专题05 高中全部补充函数培优归类（题型清单）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

专题05 高中全部补充函数培优归类 题型1 对勾函数型 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1.有“渐近线”：y=ax 2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 1.（23-24高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三上·广东清远·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，若，，，则有（    ） A． B． C． D． 4.（2020·湖南娄底·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 题型2 双曲函数 双曲函数（双刀函数） 1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax 2.“零点”：解方程（即方程等0处） 1.（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（24-25高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，则关于t的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型3 复合分式型“反比例”函数 反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 。 1.（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三江苏南通·阶段练习）已知函数，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4 绝对值型函数 绝对值函数： 1.（2019·天津和平·一模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2.（24-25高二下·河北·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 取整函数（高斯函数） 取整函数（高斯函数） 表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 1.（22-23高三·江苏徐州·阶段练习）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列说法正确的个数是（      ） 函数 的定义域为 R ，值域为 1, 0 ②方程 有无数多个解 ③对任意的，都有成立 ④函数是单调减函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（22-23高三上·江西·阶段练习）已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题： ①使成立的的取值范围是； ②函数的定义域为，值域为； ③． 其中正确的命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（    ） A． B． C． D．的值域为 4.（2024高三·北京·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，设，则下列结论错误的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 题型6 一元三次型函数 一元三次函数： 所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心， 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”． 1.（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若 存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为 A． B． C． D． 2.（21-22高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为 A． B． C． D． 3.（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 4.（20-21高二下·北京西城·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（   ） ①函数对称中心 ②的值是 ③)函数对称中心 ④的值是 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 题型7 指数绝对值函数 指数函数核心特征是“一点一线”。 1. 一点，即一定点。 2. 一线，即一条渐近线（x轴） 3. 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。 4. 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。 1.（24-25高三·江西·阶段练习）若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高三·江西·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型8 对数型绝对值函数 对数绝对值型函数 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 1.（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上海·阶段练习）已知存在实数满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 4.（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型9 对数无理型 对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心 1.（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2.（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 4.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型10 对数反比例型 实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来直接解出参数值 1.（23-24高三·云南昭通·阶段练习）函数为奇函数，的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 2.（24-25高三·湖南长沙·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知R，，函数，则（    ） A．当时，函数在其定义域上单调递减 B．当时，函数在其定义域上单调递增 C．存在实数a，使函数的图像是轴对称图形 D．当时，函数的图像恒为中心对称图形 4.（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于坐标原点对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型11 指数反比例型 1.（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 2.（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，数列满足，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（2025·辽宁·模拟预测）已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型12 对数反比例：绝对值型 对数反比例绝对值型函数，有以下几点性质（可以参考下图特殊函数） 1. 定义域是断点型： 2. 图像一上一下，一左一右，具体有两个判断： （1）、两个断点处；（2）、断点处左右两边极限处带特殊值，判断函数值正负。 1.（24-25高三上·山东日照·期末）若是奇函数，则（    ） A． B． C．1 D． 2.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 4.（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 题型13 对数复合指数反比例 对数-指数复合反比例型： 对数-指数复合反比例型原理： 1.（2025·黑龙江·一模）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三·安徽阜阳·阶段练习）若函数是上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3.