第3章 圆锥曲线与方程（复习讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程（复习讲义） 一、基础目标 1. 定义与标准方程 （1）椭圆：掌握定义（到两定点距离之和为定值），标准方程，理解 a, b, c的关系； （2）双曲线：掌握定义（到两定点距离之差的绝对值为定值），标准方程，理解 a, b, c的关系； （3）抛物线：掌握定义（到定点与定直线距离相等），标准方程，明确焦点与准线的关系。 2. 几何性质 （1）椭圆：顶点、焦点、离心率、对称性； （2）双曲线：顶点、焦点、渐近线、离心率； （3）抛物线：顶点、焦点、准线、开口方向。 二、核心能力目标 1. 方程与性质的互推 （1）根据给定条件（如顶点、焦点、离心率等）求圆锥曲线方程。 （2）通过方程分析几何特性（如范围、对称性、开口方向）。 2. 位置关系与交点问题 （1）直线与圆锥曲线的位置关系：联立方程，利用判别式判断相交、相切、相离； （2）求弦长公式； 3. 几何量的计算 （1）椭圆与双曲线的焦点三角形面积； （2）抛物线的焦半径公式； 三、高阶应用目标 1. 综合问题解决 （1）利用定义求解动点轨迹方程（如阿波罗尼斯圆、卡西尼卵形线）。 （2）结合向量、参数方程或极坐标解决复杂问题（如光学性质、最值问题）。 2.统一性与几何变换 （1）理解圆锥曲线的统一性； （2）通过平移、旋转等变换研究一般二次方程的曲线类型。 四、数学思想培养 1.数形结合：通过方程分析几何特征，通过图形理解代数结论。 2.分类讨论：根据离心率或方程形式区分曲线类型。 3.模型思想：将实际问题（如天体轨道、反射镜面）抽象为圆锥曲线模型。 重点与难点 1.重点： （1）三种曲线的标准方程与几何性质。 （2）直线与圆锥曲线的位置关系及弦长计算。 2.难点： （1）双曲线渐近线的灵活应用（如求渐近线方程或利用渐近线求双曲线方程）。 （2）抛物线焦点弦的性质。 （3）含参数方程的讨论（如离心率与曲线形状的关系）。 知识点1：椭圆 （1）定义 平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆． 即：。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． （2）几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 短轴的长    长轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 知识点2：双曲线 （1）定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． （2）双曲线的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 虚轴的长    实轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 ，越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 知识点3：抛物线 （1）定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线． （2）抛物线的几何性质 标准方程 范围 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 ，越大，抛物线的开口越大 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 （3）常用结论 ①过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即． ②设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 1） 2） 3）以为直径的圆与准线相切； 4）焦点对在准线上射影的张角为 5） 知识点4：直线与圆锥曲线的位置关系 ①从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ②从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。 （1）若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 （2）若，设。 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 知识点5：弦长问题 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 == == 题型一 椭圆的标准方程及性质 【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【变式1-1】已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为，若为正三角形，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 双曲线的标准方程及性质 【例2】（多选）已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的虚轴长为2 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【变式2-1】以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线的标准方程及性质 【例3】（多选）若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为 . 题型四 弦长公式 【例4】设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【变式4-2】已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 题型五 圆锥曲线中的三角形 【例5】已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，则的三条中线的长度之和为 . 【变式5-1】已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于M，N两点，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型六 圆锥曲线中的定点定值 【例6】已知点在抛物线上. (1)求抛物线C的方程； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值. 【变式6-1】已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【变式6-2】已知椭圆的一个焦点为，且离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点、是轴上的两个动点，且，直线、分别交椭圆于点、（均异于），证明：直线的斜率为定值. 题型七 圆锥曲线中的最值 【例7】已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【变式7-1】已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（    ） A．有最大值，为16 B．有最小值，为16 C．有最大值，为4 D．有最小值，为4 【变式7-2】已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 基础巩固通关测 一、单选题 1．顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 4．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（    ） A． B． C． D． 6．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线C：，则（    ） A．双曲线C与圆有3个公共点 B．双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1 C．双曲线C与双曲线有相同的渐近线 D．双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同 10．已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 11．，是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（    ） A．9 B． C． D． 三、填空题 12．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为 ． 14．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点若，则该双曲线离心率的取值范围为 . 四、解答题 15．在中，，，且． (1)求证：点A在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标． 16．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程. 17．