第3章 圆锥曲线与方程（单元测试·基础卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ） A．24 B．37 C．49 D．52 5．若点在椭圆上，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．以上都不对 6．已知斜率为的直线l与双曲线相交于A，B两点，且AB的中点是，则C的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线离心率为（  ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 10．双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（    ）． A． B． C． D．2   11．已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（    ） A． B． C．24 D．25 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 13．已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ． 14．如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为 米. 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 16．（15分）是双曲线C：上任意一点. (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)，求的最小值． 17．（15分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 18．（17分）在①，②，③轴时，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且______. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点，求. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19．（17分）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）． 学科网（北京）股份有限公司3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A C C A B B 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 AC AC BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） （1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p， ∴p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x．（4分） （2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t， 所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，（7分） ，同理：，（9分） 由题意：， ∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)， ∴y1y2＝4， ∴﹣4t＝4， ∴t＝﹣1， 故直线AB恒过定点(﹣1，0)．（13分） 16．（15分） （1）证明：由已知可得，，，所以双曲线的渐近线方程为.（2分） 到直线，即直线的距离， 到直线，即直线的距离， 所以，点P到双曲线C的两条渐线的距离的乘积为 .（5分） 又在双曲线上，所以，所以， 所以是一个常数.（7分） （2）解：因为，所以，所以或.（9分） 所以．（12分） 当时，的最小值为，（14分） 所以的最小值为．（15分） 17.（15分） （1）设，，由椭圆的定义可知的周长为， 所以，所以离心率.（4分） （2）由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为.（6分） ①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 四边形的面积；（8分） ②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，． 所以，．（10分） 所以．（11分） 设的方程为，同理可得．（12分） 所以四边形的面积 ， 因为，当且仅当时取等号．（14分） 所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为. （15分） 18．（17分） （1）选择条件①：， 由抛物线的定义可得，， ∴，解得， 故抛物线C的标准方程为.（6分） 选择条件②：， 则，， ∵点在抛物线C上， ∴，解得， 故抛物线C的标准方程为.（6分） 选择条件③：轴时，， 当轴时，，解得， 故抛物线C的标准方程为.（6分） （2）设，， 联立，化简整理可得，，（8分） 由韦达定理可得，，，（10分） ∴，（12分） ∴（17分） 19．（17分） （1）设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以，，， 于是椭圆的方程为．（8分） （2）易知，． 因为，， 所以，．（12分） 设，则，解得（15分） 所以点的坐标为或．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ） A．24 B．37 C．49 D．52 5．若点在椭圆上，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．以上都不对 6．已知斜率为的直线l与双曲线相交于A，B两点，且AB的中点是，则C的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线离心率为（  ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 10．双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（    ）． A． B． C． D．2   11．已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（    ） A． B． C．24 D．25 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 13．已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ． 14．如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为 米. 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 16．（15分）是双曲线C：上任意一点. (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)，求的最小值． 17．（15分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 18．（17分）在①，②，③轴时，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且______. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点，求. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19．（17分）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修一章节检测卷 第三章·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得， 则，将代入可得，则. 故选：C. 2．直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可. 【详解】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 3．已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程的性质令可得； 【详解】由题意知，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A． 4．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ） A．24 B．37 C．49 D．