第3章 圆锥曲线与方程（单元测试·提升卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设双曲线C以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（    ） A． B． C． D．1 6．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C．4 D． 8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．对于方程和（且）所表示的双曲线，有相同的（    ） A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．渐近线 10．已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 11．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（    ）．    A．双纽线关于原点中心对称； B．； C．双纽线上满足的点有两个； D．的最大值为. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知曲线：，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点的距离之和的最小值是 . 13．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为 ． 14．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 . 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由. 16.（15分） 已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)经过点(,1)，焦点到渐近线的距离为1. (1)若直线l：y＝kx－1与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l：y＝kx－1与双曲线C交于A, B两点，O是坐标原点，且三角形AOB的面积为，求实数k的值． 17.（15分） 已知抛物线与椭圆 有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于两点，关于轴的对称点为． (1)求抛物线的方程； (2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 18.（17分） 已知直线：与双曲线：相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线分别与，轴相交于，两点． (1)若，且点，都在双曲线的右支上，求的取值范围； (2)若（为坐标原点）的面积为，且，求的取值范围． 19.（17分） 如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围． 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设双曲线C以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意得到双曲线中，，，得到答案. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，椭圆的焦点为. 故双曲线中，，，故双曲线方程为：. 故选：. 【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用抛物线定义和题给条件列出关于p的方程，解之即可求得p的值. 【详解】设抛物线C的准线与x轴交于点Q， 过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H， ∴，，由抛物线的定义知， ∵，∴，， ∴，解得． 故选：D． 3．已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得F点到P点与A点的距离相等，即|FA|= 又，故，求解即可. 【详解】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等， 又|FA|= ， ， ，又， ∴. 故选：D. 4．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知条件可以得到双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可知，，故的最大值为. 【详解】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点， 所以可设双曲线的方程为， 又因为双曲线的焦距为8，所以， 而，所以，故双曲线的标准方程为. 由双曲线的定义可知，， 由题意可知，，，， 所以,故的最大值为， 当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值. 故选：B    5．已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据椭圆与双曲线焦点的性质可，再联立直线与双曲线的方程，根据判别式为0得出等式，代入求解即可. 【详解】因为双曲线与椭圆共焦点，所以，即． 又双曲线与直线相切，由，化简得， 所以，即， 将代入方程化简得，即，，故，解得或（舍去）． 故选：D． 6．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值. 【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 7．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用题给条件列方程组求得的坐标，再利用椭圆定义即可求得椭圆C的长轴长. 【详解】椭圆的左右焦点分别为，， 抛物线与椭圆C有相同的焦点，则，， 设直线的方程为， 由，可得①， 则，解之得或（舍）， 由①可得可得，则， 则，， 则椭圆C的长轴长为. 故选：B. 8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解F1到渐近线的距离，结合OA∥F2M，可得∠F1MF2为直角，结合勾股定理可得解 【详解】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)， 设一条渐近线方程为y=x,则F1到渐近线的距离为. 设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b, A为F1M的中点，又O是F1F2的中点, ∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角， ∴△MF1F2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c2=c2+4b2 ∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2， ∴c=2a，∴e=2. 故选：C 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．对于方程和（且）所表示的双曲线，有相同的（    ） A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．渐近线 【答案】CD 【分析】化标准方程，比较离心率、顶点、焦点、渐近线 【详解】对于双曲线，，，； 顶点，焦点，离心率，渐近线 对于双曲线，即 ，，， 顶点，焦点，离心率，渐近线 因此这两个方程表示的双曲线有相同的离心率和渐近线． 