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平． (1)问船只能否顺利通过该桥？ (2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？ 18．双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点． （1）求双曲线C的方程． （2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由． 19．如图，已知椭圆的方程为，，分别为其左、右焦点，，为椭圆上的点且四边形为矩形，，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的动点，求点到直线的距离的最小值，并求此时点的坐标． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 二、多选题 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 6．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 7．（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 四、解答题 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 11．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 12．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 13．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 14．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 15．（2025·全国一卷·高考真题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程（复习讲义） 一、基础目标 1. 定义与标准方程 （1）椭圆：掌握定义（到两定点距离之和为定值），标准方程，理解 a, b, c的关系； （2）双曲线：掌握定义（到两定点距离之差的绝对值为定值），标准方程，理解 a, b, c的关系； （3）抛物线：掌握定义（到定点与定直线距离相等），标准方程，明确焦点与准线的关系。 2. 几何性质 （1）椭圆：顶点、焦点、离心率、对称性； （2）双曲线：顶点、焦点、渐近线、离心率； （3）抛物线：顶点、焦点、准线、开口方向。 二、核心能力目标 1. 方程与性质的互推 （1）根据给定条件（如顶点、焦点、离心率等）求圆锥曲线方程。 （2）通过方程分析几何特性（如范围、对称性、开口方向）。 2. 位置关系与交点问题 （1）直线与圆锥曲线的位置关系：联立方程，利用判别式判断相交、相切、相离； （2）求弦长公式； 3. 几何量的计算 （1）椭圆与双曲线的焦点三角形面积； （2）抛物线的焦半径公式； 三、高阶应用目标 1. 综合问题解决 （1）利用定义求解动点轨迹方程（如阿波罗尼斯圆、卡西尼卵形线）。 （2）结合向量、参数方程或极坐标解决复杂问题（如光学性质、最值问题）。 2.统一性与几何变换 （1）理解圆锥曲线的统一性； （2）通过平移、旋转等变换研究一般二次方程的曲线类型。 四、数学思想培养 1.数形结合：通过方程分析几何特征，通过图形理解代数结论。 2.分类讨论：根据离心率或方程形式区分曲线类型。 3.模型思想：将实际问题（如天体轨道、反射镜面）抽象为圆锥曲线模型。 重点与难点 1.重点： （1）三种曲线的标准方程与几何性质。 （2）直线与圆锥曲线的位置关系及弦长计算。 2.难点： （1）双曲线渐近线的灵活应用（如求渐近线方程或利用渐近线求双曲线方程）。 （2）抛物线焦点弦的性质。 （3）含参数方程的讨论（如离心率与曲线形状的关系）。 知识点1：椭圆 （1）定义 平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆． 即：。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． （2）几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 短轴的长    长轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 知识点2：双曲线 （1）定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． （2）双曲线的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 虚轴的长    实轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 ，越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 知识点3：抛物线 （1）定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线． （2）抛物线的几何性质 标准方程 范围 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 ，越大，抛物线的开口越大 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 （3）常用结论 ①过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即． ②设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 1） 2） 3）以为直径的圆与准线相切； 4）焦点对在准线上射影的张角为 5） 知识点4：直线与圆锥曲线的位置关系 ①从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ②从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。 （1）若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 （2）若，设。 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 知识点5：弦长问题 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 == == 题型一 椭圆的标准方程及性质 【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆. 故选：B. 【变式1-1】已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为，若为正三角形，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用为正三角形，确定几何量之间的关系，进而可求椭圆的离心率． 【详解】 因为为正三角形， 所以， 所以在中，，所以， 所以，即， 故选：D. 【变式1-2】设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，设点，利用余弦定理建立关系，结合椭圆范围求解作答. 【详解】依题意，，设点，，， ，中，由余弦定理得： ，整理得， 则，化简得：，即， 于是得，即，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 题型二 双曲线的标准方程及性质 【例2】已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的虚轴长为2 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】AB 【分析】由题设可得，结合已知方程得双曲线方程为，进而判断各项正误. 【详解】由题设，而，故，则， 所以双曲线方程为，实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为， 故A、B对，C、D错. 故选：AB 【变式2-1】以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解题意，确定所求双曲线的焦点在轴上，设其方程，由椭圆方程中的相关量求出即得. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且，故， 故由题所求双曲线的焦点在轴上，可设其方程为， 则得，解得， 故双曲线方程为. 故选：A. 【变式2-2】已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 题型三 抛物线的标准方程及性质 【例3】若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得点的坐标. 【详解】设抛物线的焦点为，则， 依题意可知，所以， 则. 所以点坐标为：、. 故选：BD 【变式3-1】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，从而求出的最小值即可. 