第2章 实数能力提升卷- 【千里马·单元测试卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学(北师大版2024)

考号 班级 姓名_ ⋯⋯装⋯订'线内，'不⋯⋯'要⋯答⋯⋯题=========⋯== 第二章 能力提升卷 [答案：P44] 答题卡 【考查范围：实数】 时间：120分钟 满分：120分 题 号 一 二 三 总 分 得 分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1若式子√+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( ) A.x≥-2 B.x≤-2 C.x>-2 D.x<-2 2.(天津和平区期末)在实数0,-4,一π,-2中，最小的数是 ( ) A.0 B.-4 C.一π D.-2 3.下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数； ③无理数都是无限不循环小数；④无限小数都是无理数.其 中正确的是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 4.(湖南衡阳期中)已知√4.3≈2.073 6,√43≈6.5574,下列运 算正确的是 ( ) A.√0.43≈0.655 74 B.√430≈65.574 C.√4 300≈20.736 D.√43 000≈2073.6 5.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y 是 ( ) 输入x 取算术平方根 是否为无理数? 是 输出y 否 5题图 A.2√2 B.3√2 C.2√3 D.8 6.(徐州中考)√2023的值介于 ( ) A.25与30之间 B.30与35之间 C.35与40之间 D.40与45之间 7.我们把形如a√x+b(a,b为有理数，√x为最简二次根式)的 数叫作√x型无理数，如3√3+1是√3型无理数，则(√2+ √10)2是 ( ) A.√2型无理数 B.√3型无理数 C.√5型无理数 D.√10型无理数 8.(安徽宿州期中)最简二次根式√2+x与√5-2x是能够合并 的二次根式，则x的值为 ( ) A.1 B.-2 C.-1 D.0 9.如图，网格中小正方形的边长均为1,把阴影部分剪拼成一个 正方形，正方形的边长为a.若4-a的整数部分和小数部分 分别是x,y,则x(x-y)= ( ) A.-2 B.-2+√6 C.√6 D.2-√6 9题图 10.(浙江温州期中)如图，已知每个小正方形的边长均为1,A, B,C三点都在小正方形的顶点上，则AB边上的高等于 ( ) A1 C B.10.33 A C.√13 B D.√10 10题图 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.(广东深圳期中)一个正方体木块的体积为125cm3,则它的 棱长为___cm. 12.(荆州中考)若3-√2的整数部分为a,小数部分为b,则代 数式(2+√2a)b的值是______ 13.新考向用“&”定义新运算：对于任意实数a,b,都有a&b= 2a2+b,如果3&4=2×32+4=22,那么√3&3=________ 14.[传统文化](枣庄中考)我国南宋著名数学家秦九韶在他 的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫 八年级数学 北师版上册 三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c, 那么该三角形的面积为s=√4[a1B-2+2-].现 已知△ABC的三边长分别为1,2,√5,则△ABC的面积为__________. 15.(福建三明期中)对于任何实数a,可用[a]表示不超过a的 最大整数，如[4]=4,[√3]=1.现对72进行如下操作： 72 第一次[√72]=8第二次→[√8]=2第三次[√2]=1. 类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大 的是___. 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演 算步骤或推理过程) 16.(10分)计算： (1)(2√层-√)×(28+√) (2)(-50°+(3)+√z-2-5 17.(8分)(河北邢台期末)已知x是4的平方根. (1)求x的值； (2)若y3+8=0,求ly-x1的值. ·7· 见此图标品抖音/微信扫码 AI伴学助手在线答疑解惑 18.(8分)已知a+1的算术平方根是1,-27的立方根是b- 12,c-3的平方根是±2,求a+b+c的平方根. 19.(8分)(山东兖州期末)阅读下面对话，然后解答问题： 我想在一块面积为300cm2且长、宽 之比为3:2的长方形纸片中，沿着 用一块面积大的纸片 边的方向裁出一块面积为225cm2的 裁出一块面积小的纸 正方形纸片，不知能否裁出? 片，那肯定行. 19题图 20.