第21章 二次函数与反比例函数 单元检测卷（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（沪科版 安徽专用）
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教辅
内容正文：
初中数学
九年级上册·（HK版）安徽专版
第21章 单元检测卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.若y＝(m－1)是关于x的二次函数，则m的值是( )
A.1 B.－1
C.1或－1 D.2
B
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2.抛物线y＝－3(x＋2)2不经过的象限是( )
A.第一、二象限 B.第一、四象限
C.第二、三象限 D.第三、四象限
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3.将抛物线y＝2x2－1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的新抛物线对应的函数表达式为( )
A.y＝2(x－2)2＋3 B.y＝2(x＋2)2＋2
C.y＝2(x－2)2＋2 D.y＝2(x＋2)2－4
C
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4.如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三个点在反比例函数y＝(x＞0)的图象上.根据图中四个点的位置，判断这四个点中不在函数y＝的图象上的点是( )
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
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5.下列抛物线中，与抛物线y＝x2－2x＋4具有相同对称轴的
是( )
A.y＝4x2＋2x＋1 B.y＝x2－4x
C.y＝2x2－x＋4 D.y＝－2x2＋4x
D
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6.小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表(如下表)，但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水，那么这个被蘸上了墨水的函数值是( )
x … －1 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
A.－1 B.3
C.4 D.0
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7.若点(x1，y1)，(x2，y2)和(x3，y3)分别在反比例函数y＝－的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则下列判断正确的是( )
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y1＜y2
C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y2＜y1
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8.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，桥高为8 m，拱高为
6 m，跨度为20 m.相邻两支柱间的距离均为5 m，则支柱MN的高度为( )
A.2.5 m
B.3 m
C.3.5 m
D.4 m
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9.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝－ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )
A B C D
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10.我们定义一种新函数：形如y＝｜ax2＋bx＋c｜(a≠0，b2－4ac＞0)的函数叫做“鹊桥”函数.数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝｜x2＋bx＋c｜的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.bc＜0
B.c＝3
C.当直线y＝x＋m与该图象恰有三个公共点时，m＝1
D.关于x的方程｜x2＋bx＋c｜＝3的所有实数根的和为4
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【解析】∵(－1，0)，(3，0)是函数图象和x轴的交点，
∴解得
∴bc＝(－2)×(－3)＝6＞0，
故选项A，B错误.
如图，当直线y＝x＋m与该函数图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，故选项C错误.
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关于x的方程｜x2＋bx＋c｜＝3，即x2－2x－3＝3或x2－2x－3＝－3.
当x2－2x－3＝3时，x1＋x2＝－＝2；
当x2－2x－3＝－3时，x3＋x4＝－＝2.
∴关于x的方程｜x2＋bx＋c｜＝3的所有实数根的和为2＋2＝4，故选项D正确.
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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.写出一个开口向上，经过点(0，4)的抛物线对应的函数表达式：_____________________.
y＝x2＋4(答案不唯一)
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12.已知反比例函数y＝，当x＞0时，函数y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____.
m＜4
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13.合肥市公安局交警支队在全市范围内开展“戴头盔、保安全、促文明”行动.某商家销售一批头盔，每顶头盔的售价为50元，每月可售出100顶，每顶的售价每提高5元，每月少售出10顶.已知每顶头盔的进价为36元，则该商家每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为____元.
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14.如图，在平面直角坐标系中，边长为m的正方形OABC的两条邻边OA，OC分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，点M为正方形OABC的中心，反比例函数y＝(x＞0)的图象过点M且交边AB于点N，连接MN，ON.
(1)k＝_____；(用含m的代数式表示)
(2)若S△OMN＝3，则k的值为___.
m2
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三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.确定抛物线y＝－x2＋6x＋1的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：∵y＝－x2＋6x＋1＝－(x－3)2＋10，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，10).
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16.已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1时，y＝5.求y关于x的函数表达式.
解：∵y1与x成正比例，∴设y1＝k1x.
∵y2与x成反比例，∴设y2＝，
∴y＝y1＋y2＝k1x＋.
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把分别代入y＝k1x＋，
得解得
∴y＝－x－.
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四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋a－4经过点(0，－3).
(1)确定此抛物线对应的函数表达式.
解：把(0，－3)代入y＝ax2－2x＋a－4，得a－4＝－3，
解得a＝1，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－2x－3.
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17.已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋a－4经过点(0，－3).
(2)当x取何值时，y有最小值？求出这个最小值.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值为－4.
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18.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线Cn：y＝－x2＋bx＋c(n＝1，2，3，4，…)的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，….根据上述规律解决以下问题：
(1)抛物线C6的顶点坐标是________；
(21，8)
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解：∵抛物线Cn的对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，
∴抛物线C6的顶点的横坐标是21.
将x＝21代入y＝x＋1，得y＝8，
∴抛物线C6的顶点坐标是(21，8).
故答案为(21，8).
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18.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线Cn：y＝－x2＋bx＋c(n＝1，2，3，4，…)的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，….根据上述规律解决以下问题：
(2)求抛物线C2：y＝－x2＋bx＋c中b，c的值.
