足为点E，当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OD、OA，由题意易得OD=OA=2，∠DEO=90°，进而可得点E是在以OD为直径的圆上运动，然后根据点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆，进而可求解． 【详解】解：连接OA、OD，如图所示： ∵点O为正方形的中心， ∴OA⊥OD，∠OAD=45°， ∴△OAD是等腰直角三角形， ∵AD=， ∴OA=OD=2， ∵， ∴点E是以OD为直径的圆的运动轨迹，如图所示： ∴点G从点A移动到点F时，点E的运动轨迹刚好是四分之一圆， ∴点E所经过的路径长为：， 故选A． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质及弧长计算公式，关键是根据题意得到动点的运动路径是圆弧，然后根据弧长计算即可． 4．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据平行线间高相等可得，进而得到，然后根据k值的几何意义即可解答．掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设的高为h ∵与x轴相切于点B，为的直径， ∴，, ∴、的高为， ∴, ∵， ∴， ∴, ∵，且反比例函数图像在一象限， ∴． 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识，连接，过点P作轴于H，可得，则∠，设交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最小， ∵半径为1， ∴， ∴的面积最小值为， 故选：B． 6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，为⊙的四等分点，动点从圆心出发，沿→→→→路线作匀速运动，设运动时间为（秒），(度)，图2表示与之间函数关系的图象，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据速度、路程、时间的关系，根据速度路程时间求出点在弧上运动的时间，再根据图2，加上2即可得解． 【详解】解：设点在弧上运动的时间为， ，，，为圆的四等分点，点做匀速运动， ， 解得， 点在半径与弧运动的时间之和是， 点的横坐标为． 故选：D． 二、填空题 7．（20-21九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ ． 【答案】5 【分析】过点作交于点，延长 ，过点作交延长线于点，根据 平分，，可证得 是等边三角形，则有，根据，，可得 ，得到，设 ，，得到， ，根据，得到，利用 ，得到，，求解即可得到 ． 【详解】解：如图示：过点作交于点，延长 ，过点作交延长线于点， ∵平分，， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设，， 则， ∵，， ∴，即：， 化简得：， ∵ ∴， ∴，即：， 化简得：， 即有，解之得：， 即：， 故答案是：5． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角的性质、解含30度角的直角三角形，解二元一次方程等知识点，熟悉下相关性质是解题的关键． 8．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 【答案】 【分析】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线的解析式为，由与相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的方程，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性即可得出结论． 【详解】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示， 设直线的解析式为， 即， 与相切，且的半径为1， ， 解得， 直线的解析式为或， 点E的坐标为或， 令中，则， ， 根据运动的相对性，且以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动， 移动的时间为或， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图像上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出E、M的坐标，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为 ． 【答案】12 【分析】延长交于点，连接，易证四边形为菱形，为等边三角形，进而得到，进而得到点在以点为圆心，的长为半径的圆上，进而得到的最大值为的直径，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴当为的直径时，的值最大，为； 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，圆的确定，等边三角形的判定和性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 三、解答题 10．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，已知内接于，是的直径，点在上，且点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，由切线的性质得，所以，则； （2）连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以，再证明是等边三角形，则，，求得，则，所以，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 点是的中点， ， ， ， ， 与相切于点， ， ， ； （2）解：连接、，则， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在半径为5的中，直径的不同侧有定点C和动点P，已知，点P在弧上运动． (1)当点P与点C关于对称时，求的长； (2)当点P运动到弧的中点时，求的长； 【答案】(1)9.6 (2) 【分析】（1）由点与点关于对称，根据垂径定理，即可得，又由为的直径，即可得是直角，然后根据勾股定理与面积法，即可求得的长； （2）首先连接、，过点作于点，由点运动到弧的中点，根据圆周角定理，结合勾股定理，即可求得的长，的度数，根据等腰直角三角形的性质，求得，继而求得的长． 【详解】（1）解：如图，设与相交于点D， 点与点关于对称， ， ∴， 为的直径， ， ∵， ∴设，则， 根据勾股定理得：， ， ∴， 解得：， ，． 又， ， ； （2）解：当点运动到弧的中点时，连接、，过点作于点． 是弧的中点， ，， 为的直径， ， ∴， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 12．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 (1)求证：与相切 (2)如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点F，根据切线的性质可得，再由角平分线的性质可得，即可； （2）设的半径为r，则，根据平行四边形的性质可得，，，再由平分，可得，从而得到，根据，，可得，再由切线长定理可得，从而得到，再由勾股定理求出r的长，然后根据弧、线段和组成的图形面积，即可求解． 