精品解析：云南省楚雄第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

云南省楚雄第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的定义直接求解即可. 【详解】，， ． 故选：B. 2. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，然后根据二倍角公式得出结果. 【详解】因为是角终边上一点， 所以， 则， 故选：A. 3. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求，再根据复数的乘法运算计算，最后根据复数的概念即可求解. 【详解】由题意有，所以，所以的虚部为1. 故选：A. 4. 已知向量则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据向量的坐标运算进行验证. 详解：由已知，A错误； 又，∴不平行，B错误； ，，∴，C正确； ，D错误. 故选C. 点睛：平面向量的坐标运算：，则有：，，，，，. 5. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 6. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 7. 下列命题说法错误的是（ ） A. 在上单调递增 B. “”是“”的充分不必要条件 C 若集合恰有两个子集，则 D. 对于命题存在，使得，则：任意，均有 【答案】C 【解析】 【分析】A.利用复合函数单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程有一根判断；D.由命题p的否定为全称量词命题判断. 【详解】A.令，由，解得， 由二次函数的性质知：t在上递增，在上递减，又在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确； B. 当时，成立，故充分，当成立时，解得或，故不必要，故正确； C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程有一根，当时，，当时，，解得，所以或，故错误； D.因为命题.存在，使得是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即任意，均有，故正确； 故选：C. 8. 已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 【详解】, 由， ， 即， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确是（ ） A. 数据，，，，，的平均数和中位数相同 B. 数据，，，，，，，，的众数为 C. 有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取甲个体数为，则样本容量为 D. 甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别求平均数、中位数、方差、根据分层抽样的性质求样本容量. 【详解】对于A，平均数为，中位数为，故A选项正确； 对于B，数据的众数为，故B选项正确； 对于C，设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为，故C选项正确； 对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误； 故选：ABC. 10. 函数，把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为π B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若，则的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数变形，然后再利用三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可 【详解】，则把其图像上各点的横坐标缩短到原来的，可得， 对于A，的最小正周期为，所以A正确， 对于B，由，得，所以函数的图像关于直线对称，所以B正确， 对于C，当时，，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，所以C正确， 对于D，由，得，所以，所以，所以当，则的值域为，所以D错误， 故选：ABC 11. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ） A. 设，，若，则， B. 设，则 C. 设，，若，则 D. 设，，若与的夹角为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意得：，， 对于A结合向量相等理解判断； 对于B、D：利用以及进行运算判断； 对于C：若，则，使得． 【详解】， 对于A：即，则， A正确； 对于B： 即 B错误； 对于C：若， 当即时，显然满足：； 当即或时，则，使得， 即 则可得，消去得：； C正确； 对于D：结合可A、B知：若， 则，， 根据题意得： 即，可得：即 D不正确； 故选：AC． 三、填空题 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义即可求，再根据的图像关于轴对称即可求解. 【详解】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 13. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据向量的投影公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则在方向上的投影为. 故答案为：. 14. 中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合已知条件可得不等式，继而解，即可得答案. 【详解】由题意得， 又，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以，即的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 15. ，，为平面内不同的三点，，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若，的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，，三点共线，可得，又，利用平面向量共线的坐标表示即可求解； （2）由题意，，且与不共线，由平面向量共线的坐标表示及平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 解：因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 所以，解得； 【小问2详解】 解：因为，的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 16. 已知向量，，记函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域； （2）先根据为偶函数求得，再求的最小值. 【详解】解：（1） 则∵， ∴的取值范围为. （2）因为为偶函数， 所以 因此当时. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 17. 在中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c，已知，A为锐角. （1）求角A的大小； （2）在①的面积为，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上.问题：若，___________，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及正弦定理边化角，再利用辅助角公式及角的范围即可求解； （2）选①根据三角形的面积公式及余弦定理，再利用三角形的周长公式即可求解； 选②根据向量的数量积公式式及余弦定理，再利用三角形的周长公式即可求解； 选③根据向量的摸长公式及向量的减法运算及锐角三角函数，再利用三角形的周长公式即可求解； 【小问1详解】 ∵及正弦定理，得 ∴， ，∴ 即， ∵∴ ∴∴ 【小问2详解】 若选①：得 又即，得 ∴周长为. 若选②：由得 ∴ 又即 得 ∴周长为 若选③：由，得 两边平方，得，，∴ 由（1）知，，在中 ∴， ， ∴周长为. 18. 为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第百分位数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1） （2） （3）平均数为；方差为 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求解， （2）根据百分位数的计算公式即可求解， （3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为得，，解得． 小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第百分位数，由，解得， 所以第百分位数为； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为. 19. 若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【答案】（1）不是； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可； （2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值； （3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得. 【小问1详解】 由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点， 由余弦函数的性质知，的零点为， 所以与不是 “共零函数”. 【小问2详解】 由，则，即， 由，则，即， 又与是一对“共零函数”，则，， 所以，即，； 【小问3详解】 由，则， 又与是一对“共零函数”，则， 所以， 由，则， 由与也是一对 “共零函数”，则， 所以，即， 由在上单调递增，故，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省楚雄第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知向量则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 6. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题说法错误是（ ） A. 在上单调递增 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若集合恰有两个子集，则 D. 对于命题存在，使得，则：任意，均有 8. 已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，的平均数和中位数相同 B. 数据，，，，，，，，众数为 C. 有甲、乙、丙三种个体按比例分层抽样调查，若抽取甲个体数为，则样本容量为 D. 甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组 10. 函数，把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为π B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若，则的值域为 11. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ） A. 设，，若，则， B. 设，则 C. 设，，若，则 D. 设，，若与的夹角为，则 三、填空题 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则___________. 13. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为_______. 14. 中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为_____. 四、解答题 15. ，，为平面内不同的三点，，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若，的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16. 已知向量，，记函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值. 17. 在中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c，已知，A为锐角. （1）求角A的大小； （2）在①的面积为，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上.问题：若，___________，求的周长. 18. 为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中值； （2）求样本成绩的第百分位数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 19. 若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$