（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 结束 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 高中全部补充函数培优归类 题型1 对勾函数型 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1.有“渐近线”：y=ax 2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 1.（23-24高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，； ①若时，函数在区间上单调递减，则，即， 那么，当时，，， 由题意可得，则有，解得，此时，； ②当时，且当时，，则，，成立，此时； ③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，， 由题意可得，则有，解得，此时. 综上所述，.故选B. 【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 2.（22-23高三上·广东清远·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，即可得解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 且， 所以，函数为偶函数， 当时， 且不恒为零，所以，函数在上为增函数， 由可得，则，可得， 整理可得，解得.故选：D. 3.（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得为偶函数，则，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得，，，又当时，由，可得为单调递增函数，即可得到答案. 【详解】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数， 因为， 则， 又，，， ，， 则，所以， 当时，因为，所以为单调递增函数， 所以.故选：B. 4.（2020·湖南娄底·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据是偶函数求得，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于，解不等式即可. 【详解】∵是偶函数∴，即 化简得∴，（，）, 时都能得到，所以在上是增函数 ∴（，）为偶函数且在上是增函数， ∴，，即，即或 解得或.即.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题. 题型2 双曲函数 双曲函数（双刀函数） 1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax 2.“零点”：解方程（即方程等0处） 1.（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利用奇函数性质变成，结合单调性得出. 参变分离，转化为求的最值即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，得，所以， 若，，即，只需， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，故. 故选：D. 2.（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义可得为奇函数，结合单调性可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为的定义域为， 且，即函数为奇函数， 又因为在上单调递增， 则在上也单调递增， 因为，即， 则，所以， 则， 当且仅当时，即，取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 3.（24-25高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以函数为偶函数； 设，则， 因为，所以，，，所以，即 所以函数在上单调递增. 由函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，在上单调递减. 所以且. 故选：D 4.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，则关于t的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，判断出利用奇偶性、导数判断出的单调性，由得，再利用奇偶性、单调性解不等式可得答案. 【详解】，令，，所以为奇函数， 因为，所以为单调递增函数， 由得，即， 所以，解得. 故选：A. 题型3 复合分式型“反比例”函数 反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 。 1.（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到，解出即可. 【详解】由可得且，则为偶函数， ， 因为在上单调递减，在上单调递增，则恒成立， 则在单调递减，在单调递增， ，解得或. 故选：D. 2．（23-24高三江苏南通·阶段练习）已知函数，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 ，从而有在上单调递增，再结合单调性可求解． 【详解】解： ，在在上单调递增，， 或，解可得，或，即，故选A． 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用． 3．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图像，由图像判断函数的单调性，进而解出答案. 【详解】函数图像如图所示， 则不等式等价于 或∴.故选：A. 4．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可. 【详解】对任意的，， 因为，令，， 因为，当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 因为恒成立，所以，即，解得：， 故选：D. 题型4 绝对值型函数 绝对值函数： 1.（2019·天津和平·一模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则是的图象沿着上下平移得到，分析函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可． 【详解】 设，则是的图象沿着上下平移得到，当x=1时，（1）（1）， 所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,当x=1时，g(1)=0, 当x=2时，（2），所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2）， 当x=2时，（2），所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）, 要使方程恰有三个不相等的实数解，则等价为与的图象有三个不同的交点， 则满足，即得，即，即实数的取值范围是，，故选． 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2.（24-25高二下·河北·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，分，，三种情况去掉绝对值符号得到的解析式及值域，即可得解. 【详解】设，. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以当时，的最小值为3， 故选：C 3.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时，若，则，若，则， 函数的值域不可能为； 当时，，在上单调递增，在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是.故选：B. 4.（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为，令，即.然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取时的函数值，画出函数的部分图象，数形结合即可得解. 【详解】因为函数，所以关于的不等式 可化为，即，令，即. 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 且；当时，， 在上单调递减，且.如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知，要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和， 所以实数的取值范围为，即.故选：C 题型5 取整函数（高斯函数） 取整函数（高斯函数） 表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 1.（22-23高三·江苏徐州·阶段练习）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列说法正确的个数是（      ） 函数 的定义域为 R ，值域为 1, 0 ②方程 有无数多个解 ③对任意的，都有成立 ④函数是单调减函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据取整函数的定义，可得函数的最小正周期为1，在区间上是减函数，且函数的值域为.