52 【答案】C 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与的关系式，进而用均值不等式得解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距,则 ，，解得 ，，如图 在△F1PF2中,根据余弦定理可得： ， 整理得，即， 所以， 当且仅当时，取等号. 故选:C. 5．若点在椭圆上，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，求出过点与椭圆相切时的直线的斜率即可. 【详解】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率， 椭圆化为标准方程为， 由图可知，直线与椭圆相切时取得最值， 设直线， 代入椭圆方程消去得， 令，解得， 所以，即的最小值为.    故选：C. 6．已知斜率为的直线l与双曲线相交于A，B两点，且AB的中点是，则C的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在双曲线上，联立方程，表示出中点与斜率的关系，进而求出双曲线的渐近线方程 【详解】设两点的坐标为， 则有：， 两式相减，可得： 由直线的斜率为，且中点，可得： 故C的渐近线方程为： 故选：A 7．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程得渐近线方程为，由题可知点在直线上，将点坐标代入方程可得的关系，从而可求出离心率 【详解】解：双曲线的渐近线方程为， 由题意可知点在直线上， 所以，即， 所以离心率为， 故选：B 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用题给条件列方程组求得的坐标，再利用椭圆定义即可求得椭圆C的长轴长. 【详解】椭圆的左右焦点分别为，， 抛物线与椭圆C有相同的焦点，则，， 设直线的方程为， 由，可得①， 则，解之得或（舍）， 由①可得可得，则， 则，， 则椭圆C的长轴长为. 故选：B. 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 10．双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】 设出切线方程，与双曲线方程联立，根据过点能作该双曲线的两条切线，求得a的取值范围，即可求得双曲线的离心率的取值范围，从而可得答案. 【详解】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在， 设切线方程是， 由得， 显然时，所得直线只有一条，不满足题意，所以， 由得，整理为， 由题意此方程有两不等实根， 所以，， 则为双曲线的半焦距，， 即， 代入方程，得，此时， 综上，e的范围是 故选：AC    11．已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（    ） A． B． C．24 D．25 【答案】BCD 【分析】根据题意，由点在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，则， 由点A在椭圆内部得，结合，解得， 根据椭圆的定义及得， 又当P，，A三点共线时最大，从而，解得， 综上，， 故选:BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，用的坐标表示的坐标，再代入双曲线方程即可得答案. 【详解】设，， 则，即， 又，则， 整理得， 即点M的轨迹方程为. 故答案为： 13．已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线l与m的方程，即可得到的坐标，再由即可求解 【详解】 设直线l的方程为，直线m的方程为， 所以， 不妨设点，，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 即． 故答案为： 14．如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为 米. 【答案】 【分析】先根据抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，根据条件得抛物线上一点得坐标，代入后可得抛物线得方程，再令对应得y值可得上升水面后得横坐标得值，即得解. 【详解】 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 将A（6，-3）代入， 得， ∴，代入B得， 故水面宽为米， 故答案为：． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 【答案】(1)y2＝4x (2)证明见解析 【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程； (2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标． 【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p， ∴p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x． （2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t， 所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0， ，同理：， 由题意：， ∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)， ∴y1y2＝4， ∴﹣4t＝4， ∴t＝﹣1， 故直线AB恒过定点(﹣1，0)． 16．（15分）是双曲线C：上任意一点. (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知求出双曲线的两条渐近线方程，然后求出点到两条渐近线的距离，得到.进而根据点在双曲线上，即可得出答案； （2）求出.根据双曲线的范围，即可得出最小值. 【详解】（1）证明：由已知可得，，，所以双曲线的渐近线方程为. 到直线，即直线的距离， 到直线，即直线的距离， 所以，点P到双曲线C的两条渐线的距离的乘积为 . 又在双曲线上，所以，所以， 所以是一个常数. （2）解：因为，所以，所以或. 所以． 当时，的最小值为， 所以的最小值为． 17．（15分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，由题的周长为，据此可得答案； （2）先讨论两直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线，的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到的关于的关系式，由此得解. 【详解】（1）设，，由椭圆的定义可知的周长为， 所以，所以离心率. （2）由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为. ①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 四边形的面积； ②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，． 所以，． 所以． 设的方程为，同理可得． 所以四边形的面积 ， 因为，当且仅当时取等号． 所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为. 18．（17分）在①，②，③轴时，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且______. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点，求. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和性质，选择合适的条件进行求解即可； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式，直接计算求解可得答案. 【详解】（1）选择条件①：， 由抛物线的定义可得，， ∴，解得， 故抛物线C的标准方程为. 选择条件②：， 则，， ∵点在抛物线C上， ∴，解得， 故抛物线C的标准方程为. 选择条件③：轴时，， 当轴时，，解得， 故抛物线C的标准方程为. （2）设，， 联立，化简整理可得，， 由韦达定理可得，，， ∴， ∴ 19．（17分）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）首先椭圆的标准方程为，根据题意得到，，再计算的值即可得到答案. （2）根据已知条件得到，，设，得到，再解方程组即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以，，， 于是椭圆的方程为． （2）易知，． 因为，， 所以，． 设，则，解得 所以点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$