(8分)跨学科>(山西晋中期中)某地气象资料表明，当地雷 雨持续的时间t(h)可以用公式‘“P2=900”’来估计，其中 d(km)是雷雨区域的直径. (1)如果雷雨区域的直径为4km,那么这场雷雨大约持续 多长时间?(结果精确到0.1h) (2)如果一场雷雨持续了1h,那么雷雨区域的直径是否超 过10 km? 21.(8分)(江苏扬州期中)在4×4的正方形网格中，每个小正 方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三 角形. (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图②中，画一个直角三角形，且满足它是轴对称图形； (3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数. 21题图① 21题图② 21题图③ 22.(12分)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如53 √号污+1样的式子，这样的式子我们可以将其进一步 化简：=5×5=53,人=√3×33 5+1 (3+1)(3-1)=5-1 以上这种化简的方法叫作分母有理化，请利用分母有理化 解答下列问题： (1)化简：5+3 (2)若a是√2的小数部分，求me的值； (3)化简： 3+5+万+.5+⋯ + √2025+√2023 23.(13分)[核心素养]阅读下面的材料：将边长分别为a,a+ √b,a+2√b,a+3√b的正方形面积分别记为S?,S?,S?,S?,则 S?-S?=(a+√b)2-a2=[(a+√b)+a]·[(a+√b)-a] =(2a+√b)·√b=b+2a√b. 例如：当a=1,b=3时，S?-S?=3+2√3. 根据以上材料解答下列问题： (1)当a=1,b=3时，S?-S?=___,S?-S?=___; (2)当a=1,b=3时，把边长为a+n√b的正方形面积记作 Sn+1,其中n是正整数，从(1)中的计算结果，请直接写 出S?+1-S。的结果：_____; (3)在(2)的条件下，已知 S?=a,当a=1,b=3时，令t?= S?-S?,t?=S?-S?,t?=S?-S?,⋯,tn=S?+1-S,且T= t?+t?+t?+⋯+t50,求T的值. ·8· 见此图标品抖音/微信扫码 AI伴学助手在线答疑解惑 22.解：(1)如答图，点P即为所求. 理由：作点A关于河岸CD的对称点A',连接 BA'交河岸 于点P,连接PA,则PA=PA'. 因为PB+PA=PB+PA'=BA', 此时路程最短， 所以牧人应将马赶到河边的点P处. (2)如答图，过点A'作A'B'⊥BD,交BD的延长线于点B', 易得DB'=CA'=CA=500m,B'A'=CD=500 m. 在Rt△BB'A'中，BB′=BD+DB′=1200m, A'B2=B'B2+A'B'2, 所以A'B=1300 m, 所以牧人要走的最短路程是1 300 m. B'. A' D C A B 22题答图 23.解：(1)因为∠ACB=90°, 在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16, 所以 BC=4cm. (2)由题意，知BP=t cm. ①如答图①,当∠APB为直角时，点P与点C重合， BP=BC=4cm,即t=4; ②如答图②,当∠BAP为直角时，CP=(t-4)cm. 在Rt△ACP中，AP2=32+(t-4)2, 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 即52+[32+(t-4)2]=t2,解得；1=2 A B C(P) A① B C P 23题答图① 23题答图② 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=4或1=25 (3)①如答图③,当BP=AB时，t=5; ②如答图④,当AB=AP时，BP=2BC=8cm,所以t=8; ③如答图⑤,当BP=AP时， AP=BP=tcm,CP=(4-t)cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2, 即P2=32+(4-1)2,解得1=-8 A B C P A B C P 23题答图③ A B P C 23题答图④ 23题答图⑤ 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或1=8 第二章 基础测试卷 1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.A 9.C [解析]因为正方形ABCD的面积为12,正方形BEFG 的面积为6,所以AB=AD=2√3,BG=√6,所以S△ADP= AD·AG=2×2√3×(2√3-√6)=6-3√2. 10.C [解析]由题意可分两种情况讨论：①当3≥m时，有 9m=36,解得m=4,不符合3≥m,所以此种情况不符合 题意；②当3<m 时，有3m2=36,解得m=±2√3.因为 3<m,所以m=-2√3舍去，即m=2√3.故选C. 11.2 12.π 13.2 14.4 15.1 [解析]当n=2时， 原式=[(15)-(1? 