21.3 重点强化专题 3 二次函数与线段、面积问题（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（沪科版 安徽专用）

初中数学 九年级上册·（HK版）安徽专版 第21章　二次函数与反比例函数 21.3　二次函数与一元二次方程 重点强化专题 3　二次函数与线段、面积问题 类型1　线段问题 1.【一题多问】如图1，二次函数y＝ax2＋bx－5的图象与x轴交于点 A(－1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC. (1)求二次函数的表达式及直线BC对应的函数表达式. 得解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－4x－5，∴C(0，－5). 解：将A(－1，0)，B(5，0)代入y＝ax2＋bx－5， 下一页 1 2 3 上一页 设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋n. 将B(5，0)，C(0，－5)代入y＝kx＋n， 得解得 ∴直线BC对应的函数表达式为y＝x－5. 下一页 1 2 3 上一页 1.【一题多问】如图1，二次函数y＝ax2＋bx－5的图象与x轴交 于点 A(－1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC. (2)如图2，E是直线BC下方抛物线上的一点，横坐标为m，过点E作x轴的垂线EF，垂足为F，线段EF交BC于点G. ①请用含m的式子表示点的坐标：E(____，__________)，G(____，______)； M m m－5 m2－4m－5 下一页 1 2 3 上一页 (2)如图2，E是直线BC下方抛物线上的一点，横坐标为m，过点E作x轴的垂线EF，垂足为F，线段EF交BC于点G. ②求线段EG的最大值； 1.【一题多问】如图1，二次函数y＝ax2＋bx－5的图象与x轴 交于点 A(－1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC. 下一页 1 2 3 上一页 解：EG＝yG－yE＝m－5－(m2－4m－5) ＝－m2＋5m＝－＋. ∵－1＜0， ∴当m＝时，线段EG有最大值，最大值为. 下一页 1 2 3 上一页 1.【一题多问】如图1，二次函数y＝ax2＋bx－5的图象与x轴交 于点 A(－1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC. (2)如图2，E是直线BC下方抛物线上的一点，横坐标为m，过点E作x轴的垂线EF，垂足为F，线段EF交BC于点G. ③如图3，过点E作EH⊥BC，垂足为H，请用含m的式子表示线段EH的长，并求出当m为何值时，EH有最大值，最大值为多少？ 下一页 1 2 3 上一页 解：∵EF⊥x轴， ∴∠EFA＝∠EFB＝90°. ∵B(5，0)，C(0，－5)， ∴OB＝OC＝5， ∴∠OCB＝∠ABC＝45°， ∴∠BGF＝45°. ∵EH⊥BC，∴∠EHG＝90°， ∴∠GEH＝∠EGH＝∠BGF＝45°， ∴EH＝GH. 下一页 1 2 3 上一页 由勾股定理可得，EH2＋GH2＝EG2，即2EH2＝EG2， ∴EH＝(－m2＋5m)＝－m2＋m ＝－(m－)2＋. ∵－＜0， ∴当m＝时，EH有最大值，最大值为. 下一页 1 2 3 上一页 1.【一题多问】如图1，二次函数y＝ax2＋bx－5的图象与x轴 交于点 A(－1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC. (3)如图4，P是x轴上的一个动点，分别连接PC，PD，求PC＋PD的最小值. 下一页 1 2 3 上一页 解：如图，作点C关于x轴的对称点C'，连接DC'交x轴于点P，此时PC＋PD的值最小，即线段DC'的长. ∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9， ∴C'(0，5)，D(2，－9)， ∴DC'＝＝10， ∴PC＋PD的最小值为10. 下一页 1 2 3 上一页 类型2　面积问题 2.【一题多问】如图1，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A，B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1，顶点为D，连接AC. (1)求二次函数的表达式及顶点D的坐标； 下一页 1 2 3 上一页 解：∵抛物线与x轴交于点B(1，0)，且对称轴为直线x＝－1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为A(－3，0)， ∴二次函数的表达式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3， ∴y＝－(x＋1)2＋4， ∴顶点D的坐标为(－1，4). 下一页 1 2 3 上一页 2.【一题多问】如图1，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A，B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1，顶点为D，连接AC. (2)【一题多解】如图2，连接AD，CD，求△ACD的面积； 下一页 1 2 3 上一页 解：解法1：过点D作DE⊥y轴于点E(图略). 