第1章 因式分解（高效培优单元测试）数学湘教版2024八年级上册

第1章 因式分解单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【分析】A. ，左边为乘积形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B. ，左边为，正确分解应为，而选项B的分解结果为，与原式不等，故本选项不符合题意； C. ，右边为与的和，未形成整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D. ，左边为完全平方式，正确分解为两个的乘积，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 3．若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 4．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 5．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 6．已知，代数式的值为（　　） A． B．17 C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解．将代数式进行因式分解，利用已知条件代入计算． 【详解】解： ． 将代入，得：． 故选：B． 7．对于任何整数，多项式都能（   ） A．被9整除 B．被n整除 C．被整除 D．被整除 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，将多项式进行因式分解，利用平方差公式展开并整理，分析其因式结构，结合选项逐一验证即可． 【详解】解： ； ∴多项式都能整除； 故选D． 8．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意得到，，两式相减，将左边进行因式分解后得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：①，②， 将得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：； 故选D． 9．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（  ） A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 10．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把多项式分解因式，应提取的公因式为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了提取公因式法，直接根据公因式的定义分析得出答案．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解：把多项式分解因式，应提取公因式：． 故答案为：． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先对 进行因式分解，然后把，代入求解即可，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 15．已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是 【答案】等边三角形 【分析】本题主要查考因式分解的应用．先根据完全平方公式进行变形，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 16．如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 【答案】 13或7 【分析】本题考查了因式分解的应用.根据十字相乘法，进行分类讨论，得出相应周长，即可解答． 【详解】解：当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 即或7时，这个长方形的周长最长为． 故答案为：13或7；． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．分解因式： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用完全平方公式求解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． (1)若在“□”内填入，分解因式：； (2)若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 【答案】(1) (2)2种，（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式等因式分解方法． （1）利用提公因式法对进行因式分解； （2）根据平方差公式的形式，确定“□”可填的整数，再分析填法数量并举例分解． 【详解】（1）解：； （2）解：“□”可以为、，共2种填法 如选择，分解为， 选择，分解为， 答：有2种填法（为、），举例分解如等． 19．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 21．先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用全平方公式分解因式，解题关键是掌握利用全平方公式分解因式． （1）利用整体思想结合完全平方公式分解因式； （2）利用整体思想结合完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 为正整数， 为整数， 式子的值一定是某一个整数的平方． 22．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)是4的倍数．说明见解析 (3) 【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键； （1）根据即可判断； （2）计算的结果，根据结果即可作出判断； （3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“智慧数”； 故答案为：是； （2）解：是4的倍数． 理由如下： ， 而是4的倍数， ∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数； （3）解： ． 23．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 【答案】(1)，1 (2) (3), 【分析】本题考查了完全平方公式的配凑、非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系等．熟悉完全平方公式的形式是解题关键． （1）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （2）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （3）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 24．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 25．先阅读下列材料，再解答下列问题. 分解因式： 分析：将看成整体，设，则原式，再将还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法，回答下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：； (3)若为正整数，证明：的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法及整体换元思想是解题的关键． （）仿照题例，利用平方差公式进行因式分解即可； （）先由原式得，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （）先由原式得，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：将看成整体，设， 则原式， 再将还原，得原式， 故答案为：； （2）解： ； （3）证明： ， ∵为正整数， ∴的值一定是某一个整数的平方． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 因式分解单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 4．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 5．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 6．已知，代数式的值为（　　） A． B．17 C．11 D． 7．对于任何整数，多项式都能（   ） A．被9整除 B．被n整除 C．被整除 D．被整除 8．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（  ） A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽 10．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把多项式分解因式，应提取的公因式为 ． 12．因式分解： ． 13．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 14．已知，，则 ． 15．已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是 16．如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．分解因式： (1)． (2) (3) 18．填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． (1)若在“□”内填入，分解因式：； (2)若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 19．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 21．先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 22．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 23．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 24．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 25．先阅读下列材料，再解答下列问题. 分解因式： 分析：将看成整体，设，则原式，再将还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法，回答下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：； (3)若为正整数，证明：的值一定是某一个整数的平方． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$