22.3 第2课时 相似三角形的性质定理2，3&重点题型专题 9 相似三角形中比例式和等积式的证明（同步训练）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（沪科版 安徽专用）

第2课时 相似三角形的性质定理2,3 A知识分点练 夯基础 知识点2相似三角形的面积比 7.已知△ABC∽△DEF,AB=4,DE=6,则 知识点1相似三角形的周长比 △ABC与△DEF的面积比是 () 1.若△ABC∽△ADE,相似比为1：2，则△ABC A.2:3 B.4:9 C.32 D.9:4 与△ADE的周长比为 8.如图，在□ABCD中，AE:BE=1:2.若 A.11B.1￥2 C.1:3 D.1:4 S△AEF=3,则S△cDF= () 2.已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:3.若 △ABC的周长为15，则△DEF的周长为( ) A.3 B.5 C.15 D.45 [变式](2025·准北杜集区期中)如果△ABC刀 A.27 B.18 C.9 D.3 △DEF,且△ABC的三边长分别为3,4,5， [拓展设问]第8题中，△ADF与△CDF的 △DEF的最短边长为6，那么△DEF的周长 面积之比是 为 9.(2025·合肥肥西期中)如图，△ABC∽△DEF, 3.如图，在△ABC中，DE∥AB,且分别交AC, AM和DN分别是△ABC和△DEF的角平分 BC于点D,E.若△CDE与△CAB的周长比 线.已知S△Ac=16,S△Br=9,则AM: 为3：5，则CD:AD= DN= 4.(2024·云南)如图，AB与CD交于点O,且 B E AC/BD.者80+8S+S=则S A.4:3B.3:4C.16:9D.9:16 10.如图，已知DE∥BC (1)若AD:DB=2：1,则S1：Sm ； (2)若S:=Sm,则AD:AB= BD 第4题图 第5题图 5.如图，已知每个小方格的边长均为1，AB∥ B DE,则△ABC与△CDE的周长比 1.已知△ABC∽△A'B'C,AB AB 1 为 2,AB边上 6.(教材P90习题T4变式)已知△ABCc△A'B'C,且 的中线CD=4cm,△ABC的周长为20cm, 它们的周长之差为20，对应边上中线的比为 △A'B'C的面积为64cm.求： 2:1,求△ABC和△A'BC的周长. (1)AB'边上的中线CD'的长： (2)△A'B'C'的周长和△ABC的面积。 66一本·HK版初中数学9年级上期 B能力综合练 练思维 16.如图，在△ABC中，点D在边AC上，DE∥ BC,DF∥AB. 12.(2024·合肥新站区期末)将一副三角尺按照如图 (1)求证：△DFCc∽△AED; 所示的方式进行摆放，则△AOB与△COD的 面积之比为 (2)若CD=号AC,△AED的面积为4，求四边 D 形BEDF的面积. 45 A.1:√3B.1:3 C.1:2 D.1:2 13.(2024·窗州埔桥区期末)如图，在△ABC中，点D, E分别在边AB,AC上，DE∥BC,AD: DB=1:2,则△DOE与△BOC的面积的比 为 C拓展探究练 提素养、 17.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 过点B作BE∥AC,交DA的延长线于点E, 连接OE,交AB于点F.求SW边彩Cr：S△AwF 14.(2025·安庆大观区月考)如图，在平行四边形 的值 ABCD中，AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交 BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE, 垂足为G,BG=42,则△CEF的周长为 第14题图 第15题图 15.如图，Rt△ABO的直角顶点为坐标原点，且 A0=2B0.若点A在反比例函数y=4(x> 0)的图象上，点B在反比例函数y=二(x<O) 温馨提示：学习至此，建议使用本书第111~112页 的图象上，则的值是 周周清小卷6(22.2~22.3) 第22章相似形67 重点题型专题⑨ 相似三角形中比例式和等积式的证明 类型1三点定型法 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC 若比例式或等和式中的线段分布在两个三角形中，对四 于点E,AF⊥CD于点F,连接EF,AC.求证： 条线段进行梳理，利用三，点定型法府定出两个三角形，通 (1)△ABE∽△ADF: 过证明这两个三角形相似得到要证明的结果 (2)CD·EF=AC·AE. 1.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CE⊥ AB于点E.求证：BD·BC=BE·BA. D 类型3等比（等积）代换法 当比例式成等积式无法通过三角形相似得到时，可以证 类型2等线段代换法 明两对三角形相似，得到成比例线段，再利用等比例或 若需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形 等积代换得到结果： 时，可以通过证明三角形相似得到成比例线段，再利用 4.(2024·合肥包河区期末)如图，已知在△ABC中， 相等线段代换得到结果。 点D在边BC上，∠ADE=∠ABC,∠EAF= 2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与 ∠FDC,DE与AC交于点F. B BD交于点E,∠ADB=∠ACB.