第10讲 圆内接四边形与正多边形（知识清单+3必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第10讲 圆内接四边形与正多边形 题型梳理 题型方法 题型一 圆内接四边形及性质 题型二 正多边形的概念及对称性 题型三 圆内接正多边形及其画法 知识清单 知识点1.圆内接四边形的概念（重点） 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 知识点2.圆内接四边形的性质定理（重点） 1.圆内接四边形的对角互补． 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 知识点3.正多边形的有关概念（重点） （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 知识点4.正多边形的画法（重点）（难点） 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 知识点5.正多边形的对称性（拓展） 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 题型方法 【题型一】圆内接四边形及性质 【例1】（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形内接于，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，内接于，．若，则 度． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当，时，求的度数． (2)若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求半径长． 【题型二】正多边形的概念及对称性 【例2】（20-21九年级上·浙江温州·期末）若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 【变式3】（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    【题型三】圆内接正多边形及其画法 【例3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点，则的度数为（） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，以正八边形的一条边为边，向形外作一个正方形．在正八边形内作两条对角线，交于点．则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，点是正六边形的中心，则的长为 ． 【变式3】尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 2．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（   ） A．12个 B．18个 C．24个 D．32个 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）有一个正边形（为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值 ． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），为⊙O的直径，且，则的度数为 度． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在半径为3的上，以3为半径依次截取点六个点，并连接得六边形．连结，则四边形的面积是 ． 三、解答题 8．作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点D，． (1)连，，求； (2)连，，求证：； (3)探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设度数为，弧度数为．探索和满足的等量关系． 12．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．    (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． (3)请在图中作一个的圆周角，记为． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 圆内接四边形与正多边形 题型梳理 题型方法 题型一 圆内接四边形及性质 题型二 正多边形的概念及对称性 题型三 圆内接正多边形及其画法 知识清单 知识点1.圆内接四边形的概念（重点） 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 知识点2.圆内接四边形的性质定理（重点） 1.圆内接四边形的对角互补． 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 知识点3.正多边形的有关概念（重点） （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 知识点4.正多边形的画法（重点）（难点） 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 知识点5.正多边形的对称性（拓展） 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 题型方法 【题型一】圆内接四边形及性质 【例1】（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形内接于，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：四边形内接于，， ． 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，内接于，．若，则 度． 【答案】108 【分析】设，得到，求得，，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论． 本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，在上取点，连接，， ，， ，， 设， ， 则， ，， 在BC的上方上取点D，连接BD，CD，则， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当，时，求的度数． (2)若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补，外角等于内对角是解题的关键； （1）根据外角的性质可得，再根据圆内接四边形的性质即可得解； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2)半径长 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理； （1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明； （2）连接，根据圆周角定理可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点，，，均在上， ∴四边形为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图所示连接， ∵ ∴ 设的半径为，则中， 解得：（负值舍去） ∴半径长 【题型二】正多边形的概念及对称性 【例2】（20-21九年级上·浙江温州·期末）若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】A 【分析】根据正多边形的内角求得每个外角的度数，利用多边形外角和为360°即可求解． 【详解】解：∵圆内接正多边形的内角是， ∴该正多边形每个外角的度数为， ∴该正多边形的边数为：， 故选：A． 【点睛】本题考查圆与正多边形，掌握多边形外角和为360°是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，根据正六边形是的内接正六边形，可知是等边三角形，从而可知正六边形的边长为，所以正六边形的周长为． 【详解】解：如下图所示，正六边形是的内接正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， 正六边形的周长为． 故答案为： ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    【答案】15 【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：15．    【点睛】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 【题型三】圆内接正多边形及其画法 【例3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 根据正六边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在圆内接正六边形中， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，以正八边形的一条边为边，向形外作一个正方形．在正八边形内作两条对角线，交于点．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正多边形的性质，等腰三角形的性质，如图，连接，证明，可得，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， +   ∴， ∵正八边形的每一个内角为：，每一条边都相等， ∴， ∴，， ∵直线为正八边形的对称轴， ∴， ∴， ∴， 结合正方形与正八边形可得： ， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴； 故选A 【变式2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，点是正六边形的中心，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 作于点， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 【变式3】尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 【答案】（1）见解析；（2）4 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长. 【详解】（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）连接OF，设BE与DF交于G点 ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120° ∴∠DFE=30° ∵OE=OF ∴△FOE为等边三角形 ∴EF=OE=4，∠OEF=60° ∴∠FGE=90° ∴EG=OE=2 ∴FG= ∴FD=2FG= 【点睛】此题主要考查了复杂作图及正多边形的计算，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆和圆周角定理，根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：正多边形的外接圆为， 点为正边形的中心．， ， ， 故选：C． 2．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，先根据“圆的内接四边形对角互补”求出，再得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（   ） A．12个 B．18个 C．24个 D．32个 【答案】C 【分析】该题主要考查了圆周角定理，正多边形与圆等知识点，解题的关键是理解题意． 根据题意得出直径所对圆周角为，得出等角的度数，结合八等分点即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得经过点，即为直径， ∴，，为， 根据点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点， ∴， ∴所对圆心角为，所对圆周角为， ∴，，， ，是钝角， 共有24个钝角，故有24个钝角三角形． 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正五边形的性质，进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）有一个正边形（为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值 ． 【答案】12（答案不唯一） 【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，得到最少边数的正方形的每一条边所对中心角为满足题意，从而满足题意的正多边形边数为的整数倍，即可得到答案． 【详解】解：正方形绕中心旋转后与自身重合， 由正多边形性质可知，当一个正边形的边数是的整数倍时，正边形绕中心旋转后与自身重合， 正边形满足题意， 故答案为：12（答案不唯一）． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），为⊙O的直径，且，则的度数为 度． 【答案】20 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为⊙O的直径， ∴， ∴， 故答案为：20． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在半径为3的上，以3为半径依次截取点六个点，并连接得六边形．连结，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形面积，熟练掌握正六边形性质，正三角形面积公式，是解题的关键． 正六边形可等分成六个正三角形，正三角形面积公式为（a正三角形的边长），剪下的三角形的面积每个都等于其中的一个正三角形的面积． 【详解】． 故答案为：． 三、解答题 8．作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可． （2）连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，即可得出图形． 【详解】（1） （2）解：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，， 如图，六边形即为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点D，． (1)连，，求； (2)连，，求证：； (3)探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由得到，根据圆周角定理得，再利用等腰三角形的性质即可求出； （2）证明是等边三角形，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，通过证明，得出，，进而证明是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ． （2）证明：是的外角的平分线， ， ， 由（1）得，， ， 是等边三角形， ． （3）解：，理由如下： 延长至F，使，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 由（2）得，是等边三角形， ，， 又 ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设度数为，弧度数为．探索和满足的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查圆内接四边形，圆心角，弧，弦的关系以及圆周角定理等． （1）根据圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理进行解答； （2）根据，继而利用圆内接四边形对角互补即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； （2）解：，探究如下： ∵度数为， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵度数为， ∴，即：． 12．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．    (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． (3)请在图中作一个的圆周角，记为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了圆的内接四边形求度数，圆周角定理，正确把握圆周角定理是解题的关键． （1）在弧上取一点，连接，则，故即为所求； （2）作直径，连接，则，那么，故即为所求； （3）连接，则，故即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）解：如上图，即为所求； （3）解：如上图，即为所求． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$