故选：CD 10．已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B、C项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D. 【详解】    对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A项错误； 对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义 可得， 所以，. 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，. 所以有，即，故B项正确； 对于C项，若，则为直角三角形， 所以，， 即， 整理可得，， 两边同时除以可得，，即，故C项正确； 对于D项，由已知可得. 所以，. 令，则. 因为，所以. 又，所以有，所以有；，所以有，所以有. 所以，. 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以，， 所以，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D项，根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式. 11．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（    ）．    A．双纽线关于原点中心对称； B．； C．双纽线上满足的点有两个； D．的最大值为. 【答案】ABD 【分析】对于A，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于B，根据三角形的等面积法分析判断，对于C，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于D，由向量的性质结合余弦定理分析判断. 【详解】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确， 对于B，设 ∵，， ∴， ∴，∴，故B正确； 对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上 将代入得 即，解得， ∴这样的点只有一个，故C错误； 对于D，因为， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知曲线：，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点的距离之和的最小值是 . 【答案】4 【分析】求出焦点坐标，数形结合求出最值. 【详解】，焦点坐标为 由题意得：. 故点到焦点和到点的距离之和的最小值是4. 故答案为：4 13．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为 ． 【答案】2 【分析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】    设，由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令，可得，令，可得， 所以面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：设出点的坐标直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解. 14．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 . 【答案】4 【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值． 【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则， 要使最小，则需最大，，且， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值是4． 故答案为：4．      四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定值为. 【分析】（1）由给定条件可得已知直线与抛物线C相离以确定p的范围，再设点B坐标，由点到直线距离而得最小值即可求解； （2）假定存在点N(t，0)符合要求，将直线与联立消元得一元二次方程，设出点P，Q坐标，利用韦达定理并借助向量即可作答. 【详解】（1）解：依题意直线y=2x+2与抛物线C没有公共点，由得，，即， 设点是抛物线上任意一点，则， 而的最小值为，则，解得或 (舍去)， 所以抛物线的方程为； （2）解：设，，，把直线与联立得， 由题意可得，则，，而M为线段PQ中点， 于是得 ， 从而有时，是定值，与k的取值无关， 所以x轴上存在点，使得为定值. 16.（15分） 已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)经过点(,1)，焦点到渐近线的距离为1. (1)若直线l：y＝kx－1与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l：y＝kx－1与双曲线C交于A, B两点，O是坐标原点，且三角形AOB的面积为，求实数k的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由点在双曲线上及点线距离公式列方程组求参数a、b，即可得双曲线方程，再联立双曲线与直线方程得到含参数k的一元二次方程，根据交点个数可得，即可求k的范围. （2）由（1）应用韦达定理得到，，由三角形面积公式有，可得关于k的方程，进而求实数k的值． 【详解】（1）由题意，，解得，所以双曲线为. 由，消去y整理得：. 所以，解得：且. 因此，实数k的取值范围为． （2）设，由(1)得：，. 由题意，直线l恒过点D(0, －1)． ① 若，则S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝， ② 若，则S△AOB＝|S△AOD－S△BOD|＝. 所以，即，解得或. 由(1)知：或均满足题意，故或. 17.（15分） 已知抛物线与椭圆 有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于两点，关于轴的对称点为． (1)求抛物线的方程； (2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据题意得椭圆的焦点坐标为,，进而得，即可求出抛物线的方程； （2）设直线l的方程为，，设，，则，进而与抛物线联立方程，由韦达定理得，设直线的方程为，与抛物线联立得，故，进而得，再讨论排除，即可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的两焦点分别为,， 所以抛物线的焦点为，故，得， 所以抛物线的方程为； （2）由于直线的斜率存在，故设直线的方程为， 设，，则； 将代入得，， 所以，； 设直线的方程为，代入得， ，，； 因此，所以 若，直线的方程为，恒过点为 ，直线与直线重合，不合题意，故舍去，所以，此时直线的方程为，恒过点为． 18.（17分） 已知直线：与双曲线：相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线分别与，轴相交于，两点． (1)若，且点，都在双曲线的右支上，求的取值范围； (2)若（为坐标原点）的面积为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过联立方程组，利用判别式结合双曲线渐近线的位置，求的取值范围； （2）设点设直线方程，利用韦达定理表示出线段的垂直平分线方程，得到，两点坐标，由的面积结合判别式求的取值范围. 