求证：A 求证80 AC (2)连接BF,如果AB2=AF·AC,求证： AD AD·BC=AE·BF. E 68一本·HK版初中数学9年级上册10.C11.(0,3)或(0，-3) 12.解：(1)证明：BD⊥AC, ∴.∠ADE=∠CDB=90 :AF=CF,∠DAE=∠DCB, ∴△ADE∽△CDB. (2)证明：“E为BD的中点心DE-BE-2BD, 由GD可为△ADE△GDE,0-B- 设AD-a(a>0),则CD-2a, .AC=ADICD=3a. “FH_AC,AF=CF,AH=CH= 2, .DH-AH-AD-7. 又：BD_AC,FH⊥AC,.BD∥FH, 会-品-兰-2，A8=那 24 (3)1√2 13.C14.16 15.解：(1)证明：∠ADE+∠ADB+∠EDC= 180°，∠B+∠ADB-∠DAB-180°，∠B-∠ADE, ∴∠EDC-∠DAB. 又，'∠B=∠C,∴.△BDA△CED. (2)1或2一2 162.V189 19.231 22.3相似三角形的性质 第1课时相似：角形的性质定理1 1.B【变式】1：22.2 9 3.2 4.A5.66.8m7.A 8.0@09.(14( 10解：120mm,49mm 480 (2)设PN=xmm,矩形PQMN的面积为Smm. 由题意，将△APNo△ABC小C-侣 即高00g得P0-的-子 2 ∴S=Pw·PQ=x(80-3z)= 3x2+80z 2 3 (x-60)+2400. 3 <0, 当x=60时，S取得最大值，此时PN=60mm, 2 PQ=80 3 ×60=40(mm) 答：当这个矩形的面积达到最大值时，矩形雾件的相 邻两边的长分别是60mm,40mm. 第2课时和似三角形的性质定弹2,3 1.B2.D【变式】2433：24.2 5.2:1 6.△ABC的周长为40，△A'B'C的周长为20 7.B8.A【拓展设问】1：3 9.A10.(1)4:5(2)1:2 11.(1)8cm (2)△A'B'C的周长为40cm,△ABC的面积为 16 cm2 12.813.1914.815.-1 16.解：(1)证明：：DF∥AB,IDE∥BC, ∴∠FDC=∠A,∠DCF=∠ADE, ,△DFCc∽△AED: (2)4 17.解：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,OA=OC 又BE∥AC,∴.四边形AEBC是平行四边形， ∴.BE=AC=2OA. BE∥AC,∴.△(OAFc∽△EBF, 器--8-8-2 S .S△Eae-4S△ae,S4AEF-2S△mF 设S△nr一a,则S△r一4a,S△ar一2a, SAAB SAnLH+SAtue 6a,SLALUC 2SAuk 12a, .Sg地ww=12a-a-2a一4a=5ay Sa_=50_5 2a2 29. 重点题型专题9相似三角形中 比例式和等积式的证明 1证明：AB=AC,BD=CD,AD⊥BC. :CE⊥AB,.∠BFC=∠BDA=90 :∠B=∠B,∴△BCE∽△BAD, 照-器m:C-服，A 2.证明：，AB=AD,.∠ADB=∠ABD. '∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠ABD. ∠BAF=∠CAB,∴.△EAB∽△BAC, 怨得怨怨 AB AC :AB=AD,六AEAD 3证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D ,AE⊥BC,AF⊥CD,∠AEB=∠AFD=90°， ,'.△ABEc∽△ADF. (2),△ABE∽△ADF, 福船滤架 :四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AB∥CD,AB=CD,A沿-C. :AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD=90°， ∴.∠EAF-∠BAE-90°. ∠AEB=90°，.∠B十∠BAE=90, ∠B=∠EAF,∴△AEF∽△BAC, ..AE EF AB AC' AE EF AB=CD.CDAC' 即CD·EF=AC·AE. 4,证明：(1)，∠EAF=∠FDC,∠AFE=∠CFD, ∴.∠E-∠C :∠ADE-∠ABC,∴△ADEc∽△ABC, AD AE.ABAD AB=AC…AGAE @BAF.AC,怎把 ∠FAB-∠BAC, △FBARC把-8 AB AD.BF AD 由(1)知，AC-AEBC一AE' ,AD·BC=AE·BP. 22.4图形的位似变换 第1课时位似图形 1.D2.A3.C【变式】1￥31￥94.C 5.解：如图，四边形A'BC'D'即为所求.（答案不唯 一) 6.D7.88.5或15 第2课时平面直角座标系巾图形的位似变换 1.A2.D 3.(1)2：1 2(4,-D3(受，) 4解：(1)如图，△AB1C,即为所求 (2)如图，△A2B2C2即为所求，点C:的坐标为（一6,6） 5.B6.(3,2) 22.5综合与实践 测量与误差 1.B2.A3.5.54.18.25.10m6.9.6米 章末复习 ①相等 ②成比例③ad=b ①a+b=+d d ⑤2+a:十…+a 6:-b2+…十bn ⑥相等①夹角⑧成比例 ⑨相似比@相似比①相似比的平方②位似中心 3相似比 1.D2.(1)12(2)2V23.9.274.12 5解：1 130.