由此与各个选项加以比较，即可得到本题的答案. 【详解】对于①，根据的定义，得x为整数时，，从而，此时得最大值；当x的小数部分不为0时, ，故.综上所述，得的定义域为R，值域为，故①正确. 对于②，当时，，从而，因此方程 有无数多个解，故②正确. 对于③，因为一个数增加1个单位后，它的小数部分不变，而整数部分增加1，因此，从而得到，所以对任意的，都有成立，故③正确. 对于④，函数在区间上是减函数，但是由于函数是分段函数，图象不连续，所以不是R上的减函数，故④不正确. 故选：C 【点睛】本题以取整函数为例，要我们判断关于函数性质的几个命题的真假，着重考查了函数的单调性、周期性以及函数的定义域、值域等知识，属于中档题. 2.（22-23高三上·江西·阶段练习）已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题： ①使成立的的取值范围是； ②函数的定义域为，值域为； ③． 其中正确的命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用所给取整函数的定义逐个判断. ①讨论x的范围，判断何时； ②考虑x为整数或介与两个整数之间求函数的值域；③对等式左边利用二项式定理及[x]的定义化简求和. 【详解】①由，，所以；x<2或时. ②当x为整数时，当时，[x]=n， 所以的值域为[0,1).③因为= 所以n为偶数时= n为奇数时= 所以==1010 综上，只有命题①正确，故选B. 【点睛】本题考查对新概念的理解、简单运用，考查函数的值域，二项式定理及应用，属于中档题. 3.（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【答案】C 【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得. 【详解】由高斯函数的定义知，都是整数，即都是有理数，所以，A正确； 若为有理数，则也是有理数，；若为无理数，则也是无理数，，B正确； 取，则，C错误； 的值域是，所以的值域为，D正确． 故选：C 4.（2024高三·北京·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，设，则下列结论错误的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】B 【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B；根据指数函数、复合函数的单调性判断C，由函数新定义及分式型函数、指数函数性质求的值域判断D． 【详解】由且，则是奇函数，A对； 由，根据指数函数、复合函数单调性易知：在上是增函数，C对； 由，，显然，B错； 当时，，则，此时； 当时，，则，此时； 所以的值域是，D对． 故选：B 题型6 一元三次型函数 一元三次函数： 所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心， 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”． 1.（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若 存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：，由题意时，恒成立，所以，而当时，，所以，即的最大值为2．此时，由于函数是奇函数，关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以点的坐标为． 2.（21-22高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由，是上的增函数，在上恒成立，即在上恒成立．设，即不等式在上恒成立，设，所以函数上单调递增，因此又，故，的最大值为2，故得，将函数的图像向上平移2个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，由于，为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称．由此即可函数的图像关于点成中心对称．这表明存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则封闭图形的面积总相等；故选C． 考点：定积分在球面积中的应用 3.（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，即可根据拐点定义求解. 【详解】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B 4.（20-21高二下·北京西城·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（   ） ①函数对称中心 ②的值是 ③)函数对称中心 ④的值是 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据题意求出函数对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可． 【详解】, 令，解得，， 由题意可知：函数的对称中心为； 因为函数的对称中心为， 所以有， 设， 所以有， 得，， 即的值是99. 故选：C 题型7 指数绝对值函数 指数函数核心特征是“一点一线”。 1. 一点，即一定点。 2. 一线，即一条渐近线（x轴） 3. 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。 4. 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。 1.（24-25高三·江西·阶段练习）若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题目转化为与的图象有两个交点，再作出函数图象即可得到范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 即与的图象有两个交点， 令，作出与的大致图象如图所示，     由图可知，则， 所以实数的取值范围是.故选：B. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程有四个不同的实数根，转化为函数，有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当趋近于0时趋近于，当趋近于时趋近于，如图所示： 由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 则，设为方程的两根，即的两根， 则，因此， 由，得，即，则， 所以．故选：A 3.（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，作出函数函数的大致的图象，结合图象得出关于x的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解. 【详解】由题意，作出函数的大致图象，如图． 令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根； 当时，关于的方程无实数根； 当或时，关于的方程只有1个实数根． 因为关于的方程有3个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在内， 另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内． 当为方程的根时，，且方程的另一根为． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 当为方程的根时，有，则或． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内．令， 则即解得．综上所述，实数的取值范围是．故选：B. 4.（24-25高三·江西·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 题型8 对数型绝对值函数 对数绝对值型函数 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 1.（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出的图象，确定的范围，再根据对数的运算以及二次函数的对称性得和，进而利用二次函数的性质求出范围. 【详解】作出函数的图象，且， 方程有四个不同的实根，则， 由，得，即，由，得， ，， 函数在上单调递增，当时，， 则的取值范围为，所以的取值范围为. 故选：C 2.（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意的零点，即函数与函数的交点，作图可初步判断，根据函数值可进一步判断，得到，再对通过判断的符号，得到即可. 【详解】根据题意的零点，即函数与函数的交点如图， 由图可得，， ，，， ，综上，.故选：B. 3.（24-25高三上海·阶段练习）已知存在实数满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，画出函数图象，数形结合求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，所以在上单调递增，所以的图象如下所示， 又，，，∵存在，满足， 函数图象可知，，，所以， ∴，即，，的取值范围是.故选：B． 