【详解】（1）双曲线：渐近线方程为， 当时，直线的方程为， 由，得， 由，解得， 因为点，都在右支上，所以． 所以的取值范围为． （2）   设，，把代入并整理得， 由，得， 设线段的中点为，则，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 所以点的坐标为，点的坐标为， 因为的面积为，所以， 整理得，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19.（17分） 如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围． 【答案】(1)椭圆，拋物线 (2) 【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案； （2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，再求直线在轴上截距的范围即可. 【详解】（1）解：根据题意得：，解得，，， 所以，抛物线焦点， 所以，椭圆，拋物线 （2）解：设， 联立与椭圆， 整理得：，   判别式： 弦长公式： 点到直线的距离为 所以 联立与抛物线，整理得：，判别式： 弦长公式：， 点到直线的距离为 所以， 因为，即，解得： . 所以，直线在轴上截距或， 所以，直线在轴上截距取值范 学科网（北京）股份有限公司2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D B D B B C 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 CD BCD ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．4 13．2 14．4 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） （1）解：依题意直线y=2x+2与抛物线C没有公共点，由得，，即， 设点是抛物线上任意一点，则， 而的最小值为，则，解得或 (舍去)， 所以抛物线的方程为；（6分） （2）解：设，，，把直线与联立得， 由题意可得，则，，而M为线段PQ中点， 于是得 ， 从而有时，是定值，与k的取值无关， 所以x轴上存在点，使得为定值.（13分） 16．（15分） （1）由题意，，解得，所以双曲线为.（2分） 由，消去y整理得：. 所以，解得：且. 因此，实数k的取值范围为．（6分） （2）设，由(1)得：，.（7分） 由题意，直线l恒过点D(0, －1)．（8分） ① 若，则S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝，（10分） ② 若，则S△AOB＝|S△AOD－S△BOD|＝.（12分） 所以，即，解得或.（14分） 由(1)知：或均满足题意，故或.（15分） 17.（15分） （1）因为椭圆的两焦点分别为,， 所以抛物线的焦点为，故，得， 所以抛物线的方程为；（4分） （2）由于直线的斜率存在，故设直线的方程为， 设，，则；（6分） 将代入得，，（8分） 所以，；（10分） 设直线的方程为，代入得， ，，； 因此，所以（13分） 若，直线的方程为，恒过点为 ，直线与直线重合，不合题意，故舍去，所以，此时直线的方程为，恒过点为．（15分） 18．（17分） （1）双曲线：渐近线方程为， 当时，直线的方程为， 由，得， 由，解得， 因为点，都在右支上，所以． 所以的取值范围为．（6分） （2）   设，，把代入并整理得， 由，得， 设线段的中点为，则，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 所以点的坐标为，点的坐标为， 因为的面积为，所以， 整理得，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为．（17分） 19．（17分） （1）解：根据题意得：，解得，，， 所以，抛物线焦点， 所以，椭圆，拋物线（4分） （2）解：设， 联立与椭圆， 整理得：，  （6分） 判别式： 弦长公式：（8分） 点到直线的距离为 所以 （10分） 联立与抛物线，整理得：，判别式： 弦长公式：， （12分） 点到直线的距离为 所以， 因为，即，解得： . 所以，直线在轴上截距或， 所以，直线在轴上截距取值范（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设双曲线C以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（    ） A． B． C． D．1 6．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C．4 D． 8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．对于方程和（且）所表示的双曲线，有相同的（    ） A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．渐近线 10．已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 11．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（    ）．    A．双纽线关于原点中心对称； B．； C．双纽线上满足的点有两个； D．的最大值为. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知曲线：，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点的距离之和的最小值是 . 13．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为 ． 14．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 . 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13分） 已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由. 16.（15分） 已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)经过点(,1)，焦点到渐近线的距离为1. (1)若直线l：y＝kx－1与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l：y＝kx－1与双曲线C交于A, B两点，O是坐标原点，且三角形AOB的面积为，求实数k的值． 17.（15分） 已知抛物线与椭圆 有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于两点，关于轴的对称点为． (1)求抛物线的方程； (2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 18.（17分） 已知直线：与双曲线：相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线分别与，轴相交于，两点． (1)若，且点，都在双曲线的右支上，求的取值范围； (2)若（为坐标原点）的面积为，且，求的取值范围． 19.（17分） 如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$