方(1+/5+1-5(1+5-1+5 方×√5=1. 16.解：(1)原式=4-1-4+√3=√3-1. (2)原式=√16+2√6-(8+4√6+3) =4+2√6-11-4√6 =-7-2√6. 17.解：(1)因为4(x-3)2=9, 所以(x-3)2=2, 所以x-3=2或x-3=-2, 解得x=2或x=2 (2)因为(x+10)3+125=0, 所以(x+10)3=-125, 所以x+10=3-125, 所以x+10=-5, 解得x=-15. 18.解：有理数集合 {,0,314,0.313 131 8,-√64,} 无理数集合 {晋，-√5,7.15151·相邻两个1之间5的个数逐次 加1),} 正数集合 “,号，3.14,0.313131 38,7.151551-(相邻两个 1之间5的个数查次加1)} 负数集合{-√5,-√64,⋯}. 19.解：因为一个正数的平方根为k-1和2, 所以k-1+(-2)=0, 所以k=2 这个正数为((一2)-49 故k的值为92,这个正数为44 20.解：梯子的顶端不能到达8.5m高的墙头. 理由：因为当梯子稳定摆放时，梯子的底端离墙的距离 为梯子长度的13,且梯子的长度为9m, 所以梯子的底端离墙的距离为!9×3=3(m), 所以梯子的顶端离地面的距离为√92-32=√72(m). 因为8.52=72.25>72, 所以梯子的顶端不能到达8.5m高的墙头. 21.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： 如答图，在Rt△ABF中，AB2=32+22=13. 在Rt△AEC中，AC2=82+12=65. 在Rt△BDC中，BC2=62+42=52, 所以AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°. C AK F B D 21题答图 (2)由(1)可得AB=√13,BC=2√13. 因为△ABC是直角三角形， 所以 S△ABc=2AB·BC=2×√13×2√13=13. 22.解：(1)根据题意，知p=a+2t=9, 所以S△ABCc=√P(p-a)(p-b)(p-e) =√9×(9-8)×(9-4)×(9-6)=3√15. (2)因为SABc=—2ch?=2b2=2ah?=3√15, 所以-2×6h,=2×4h?=2×8h,=3√15, 所以h?=√15,h?=3√215,n=3√45, 所以h?+h?+h?=13√15 23.解：(1)m2+3n2 2mn [解析]因为a+b√3=(m+n√3)2, 所以a+b√3=m2+3n2+2mn√3, 所以a=m2+3n2,b=2mn. (2)13 4√3 1 2(答案不唯一) (3)因为a+4√3=(m+n√3)2, 所以a+4√3=m2+3n2+2mn√3, 所以a=m2+3n2,4=2mn. 因为m,n均为正整数， 所以m=2,n=1或m=1,n=2, 所以a=22+3×12=7或a=12+3×22=13, 即a的值为7或13. 第二章 能力提升卷 1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.A 9.B [解析]由题意，得Sm影=2×2×2×2+÷×2×2=6, 所以a2=6.因为a>0,所以a=√6,所以4-a=4-√6=1+ 3-√6,所以x=1,y=3-√6,所以x(x-y)=1×(1-3+√6) =-2+√6. 10.B [解析]Same=3×4-2×2×2-2×4×1-2× 3×2=5,AB=√22+32=√13.设AB边上的高为h, 所以AB=h=5,所以h=13=10133 11.5 12.2 13.9 14.1 15.255 [解析]因为[√3]=1,[√15]=3,[√255]=15, 所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大 的是255.故答案为255. 16.解：(1)原式=(2×厚一吾)×(2×2√2+) =(16-2)×(2+) =2√5+2-1-353+1. ·44· 八年级数学 北师版上册 (2)原式=1+9+3√3-(2+√3)2 =10+3√3-(7+4√3)=3-√3. 17.解：(1)由题意可知x2=4,所以x=±2. (2)因为y3+8=0, 所以y3=-8,所以y=-2. 当x=2时，ly-xl=1-2-21=4; 当x=-2时，ly-xl=1-2+21=0. 综上所述，ly-xl的值为4或0. 18.解：因为a+1的算术平方根是1, 所以a+1=1,所以a=0. 因为-27的立方根是b-12, 所以b-12=-3,所以b=9. 因为c-3的平方根是±2, 所以c-3=4,所以c=7, 所以a+b+c=0+9+7=16, 所以a+b+c的平方根是±4. 19.解：设长方形纸片的长为3x cm,宽为2x cm, 根据题意，得3x·2x=300, 解得x=±5√2. 因为x>0,所以x=5√2, 所以宽为2x=10√2cm. 面积为225 cm2的正方形的边长为√225=15cm. 因为10√2<15,即正方形的边长大于长方形的宽， 所以沿着边的方向不能用这块纸片裁出符合要求的正 方形纸片. 20.