【详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故，又， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【变式3-2】已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，，当位于轴同侧时无解；当位于轴的不同侧时，，，联立求解即可. 【详解】设，，，则，， 结合抛物线定义，， 当位于轴的不同侧时，， 由， 整理可得，所以，， 所以，解得(负值舍)，此时的坐标为； 当位于轴同侧时，，此时无解. 故答案为： 【点睛】思路点睛：设出，，，则，，由，将其转化为直线与的斜率，建立关于的方程求解即可. 题型四 弦长公式 【例4】设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 【变式4-1】已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 【变式4-2】已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的准线方程求出得解； （2）联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系及弦长公式建立方程即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以 ， 解得， 所以抛物线的方程为. （2）如图，    设，. 将代入， 消去整理得 . 当时， ， . ， 化简得：，解得， 经检验，此时，故. 题型五 圆锥曲线中的三角形 【例5】已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，则的三条中线的长度之和为 . 【答案】27 【分析】利用抛物线的定义及三角形重心的性质，求解即可. 【详解】设，，，因为，则， 则的三条中线的长度之和为. 故答案为：27. 【变式5-1】已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于M，N两点，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义和椭圆的对称性即可求得的周长的取值范围. 【详解】直线与椭圆交于M，N两点， 椭圆的上焦点为，令下焦点为，连接 由椭圆的对称性可得， 则的周长为, 又，则， 则的周长的取值范围是 故选：D 【变式5-2】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积． 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 的周长为， 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线， ，，直线的方程为， 即代入整理得， 解得或（舍），所以点的纵坐标为， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 题型六 圆锥曲线中的定点定值 【例6】已知点在抛物线上. (1)求抛物线C的方程； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点代入抛物线方程，求解的值即可； （2）设直线方程，与抛物线C的方程联立，由韦达定理得的值，计算的值即可. 【详解】（1）∵点在抛物线C上， ∴，解得， ∴抛物线C的方程为. （2）证明：设直线，，， 联立，消去y可得，， 由韦达定理有，， ∴，即得证. 【变式6-1】已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据双曲线的几何性质可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，进而写出直线的方程，可得点的坐标，结合化简可得，分和两种情况讨论即可求证，进而求出定点. 【详解】（1）由题意知，解得，，， 双曲线的方程为. （2）证明：设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 则， ， 所以直线方程为， 令，则， 同理直线方程为， 令，则， 由，可得， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 当时，， 此时直线方程为，恒过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，恒过定点符合题意， 综上所述，直线过定点.    【变式6-2】已知椭圆的一个焦点为，且离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点、是轴上的两个动点，且，直线、分别交椭圆于点、（均异于），证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得a、b的值即可. （2）方法一：设出直线方程，与椭圆方程联立得，，代入化简即可求得结果. 方法二：设直线的方程，由将椭圆方程化为椭圆，齐次化方程后运用韦达定理得及即可求得结果. 方法三：设直线的方程，与椭圆方程联立可求得点P坐标，用替换可得点Q坐标，进而可求得. 【详解】（1）由已知， 又离心率得，， 所以椭圆方程为. （2）方法一：由题可知直线斜率存在，设直线的方程为 设点，， 联立得，，满足时， 有，， 由可得， 即，即， 化简得， 代入韦达定理，可得， 又点不在直线上，因此，所以，即， 故直线的斜率为定值. 方法二：令，则，则椭圆方程 即椭圆，设直线的方程为，设点，， 则，，， 联立可得， 即 即， ，即，则. 方法三：已知，设点，因为，则， 设点，，设直线的方程为，则，所以，所以， 联立可得， 由韦达定理知，即，代入直线可得，即点， 用替换可得，则. 题型七 圆锥曲线中的最值 【例7】已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到，根据焦距得到，然后根据得到即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． （2） 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 【变式7-1】已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（    ） A．有最大值，为16 B．有最小值，为16 C．有最大值，为4 D．有最小值，为4 【答案】A 【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16． 【详解】由题意知，，则． 由基本不等式，知， （当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16． 故选：A． 【变式7-2】已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值. 【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点， 该抛物线的准线方程为，设， 由抛物线的定义得，要使最小，则需最大， 如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1， ，且， 所以，令，则， 所以，由， 而， 得，取得最小值，则的最小值为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）. 基础巩固通关测 一、单选题 1．顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得， 所以所求抛物线方程是. 故选：B 2．双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将双曲线方程化成标准式，即可得到，，从而求出，即可得到焦点坐标； 【详解】解：双曲线，即，所以，， 所以，即，所以焦点坐标为； 故选：B 3．若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，将直线方程与椭圆方程联立，由可求得实数的值. 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则， 将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得， 则，解得. 故选：C. 4．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，转化，即得解 【详解】由，可得 可解的， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：A. 5．椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合勾股定理可得，运算求解即可. 【详解】因为为直角三角形，且，，， 由勾股定理可得，即， 整理得，两边同除以得，解得． 且，所以． 故选：B. 6．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理计算，根据余弦定理计算，根据等面积法列方程得出，的关系，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的焦点为，，， 根据正弦定理可得， ，． 设，，则， 由余弦定理得，， ， ， 又， ，即，故， 解得：或（舍． 故选：B． 7．