【详解】（1）证明∶过点O作于点F， ∵与相切， ∴， ∵平分， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2）解∶设的半径为r，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切，与相切， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，解得：或3， 当时，，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴弧、线段和组成的图形面积 ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，求扇形面积，平行四边形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，扇形面积公式，平行四边形的性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针方向旋转，与、轴分别交于点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求直线的函数表达式： (3)P是直线上一个动点，以点为圆心，长为半径作，若与的一边所在直线相切，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）在中，令得，令得，即可得，； （2）求出，，用待定系数法可得直线的函数表达式； （3）设，则，①当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，，②当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，，解方程求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，； （2）直线绕点顺时针方向旋转，与、轴分别交于点、， ，， ，， 设直线的函数表达式为， ，解得， 直线的函数表达式； （3）设， ， ， ①当以点为圆心，长为半径的与直线相切时， ，解得， ； ②当以点为圆心，长为半径的与直线相切时， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 14．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示． （2）如图2，四边形内接于，四边形的外角平分线交于点F，连结并延长交的延长线于点E．求证是中的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结，若是的直径．求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）45° 【分析】（1）根据遥望角的定义得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）延长到点，根据圆内接四边形的性质得到，得到，根据圆周角定理得到，进而得到，根据遥望角的定义证明结论； （3）连接，根据遥望角的定义得到，进而证明，根据得到，根据等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）是中的遥望角， ，， ， ； （2）如图2，延长到点， 四边形内接于， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的平分线， ， ， ，， ， ， 是的外角平分线， 是中的遥望角； （3）如图3，连接， 是中的遥望角， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 与圆相关的综合题 题型梳理 题型方法 题型一 圆与三角形、四边形的综合 题型二 圆与函数的综合 题型三 动态问题 题型方法 【题型一】圆与三角形、四边形的综合 【例1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，内接于圆，过点B的直线与AC的延长线交于点D．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，内接于圆O，圆O的半径是6，，于点D，则线段的长度是（　　）    A．3 B． C．6 D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知四边形内接于圆． (1)求的度数； (2)若的半径为6，求的长． 【题型二】圆与函数的综合 【例2】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点，一次函数（k为常数，且）的图像与交于B、C两点，则弦的长的最小值为 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 【变式3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【题型三】动态问题 【例3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置（   ） A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． (1)证明： (2)当点不与重合时，求的度数． (3)当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 好题必刷 一、单选题 1．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（  ）． A．140° B．40° C．70° D．50° 2．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的⊙G与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　   　） A．π B．π C．π D．π 3．（20-21九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为，点O为正方形的中心，点F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作，垂足为点E，当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A．6 B．12 C．24 D．36 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，为⊙的四等分点，动点从圆心出发，沿→→→→路线作匀速运动，设运动时间为（秒），(度)，图2表示与之间函数关系的图象，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（20-21九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形APBC内接于⊙O，∠APB＝120°，PC平分∠APB，若PB＝3，PA＋PC＝7，则PC＝ ． 8．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为 ． 三、解答题 10．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，已知内接于，是的直径，点在上，且点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在半径为5的中，直径的不同侧有定点C和动点P，已知，点P在弧上运动． (1)当点P与点C关于对称时，求的长； (2)当点P运动到弧的中点时，求的长； 12．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 (1)求证：与相切 (2)如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针方向旋转，与、轴分别交于点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求直线的函数表达式： (3)P是直线上一个动点，以点为圆心，长为半径作，若与的一边所在直线相切，求点的坐标． 14．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示． （2）如图2，四边形内接于，四边形的外角平分线交于点F，连结并延长交的延长线于点E．求证是中的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结，若是的直径．求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$