4.（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知与的图象有4个交点，结合函数的图象，可得，，，代入运算求解即可. 【详解】作出函数的图象，关于的方程有四个不同的解， 可知与的图象有4个交点，结合图象可得，且，即， 又因为，即，可得，所以，即， 则， 因为在内单调递增，且，， 可知，即，可得， 所以的取值范围是.故选：C. 题型9 对数无理型 对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心 1.（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意知：， 则， 化简为，则，解得． 故选：A． 2.（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断. 【详解】令函数，，则定义域为， ，是奇函数， 当时，； 由为奇函数可得当时，， 而函数是偶函数，且当时，， 则函数与的图象在时无交点； 当时，令，求导得， 函数在上单调递增，又， ，因此在上只有一个零点， 所以函数与的图象交点只有一个. 故选：B 3.（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 【答案】B 【分析】由为奇函数，得到，求得的图象关于点对称，再由，根据奇偶性，得到为奇函数，且的关于对称，求得的值，得到答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称， 函数， 对于函数， 可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于对称， 所以为偶数，这些根成对出现，每对和为， 所以设，则，所以，解得. 故选：B. 4.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由是奇函数且是增函数，将原不等式通过转化为不等式计算求解． 【详解】令，则， 可得，，所以，． 因为 ，所以为奇函数． 当时，为增函数，且为连续函数， 则在上单调递增，所以原不等式等价于， 即，即，解得． 故选：D． 题型10 对数反比例型 实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来直接解出参数值 1.（23-24高三·云南昭通·阶段练习）函数为奇函数，的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，结合奇函数的性质求出的值，再利用定义判断得解. 【详解】函数有意义，则，即， 由是奇函数，得，解得，此时的定义域为， 函数，，因此是奇函数， 所以的值为4.故选：C 2.（24-25高三·湖南长沙·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式、对数复合函数的单调性判断的定义域和单调性，再应用对数运算、基本不等式判断的大小，进而判断函数值的大小. 【详解】因为，所以定义域为，且， 易知为减函数，为增函数，所以为减函数. ， 又，所以，则.故选：A 3.（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知R，，函数，则（    ） A．当时，函数在其定义域上单调递减 B．当时，函数在其定义域上单调递增 C．存在实数a，使函数的图像是轴对称图形 D．当时，函数的图像恒为中心对称图形 【答案】D 【分析】求的导数即可判断AB，计算即可判断C，计算是否为定值即可判断D. 【详解】由已知， 的定义域为， 当时，的定义域为，，函数在上单调递增， 当时，的定义域为，，函数在上单调递减，故B错误； 当时，的定义域为，，函数在上单调递减，故A错误； 若 ，故不存在，故C错误； ， 当，即时，为定值，则关于对称. 故选： 4.（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于坐标原点对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，得到，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数且函数为奇函数， 所以为奇函数，即， 可得，则， 整理得，所以且，解得. 故选：A. 题型11 指数反比例型 1.（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 2.（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令，利用奇函数的定义计算可判断B，令，利用奇函数的定义计算可判断D. 【详解】因为， 对于A，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ，所以B正确； 对于C，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ， 所以不是奇函数，所以D不正确； 故选：B. 3.（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，数列满足，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】结合数列的周期性，求出，即可求解，函数解析式已知，代入列方程即可得解. 【详解】由已知，，则， 即，整理可得， 即，解方程得，所以， ，. 故选：A. 4.（2025·辽宁·模拟预测）已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得当时，，不等式可得，根据函数奇偶性、单调性及列式求解即可. 【详解】因为是上的奇函数， 所以，解得． 易知当时， 因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减．因为，， 所以不等式可化为，即， 则，又，所以，则， 由函数的单调性可知，解得或． 故选：A． 题型12 对数反比例：绝对值型 对数反比例绝对值型函数，有以下几点性质（可以参考下图特殊函数） 1. 定义域是断点型： 2. 图像一上一下，一左一右，具体有两个判断： （1）、两个断点处；（2）、断点处左右两边极限处带特殊值，判断函数值正负。 1.（24-25高三上·山东日照·期末）若是奇函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据定义域先求出，再根据奇函数的性质求出，从而可求. 【详解】，则自变量满足，则， 故函数定义域中不能有，故即，此时， 而，故，故，故.故选：D 2.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质可求出，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 易知，所以，即有，得到，所以， 函数定义域为,得到，所以， 故，有，此时，函数为奇函数，即，满足题意，所以，定义域为， 当时，，函数，在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递增； 当时，，，由，得到 当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极小值点，当时，，结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图， 又在区间上有最小值，所以，解得， 故选：D. 3.（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以且，则. 4.（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数且恰有一零点可得，求出后再检验即可得解. 【详解】由得，而， 故为偶函数.由对称性，，从而 当时， 当时，，即无零点， 由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意. 故选：A 题型13 对数复合指数反比例 对数-指数复合反比例型： 对数-指数复合反比例型原理： 1.（2025·黑龙江·一模）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一单调区间内，比较大小即可. 【详解】因为函数是偶函数， 且，， 所以，即， 解得，得到，其定义域关于原点对称， 此时， ， 故是偶函数，符合题意， 而， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，且，得到， 而由偶函数性质得， 而，则， 得到成立，故A正确. 故选：A 2.（24-25高三·安徽阜阳·阶段练习）若函数是上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义建立方程，求解参数，再代回检验即可. 【详解】由题意得的定义域为，关于原点对称， 因为是上的偶函数，所以， 而，， 则，解得， 此时，， ， 符合题意，故A正确. 故选：A 3.（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 4.（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案. 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，化简可得，解得.故选：A 结束 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$