已知集合，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，结合图象，联立方程可得. 【详解】集合A表示如图抛物线及其内部的区域，集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部区域. ∵，即，联立， 消去得， 由图知，当时，关于的方程至多有一个解，满足，此时. 故选：A. 8．已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围. 【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，    若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大， 所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近； 在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为， 所以，保证时，即， 由题意及图知：，故，而， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．已知双曲线C：，则（    ） A．双曲线C与圆有3个公共点 B．双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1 C．双曲线C与双曲线有相同的渐近线 D．双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同 【答案】BCD 【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得. 【详解】解：作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为， 离心率为，易知选项BCD正确．      故选：BCD 10．已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】ABC 【分析】根据求出的范围即可. 【详解】由题意可知，， 所以，即． 故选:ABC． 11．，是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】AB 【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案. 【详解】由得，不妨，，则， 当时，则 ①平方减去②得， ∴， 当 (或者)时，， 令，则，解得， 则， . 故选：AB.    三、填空题 12．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 【答案】14 【分析】借助椭圆定义即可得. 【详解】由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为 ． 【答案】 【分析】先利用椭圆和双曲线的定义得到，， 再根据两曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解. 【详解】不妨设焦点，在x轴上，两者在第一象限的公共点为P， 设的实半轴长为a，则的长半轴长为3a，半焦距为c， 设，， 则， 由题意知：P在为直径的圆上， 所以， 解得：． 故答案为： 14．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点若，则该双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知可得、，结合已知不等式即可求双曲线离心率的范围. 【详解】由题设知：，又渐近线方程为， ∴. 由，化简得，即， ∴，从而，则双曲线的离心率. 故答案为： 四、解答题 15．在中，，，且． (1)求证：点A在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)， 【分析】（1）根据椭圆定义即可证明；（2）即为焦点. 【详解】（1），由椭圆定义可得：点A的轨迹为以为焦点的椭圆，证毕 （2）焦点坐标为，. 16．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程. 【答案】 【分析】根据抛物线的对轴、顶点设出抛物线的标准方程，再结合代入法进行求解即可. 【详解】因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为. 因为点M在抛物线上，所以，解得. 因此，所求抛物线的标准方程是. 17．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平． (1)问船只能否顺利通过该桥？ (2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？ 【答案】(1)货箱能顺利通过该桥； (2)需要增加26层可恰好能从桥下中央通过. 【分析】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上，求解抛物线方程，设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），求出CD，即可判断货箱是否能顺利通过该桥． （2）根据题意，结合（1）的结论进行求解即可． 【详解】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系： 设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上； ∴25＝﹣4m；∴；∴； 可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0）， 则；∴； ∵；∴货箱能顺利通过该桥． （2）由题（1）知，货物超出高度为， 每增加一层，则船体连货物高度整体上升， 由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为层， 答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过． 18．双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点． （1）求双曲线C的方程． （2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为. 【分析】（1）结合双曲线的离心率和椭圆的焦点，求得双曲线对应的，由此求得双曲线方程. （2）利用点差法求得直线的方程. 【详解】（1）椭圆：， 所以双曲线. 所以双曲线的方程为. （2）画出图象如下图所示，设， ， 两式相减并化简得，即， 所以直线的方程为. 19．如图，已知椭圆的方程为，，分别为其左、右焦点，，为椭圆上的点且四边形为矩形，，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的动点，求点到直线的距离的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题意可得，代入椭圆方程，再由为焦点，可得，解方程组可求出，从而可求得椭圆方程， （2）设直线与椭圆相切，代入椭圆方程，整理后由判别式等于零可求出的值，则可得切线方程，再由两平行线间的距离公式可求得距离，解方程可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意得，， 将代入椭圆方程，得， 由，得． 由，得， 故椭圆的标准方程为． （2）易知直线与椭圆没有公共点， 所以设直线与椭圆相切． 由，得， ∴，即， 则直线的方程为或． 当时，点到直线的距离为； 当时，点到直线的距离为． ∴点到直线的距离的最小值为， 此时，解得， ∴，故． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 2．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 4．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、多选题 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 6．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 7．（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 四、解答题 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 11．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 12．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 13．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 14．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 15．（2025·全国一卷·高考真题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 2 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $$