精品解析：2025年湖南省娄底市冷水江市三模数学试题

湖南省娄底2025年6月模拟考试九年级 数学 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年1月22~26日，某地连续5天的最低气温（单位：℃）分别为，2，3，其中最低的气温是（ ） A. B. C. D. 3 2. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年“五一”假期，湖南省共接待游客1849.47万人次，其中省外游客182.5万人次，数据182.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点 O在直线 上，，交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 为了解全班学生的课外阅读情况，班主任王老师随机调查了10名学生，得到他们在某一天 各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据此图可知这10名学生这一天各自课外阅读所用时间组成样本的中位数和众数分别是 （ ） A. 0.5，0.5 B. 1，1 C. 0.5，1 D. 1，1.5 8. 已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 9. 如图，在中， 是直径，弦于点E，连接 ， ，．下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上存在两点，，若对于，始终有，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x 元购进一批肉粽，按进价增加20% 作为售价，则肉粽的售价为_______ 元．（用含x 的代数式表示） 13. 方程的解为_______． 14. 如图，在平行四边形 中，，以点B 为圆心， 的长为半径作弧交 于点E， 分别以点 C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交 的延长线于点F，则的值为________． 15. 如图，小辰订购鲜花给奶奶过生日，付款时忘了支付密码后三位数，只记得密码后三位数 是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数， 一次就能支付成功的概率为 ________． 16. 甲烷、乙烷、丙烷、丁烷等分子结构相似的一类有机化合物，统称为“烷烃”，烷烃的命名与分子中碳原子的个数有关，下表是“烷烃”化学式的排列规律： 物质 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 戊烷 己烷 ··· 化学式 … 则含个碳原子数的“烷烃”的分子式为________． 17. 如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边 相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ________． 18. 如图，正方形 的边长为6，点O 是对角线 的中点，正方形的边分别 交于点M，N， 交于点 P，若，则 ________． 三、解答题（本大题有8个小题，第19题10分，第20题6分，第21~22题每题7分，第23~24题每题8分，第25~26题每题10分，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 如图， 与的顶点C 重合，交 于点F，已知，． 求证：． 21. “换”出消费新活力，湖南家电启动以旧换新活动．在购买政策限定的新家电时对于以旧换新的消费者，国家给予新家电价格10%的补贴，其中，电脑最高补贴450元，空调最高补贴 300元．某学校分两次更新部分电脑和空调，第一次购买1台电脑和2台空调，补贴前需花费10000元；第二次购买2台电脑和1 台空调，补贴前需花费12200元． （1）补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元? （2）若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴? 22. “湖广熟、天下足”，湖南是有名的鱼米之乡，是新中国成立以来不间断调出稻谷的两个省份之一，为国家粮食安全作出了重要贡献．某校数学社团以“关注粮食安全，传承勤俭美德”为主题开展综合实践活动，在国家统计局官网上收集了粮食产量和播种面积的有关数据，并对数据进行整理和分析．请观察统计图，并回答相应问题： （1）2022年湖南省粮食播种面积比2021年增加________千公顷； （2）自2019~2022年间，设湖南省单位面积粮食产量的平均值为，方差为；全国单位面积粮食产量的平均值为，方差为；则________，________；（填写“”或者“”） （3）国家统计局公布，2023年全国粮食总产量69541万吨，比上一年增长．如果继续保持这个增长率，计算2024年全国粮食总产量约为多少万吨（结果保留整数）？ 23. 某数学实践活动小组安排了一次主题项目学习，请你利用所学知识回答表格中的问题． 实践主题 数学来源于生活，数学服务于生活 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案 【实践场地】 学校有一块三角形池塘，两边 ， 紧靠围墙， 为一条笔直小路，无法直接确定池塘的边长 ， 【实践过程】 ①用测角仪测量围墙与小路所成夹角，； ②用测距仪测量小路 的长 【数据收集】 ，， 提出问题 （1）两面围墙的夹角的度数为 ； （2）三角形池塘的面积为多少? 深入探讨 （3）如何利用测量数据求出的值? 24. 如图，是的外接圆，， 点 D 是上一点，连接，延长至点F，连接， 使得． （1）试判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若，， 求 的长． 25. 问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在 边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是 的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是 的边 ， 的中点，求证：折痕是 的双等腰折痕； 类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是 的双等腰折痕，且点E为 的中点，连接，交 于点P， 若，，求 的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是 的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求 边的长． 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线（为常数，）的顶点为P，与x轴相交于两点（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，轴交抛物线于点D． （1）若，求点B的坐标； （2）在（1）的条件下，点M 是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M 的横坐标为m，连接 ，若，求m的值； （3）过点P 作于点F， 若，是否存在抛物线，使得?若存在，求此抛物线的表达式，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省娄底2025年6月模拟考试九年级 数学 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年1月22~26日，某地连续5天的最低气温（单位：℃）分别为，2，3，其中最低的气温是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了有理数的比较大小，按照负数小于正数，绝对值大的负数反而小，进行比较即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴最低的气温是， 故选：B 2. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项符合题意； C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 2024年“五一”假期，湖南省共接待游客1849.47万人次，其中省外游客182.5万人次，数据182.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据182.5万用科学记数法表示为； 故选D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方及同底数幂的乘除法，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、幂的乘方及同底数幂的乘除法可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 5. 