根据题意，得AO＝3，OC＝3，DE＝1，OE＝4，CE＝1， ∴S△ACD＝S梯形AOED－S△AOC－S△CED ＝(DE＋AO)·OE－AO·OC－CE·DE ＝×(1＋3)×4－×3×3－×1×1＝3. 下一页 1 2 3 上一页 解法2： 设AC与直线x＝－1交于点F(图略). 设直线AC对应的函数表达式为y＝kx＋a. 将A(－3，0)，C(0，3)代入，得解得 ∴直线AC对应的函数表达式为y＝x＋3，∴F(－1，2). ∵顶点D的坐标为(－1，4)，∴DF＝4－2＝2， ∴S△ACD＝S△ADF＋S△CDF＝DF·｜xC－xA｜＝×2×3＝3. (或延长AD交y轴于点G，S△ACD＝S△ACG－S△CDG) 下一页 1 2 3 上一页 2.【一题多问】如图1，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A，B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1，顶点为D，连接AC. (3)【一题多解】如图3，M是直线AC上方的抛物线上一动点，当△ACM的面积最大时，求点M的坐标. 下一页 1 2 3 上一页 解：解法1：如图，过点M作MN∥y轴，交直线AC于点N. 设点M的坐标为(m，－m2－2m＋3)， 则点N的坐标为(m，m＋3)， ∴MN＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m， ∴S△ACM＝S△AMN＋S△CMN ＝MN·OA＝×(－m2－3m)×3 ＝－m2－m＝＋. ∵－＜0，∴当m＝－时，△ACM的面积最大， ∴点M的坐标为. 下一页 1 2 3 上一页 联立得x2＋3x＋t－3＝0. 令Δ＝32－4×1×(t－3)＝0，解得t＝， 解法2：平移直线AC至直线l(图略)，使直线l与抛物线只有一个交点M，此时△ACM的面积最大. ∵AC∥l，∴设直线l对应的函数表达式为y＝x＋t. ∴直线l对应的函数表达式为y＝x＋. 下一页 1 2 3 上一页 联立解得 ∴点M的坐标为. 下一页 1 2 3 上一页 3.(2024·合肥蜀山区期末)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点O(0，0)和点E(6，0)，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设点A的坐标为(t，0). (1)求抛物线对应的函数表达式. 下一页 1 2 3 上一页 解：∵抛物线过点O(0，0)和点E(6，0)， ∴对称轴为直线x＝3，∴顶点坐标为(3，9). 设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－3)2＋9. 把(6，0)代入，得9a＋9＝0，解得a＝－1， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－3)2＋9＝－x2＋6x. 下一页 1 2 3 上一页 3.(2024·合肥蜀山区期末)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点O(0，0)和点E(6，0)，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设点A的坐标为(t，0). (2)若△OAD与△BCE的面积分别记作S1，S2，当0＜t＜4时，求S1＋S2的值. 下一页 1 2 3 上一页 解：∵点A的坐标为(t，0)，∴点B的坐标为(t＋2，0)， ∴点D的坐标为(t，－t2＋6t)， yC＝－(t＋2)2＋6(t＋2)＝－t2＋2t＋8， 即点C的坐标为(t＋2，－t2＋2t＋8)， ∴S1＋S2＝AD·OA＋BC·BE ＝(－t2＋6t)·t＋(－t2＋2t＋8)·(6－t－2)＝16. 下一页 1 2 3 上一页 3.(2024·合肥蜀山区期末)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点O(0，0)和点E(6，0)，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设点A的坐标为(t，0). (3)将以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S. ①当0＜t＜4时，求S的最大值； 下一页 1 2 3 上一页 解：S＝(AD＋BC)·AB＝(－t2＋6t－t2＋2t＋8)×2＝－2t2＋8t＋8＝－2(t－2)2＋16. ∵－2＜0，0＜t＜4， ∴当t＝2时，S取得最大值，最大值为16. 下一页 1 2 3 上一页 3.(2024·合肥蜀山区期末)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点O(0，0)和点E(6，0)，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设点A的坐标为(t，0). (3)将以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S. ②当t≥3时，求S＝14时t的值. 下一页 1 2 3 上一页 解：当3≤t＜4时，S＝－2t2＋8t＋8＝14， 解得t1＝1(舍去)，t2＝3； 当4≤t≤6时，S＝(AD＋BC)·AB＝(－t2＋6t＋t2－2t－8)×2 ＝4t－8＝14，解得t＝； 当t＞6时，S＝(AD＋BC)·AB＝(t2－6t＋t2－2t－8)×2 ＝2t2－8t－8＝14， 解得t1＝2＋(舍去)，t2＝2－(舍去). 综上所述，t1＝3，t2＝. 下一页 1 2 3 上一页 谢谢观看 $$