第11讲 弧长及扇形面积（知识清单+2必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第11讲 弧长及扇形面积 题型梳理 题型方法 题型一 弧长公式 题型二 扇形的面积公式 知识清单 知识点1.弧长公式（重点） （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2.扇形的面积（重点） （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） 知识点3.不规则图形面积的求法（难点） 求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法． 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型方法 【题型一】弧长公式 【例1】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知弧长为，半径为6，则弧的度数为 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 【题型二】扇形的面积公式 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径的与，分别相交于点D，E． (1)求证：； (2)若半径为5，，求扇形的面积． 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，， 延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）半径为3，圆心角为的扇形面积为（   ） A． B． C．3 D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点在以为直径的半圆上，为圆心．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，的半径为8，，是互相垂直的两条直径，点P是上任意一点，过点P作于点M，于点N，点Q是的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．8π 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为 ． 8．（22-23九年级上·浙江温州·期末）半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，则该弧的度数为 °． 9．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，它所对的弧长为，则该扇形的面积是 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ． 11．（21-22九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，若，则点经过的路径的长度为 ． 12．（20-21九年级上·浙江衢州·期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．    (1)将绕点顺时针旋转得，画出； (2)在（1）的条件下，求点A经过的路径长（结果保留）． 14．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)连结，若，，求图中阴影部分的面积． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②当时，求的长． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 18．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是直径，弦，垂足为点E，连结，．    (1)求证：． (2)若，，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 弧长及扇形面积 题型梳理 题型方法 题型一 弧长公式 题型二 扇形的面积公式 知识清单 知识点1.弧长公式（重点） （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2.扇形的面积（重点） （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） 知识点3.不规则图形面积的求法（难点） 求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法． 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型方法 【题型一】弧长公式 【例1】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，推出是等腰直角三角形，求得，利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长为， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，明确点B的运动路径是解题的关键．画出在圆内绕翻滚一周的图形，可知点B经过的路径分别是圆心角为的三条弧，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长，进行计算即可． 【详解】解：如图，在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径分别为圆心角为：的三条弧长，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长， ∴点B的运动路径长为：， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知弧长为，半径为6，则弧的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式．根据弧长公式（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），将题中数据代入公式，即可求解． 【详解】解：设弧的的度数为度， 则， 解得：． ∴弧的度数为． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握． （1）根据是 的直径，，，推出，即可推得． （2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是 的直径， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长度． 【题型二】扇形的面积公式 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式及弧长公式，根据扇形面积公式，计算即可．解题关键是找到弧长公式与面积公式之间得关系． 【详解】解：扇形面积． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径的与，分别相交于点D，E． (1)求证：； (2)若半径为5，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了扇形面积和等腰三角形的性质以及圆周角定理．掌握扇形的面积公式、等腰三角形的性质以及圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理的推论得到，再根据等腰三角形的性质即可得到； （2）根据已知求出，根据扇形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接 为的直径      又      （2） 又∵四边形内接于 ， 是的中位线 ∥，      【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图所示， 以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，， 延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）要证明，则要证明，由平行四边形的性质以及半径相等能够证明之； （2）先证明是等边三角形，利用，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵A为圆心，∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点A作于点H， 则， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理，扇形面积公式等知识点的应用，关键是求出． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）半径为3，圆心角为的扇形面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，扇形的面积为：； 故选D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点在以为直径的半圆上，为圆心．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于半径相等，且与的高相等，故与的面积相等，则阴影部分的面积是扇形的面积，据此列式计算，即可作答．本题考查了扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解答】解：直径，点在半圆上， ， ∵， ∴， ∵与的高相等， ， 阴影部分的面积， 故选：A 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算．根据弧长公式代入计算即可． 【详解】根据弧长公式， 可得的长度为． 故选：B 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 6．（21-22九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，的半径为8，，是互相垂直的两条直径，点P是上任意一点，过点P作于点M，于点N，点Q是的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】A 【分析】由题意易知四边形是矩形，连接，的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得，再由走过的角度代入弧长公式即可． 【详解】连接，如图所示： ∵，于点M，于点N， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵点Q为的中点， ∴点Q为的中点， 则， 点Q走过的路径长． 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积．直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：该扇形的面积为． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·浙江温州·期末）半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，则该弧的度数为 °． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】∵半径为6的圆上，一段圆弧的长度为， ∴， 故答案为90． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：． 9．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，它所对的弧长为，则该扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式，设扇形的半径为，首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积是， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键． 设扇形所在圆的半径为r，根据题意，得，解得（舍去），根据弧长公式，得即可求解． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为r， 根据题意，得， 解得（舍去）， 根据弧长公式，得． 故答案为：． 11．（21-22九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，若，则点经过的路径的长度为 ． 【答案】 【分析】根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：由题意知 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长．解题的关键在于熟练掌握弧长的计算公式． 12．（20-21九年级上·浙江衢州·期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，得到为等边三角形，求得扇形的面积减去的面积即可． 【详解】解：连接、，如下图： ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB ∴，， ∴ 又∵AE⊥BC，AE经过圆心O ∴ ∴ ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∴ 在中，，，∴ 由勾股定理得 故答案为： 【点睛】此题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积计算，熟练掌握相关基本知识是解题的关键． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．    (1)将绕点顺时针旋转得，画出； (2)在（1）的条件下，求点A经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了旋转作图，求弧长，勾股定理． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可得到； （2）利用勾股定理求出，根据旋转角为，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求；    （2）解：由（1）知， ， 点A经过的路径长为：． 14．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)连结，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可得结论； （2）连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，最后结合直角三角形性质，以及面积和求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 中，，， ，， 图中阴影部分的面积， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角的性质，等腰三角形性质，等边三角形判定及扇形面积和三角形面积计算，解题的关键是利用直径所对圆周角是直角，以及结合已知角度和边长关系进行推导计算． （1）根据圆的直径所对圆周角，再结合已知的，，得到，再由圆周角，最后求出相应角度； （2）通过作，垂足为．则，利用角度和边长关系判断出三是等边三角形，进而分别计算扇形面积和三角形面积，最后得出阴影部分面积． 【详解】（1）解：为直径， ， ，， ， ， ． （2）解：作，垂足为．则， ， ．而， 是等边三角形． ，， 阴影部分的面积． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为 【分析】（1）根据垂径定理推论得到平分，再根据弧与弦的关系即可求证； （2）①由等边对等角得到，而，那么，则，即可求解；②连接，由得到，则，那么，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵弦直径， ∴平分， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同圆中弧与弦的关系，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握圆中相关概念是解题的关键． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，求弧长，求扇形面积； （1）连接，根据等边三角形的性质可得，，证明是等边三角形，进而得出，然后根据弧长公式进行计算即可求解； （2）连接，过点作于点，由（1）得是等边三角形，由等边三角形的性质求得的长，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵以等边三角形的边为直径作半圆，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图所示，连接，过点作于点， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 18．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是直径，弦，垂足为点E，连结，．    (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为是直径，所以，结合圆周角定理，即可作答． （2）因为是直径，所以，即，故，则，再运用弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：，是直径， ， ； （2）解：如图，连接，，．   ，是直径， ， ， ， ， ， 的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$