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解：∵直线的函数表达式为y＝x＋1，
当x＝3时，y＝2，
∴抛物线C2的顶点坐标是(3，2)，
∴抛物线C2：y＝－(x－3)2＋2＝－x2＋6x－7，
∴b＝6，c＝－7.
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五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.已知y＝x2－kx＋3k－9是关于x的二次函数.
(1)求证：无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有交点；
解：证明：当y＝0时，x2－kx＋3k－9＝0.
因为Δ＝(－k)2－4(3k－9)＝(k－6)2≥0，
所以关于x的一元二次方程x2－kx＋3k－9＝0一定有实数根，即无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有交点.
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五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.已知y＝x2－kx＋3k－9是关于x的二次函数.
(2)若该函数图象的顶点在x轴上，试确定k的值.
解：因为二次函数y＝x2－kx＋3k－9的图象的顶点在x轴上，
所以＝0，解得k＝6.
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20.如图，有长为24 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为9 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
(1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围.
解：根据题意，
得S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
∵0＜24－3x≤9，
∴5≤x＜8.
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20.如图，有长为24 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为9 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
(2)当AB的长是多少米时，围成的花圃
面积最大？最大面积为多少？
解：由(1)，知S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48.
∵－3＜0，5≤x＜8，
∴当x＝5，即AB的长为5 m时，围成的花圃面积最大，
最大面积为－3×52＋24×5＝45(m2).
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六、(本题满分12分)
21.已知函数y1＝，y2＝k2x＋b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0).
(1)函数y1和y2的图象交于点A(1，m)，B(3，1).
①求函数y1，y2的表达式；
解：把B(3，1)代入y1＝，得1＝，
解得k1＝3，
∴函数y1的表达式为y1＝.
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把A(1，m)代入y1＝，得m＝3，
∴A(1，3).
把A(1，3)，B(3，1)分别代入y2＝k2x＋b，
得解得
∴函数y2的表达式为y2＝－x＋4.
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六、(本题满分12分)
21.已知函数y1＝，y2＝k2x＋b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0).
(1)函数y1和y2的图象交于点A(1，m)，B(3，1).
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小(直接写出结果).
解：当2＜x＜3时，y1＜y2.
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六、(本题满分12分)
21.已知函数y1＝，y2＝k2x＋b(k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0).
(2)若点C(2，n)在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得到点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值.
解：由平移，得点D的坐标为(－2，n－2).
∵点C，D都在函数y1的图象上，
∴－2(n－2)＝2n，解得n＝1.
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七、(本题满分12分)
22.一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门OB的高为2.44 m，现以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线对应的函数表达式(不必写出自变量的取值范围)，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
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解：∵8－6＝2(m)，
∴抛物线的顶点坐标为(2，3).
设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－2)2＋3.
把A(8，0)代入，得36a＋3＝0，解得a＝－，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3.
当x＝0时，y＝－×4＋3＝＞2.44，
∴球不能射进球门.
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七、(本题满分12分)
22.一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门OB的高为2.44 m，现以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当小明应该带球向正后方移动多少米再射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
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解：设小明带球向正后方移动了b m，则移动后的抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－2－b)2＋3.
把(0，2.25)代入，得2.25＝－(0－2－b)2＋3，
解得b1＝－5(舍去)，b2＝1，
∴当时小明应该带球向正后方移动1 m再射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处.
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八、(本题满分14分)
23.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点的横坐标是抛物线y＝－x2＋4x＋c的顶点的横坐标的2倍.
(1)求b的值.
解：∵y＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋c＋4，
∴抛物线y＝－x2＋4x＋c的顶点的横坐标为2.
∵y＝－x2＋bx＋c的顶点的横坐标为，且是抛物线y＝－x2＋4x＋c的顶点的横坐标的2倍，
∴＝2×2，解得b＝8.
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八、(本题满分14分)
23.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点的横坐标是抛物线y＝－x2＋4x＋c的顶点的横坐标的2倍.
(2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋4x＋c上，点B(x1＋m，y1＋t)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上.
①求t(用含m，x1的代数式表示)；
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解：∵点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋4x＋c上，
点B(x1＋m，y1＋t)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，b＝8，
∴y1＝－＋4x1＋c，y1＋t
＝－(x1＋m)2＋8(x1＋m)＋c，
∴t＝－(x1＋m)2＋8(x1＋m)＋c－y1
＝－(x1＋m)2＋8(x1＋m)＋c－(－＋4x1＋c)
＝－m2＋4x1－2mx1＋8m.
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八、(本题满分14分)
23.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点的横坐标是抛物线y＝－x2＋4x＋c的顶点的横坐标的2倍.
(2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋4x＋c上，点B(x1＋m，y1＋t)在抛物线
y＝－x2＋bx＋c上.
②若x1＝m＋1且－1≤x1≤2，求t的最大值.
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∵x1＝m＋1，
∴t＝－m2＋4x1－2mx1＋8m
＝－m2＋4(m＋1)－2m(m＋1)＋8m
＝－3m2＋10m＋4
＝－3＋.
∵－1≤x1≤2，∴－1≤m＋1≤2，解得－2≤m≤1.
∵－3＜0，∴当m≤时，t随m的增大而增大，
∴当m＝1时，t有最大值，最大值为－3＋10＋4＝11.
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