解：(1)当d=4时，=0- 00 易知t>0, 所以=√0-30=1~0.3(h) 答：这场雷雨大约持续0.3 h. (2)把t=1代入12=900,得d3=900, 解得d=3√900km. 因为103=1000>900,所以3900<10. 答：雷雨区域的直径不超过10 km. 21.解：(1)画一个三边长分别为3,4,5的直角三角形即可. 如答图①所示，△ABC即为所求. A B C 21题答图① (2)画一个等腰直角三角形即可.如答图②所示，△DEF 即为所求.(答案不唯一) D E F 21题答图② (3)如答图③所示，△HMN即为所求.(答案不唯一) A M H 21题答图③ 22.解：(1)5+3(5+(35)(5-3) 2(.5-13=√5-J3 (2)因为a是√2的小数部分， 所以a=√2-1, 所以3√2-1(2-1)(2+1) =3(√2+1)=3√2+3. (3)5+1+√5+3+√7+√5++√2025+√2023 3-1+5-J+5-5++√2025-√2023 -1+5-15+J5-√5+27-√2023+√2025 -1+22025 =√2025-1 23.解：(1)2√3+9 2√3+15 [解析]S?-S?=(a+2√b)2-(a+√b)2 =(a+2√b+a+√b)(a+2√5-a-√6) =(2a+3√b)·√b=2a√b+3b. 当a=1,b=3时，原式=2√3+3×3=2√3+9. S?-S?=(a+3√b)2-(a+2√b)2 =(a+3√b+a+2√b)(a+3√b-a-2√b) =(2a+5√b)·√b=2a√b+5b. 当a=1,b=3时，原式=2√3+3×5=2√3+15. 故答案为2√3+9,2√3+15. (2)6n+2√3-3[解析]因为S?-S?=3×1+2√3= 3+2√3,S?-S?=2√3+3×3=2√3+9,S?-S?=2√3+ 3×5=2√3+15,⋯ 所以S?+1-S。=2√3+3×(2n-1)=6n+2√3-3. (3)当a=1,b=3时， T=t?+t?+t?+⋯+t50 =S?-S?+S?-S?+S?-S?+⋯+S??-Ss? =Ss?-S?, =(1+50√3)2-1 =(1+50√3+1)(1+50√3-1) =(2+50√3)×50√3 =7 500+100√3. 第三章 基础测试卷 1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.C 10.B [解析]根据题意，得P?(1,-1)=(0,2),P?(1,-1)= (2,-2),P?(1,-1)=(0,4),P?(1,-1)=(4,-4), P?(1,-1)=(0,8),P?(1,-1)=(8,-8),⋯当n为偶数 时，Pa(1,-1)=(2,-2);当n为奇数时，P。(1,-1)= (0,2),则P?s(1,-1)=(0,203).故选B. 11.坐标轴上 12.(-3,-4) 13.x 14.(3,300°)或(3,120°) 15.(3,1)[解析]如答图，过点D作DE⊥x轴于点E.因为 四边形ABCD为正方形，所以∠BCD=90°,而∠BOC=90°, 所以∠OBC+∠OCB= ∠OCB+∠DCE,所以∠OBC = ∠DCE.在△OBC与△ECD中， ,所以 △OBC≌△ECD(AAS),所以DE=OC,CE=OB.由题意，得 BC2=OB2+0C2,而OB=2,BC=√5,所以OC=1,DE= 1,CE=2,所以点D的坐标为(3,1).故答案为(3,1). y↑ A Bk D 0 C E 15题答图 16.解：(1)因为点A在第二象限， 点A到y轴的距离是到x轴的距离的2倍， 所以-(2a=3)=2(a+2),解得a=2, 所以2a=3==2,a+2=1, 所以点A的坐标是(-2,1). (2)因为AB//x轴， 所以点A,B的纵坐标相等， 所以，a+2=-2,解得，a=-2, 所以2a-3=-8, 所以线段AB的长度为2-(-8)=10. 17.解：(1)如答图所示，△A?B?C?即为所求. △A?B?C?与△ABC关于y轴对称. ↑Y C C 4 3 B B2A A 1 -5—4— 3--2-110 12345 24 B? =3 C2. 17题答图 (2)如答图所示，△A?B?C?即为所求. 18.解：(1)根据题意，得点B在x轴上.分两种情况讨论： ①当点B在点A的左侧时， 因为点A(2,0),AB=4, 所以点B的坐标为(-2,0); ②当点B在点A的右侧时， 因为点A(2,0),AB=4, 所以点B的坐标为(6,0). 综上，点B的坐标为(-2,0)或(6,0). (2)根据题意，得点B可能在x轴上，也可能在y轴上. ①当点B在x轴上时， 点B的坐标为(4,0)或(-4,0); ②当点B在y轴上时， 点B的坐标为(0,4)或(0,-4). 综上，点B的坐标为(4,0),(-4,0),(0,4)或(0,-4). 19.(1)3 [解析]因为点P在x轴上，所以m-3=0, 解得m=3. (2)由题意可得Im-31=2. 因为点P在第四象限， 所以点P的纵坐标小于0, 所以m-3=-2,解得m=1, 所以m+2=1+2=3, 所以点P的坐标为(3,-2). ·45·