如图，，点 O在直线上，，交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查余角、对顶角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及余角是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故选C． 6. 若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及一元一次不等式组的解法，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由点在平面直角坐标系的第四象限内，可知：， 解得：； 则x的取值范围在数轴上的表示为 故选：C． 7. 为了解全班学生的课外阅读情况，班主任王老师随机调查了10名学生，得到他们在某一天 各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据此图可知这10名学生这一天各自课外阅读所用时间组成样本的中位数和众数分别是 （ ） A. 0.5，0.5 B. 1，1 C. 0.5，1 D. 1，1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的定义，理解“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．根据定义进行解答即可． 【详解】解：由统计图得 中间两个数都是， 中位数是； 出现次数最多是数据是1， 众数是1； 故选：B． 8. 已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故选B． 9. 如图，在中，是直径，弦于点E，连接， ，．下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理及圆周角定理的推论，熟练掌握垂径定理及圆周角定理推论是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不一定成立； 故选C． 10. 已知二次函数的图象上存在两点，，若对于，始终有，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性等知识点，因为，根据离对称轴越近的点的纵坐标越大，始终有，所以，解不等式，可求t的取值范围，进而即可得解，关键是掌握，图象上离对称轴越近的点的纵坐标越大． 【详解】设抛物线的对称轴为直线：， ∵，，始终有， ∴， ①当时， ∴， ∴当时，，始终有， ②当时， ∴， ∴， ∴当时，，始终有， ③当时， ∴， ∴， ∴不成立． ∴，，始终有，则或， ∴或， ∴或且， 故选：A． 二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x 元购进一批肉粽，按进价增加20% 作为售价，则肉粽的售价为_______ 元．（用含x 的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查代数式，解题的关键是理解题意；由题意可直接列式进行求解． 【详解】解：由题意可知肉粽的售价为元； 故答案为． 13. 方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再求解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：； 经检验：是原方程的解； 故答案为． 14. 如图，在平行四边形中，，以点B 为圆心， 的长为半径作弧交于点E， 分别以点 C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键；由题意易得平分，即，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得：平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为1． 15. 如图，小辰订购鲜花给奶奶过生日，付款时忘了支付密码后三位数，只记得密码后三位数 是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数， 一次就能支付成功的概率为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键；由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解． 【详解】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为； 故答案为． 16. 甲烷、乙烷、丙烷、丁烷等分子结构相似的一类有机化合物，统称为“烷烃”，烷烃的命名与分子中碳原子的个数有关，下表是“烷烃”化学式的排列规律： 物质 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 戊烷 己烷 ··· 化学式 … 则含个碳原子数的“烷烃”的分子式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出氢原子变化规律“”．设碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目为，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：设碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目为， 由表可知：碳原子的数目为1、2、3……， 当时，， 时，， 时，， …… ∴， ∴含个碳原子数的“烷烃”的分子式为． 故答案为： 17. 如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得点，则有，然后再把点C的横坐标代入进行求解即可． 【详解】解：∵点D是的中点，且点， ∴点，即， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点C的横坐标为8， ∴， ∴点C的坐标为； 故答案为． 18. 如图，正方形的边长为6，点O 是对角线的中点，正方形的边分别 交于点M，N， 交于点 P，若，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，四点共圆等知识，由正方形的性质可得，,,四点共圆，设，过点 作于点，得，过点O作于点R，则，由四边形内角和定理得，得，求得，在上取一点 ，使，求得，，根据可求出，得出． 【详解】解：如图， ∵四边形，是正方形， ∴ ∴四点共圆， ∵是正方形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形的边长为6， ∴ ∵是的中点， ∴， 设，过点 作于点， ∴， 过点O作于点R，则 ∵ ∴， ∴ ∴，即 又 ∴， 解得，， ∴ 在上取一点 ，使， ∴ ∴， ∴ ∴， 解得，， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，第19题10分，第20题6分，第21~22题每题7分，第23~24题每题8分，第25~26题每题10分，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、二次根式的运算及分式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据特殊三角函数值、二次根式的运算可进行求解； （2）根据分式的运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，与的顶点C 重合，交于点F，已知，． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】略 21. “换”出消费新活力，湖南家电启动以旧换新活动．在购买政策限定的新家电时对于以旧换新的消费者，国家给予新家电价格10%的补贴，其中，电脑最高补贴450元，空调最高补贴 300元．某学校分两次更新部分电脑和空调，第一次购买1台电脑和2台空调，补贴前需花费10000元；第二次购买2台电脑和1 台空调，补贴前需花费12200元． （1）补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元? （2）若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴? 【答案】（1）补贴前学校购买一台电脑所需资金为4800元，一台空调所需资金为2600元 （2）一共能获得2130元的国家补贴 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键； （1）设补贴前学校购买一台电脑所需资金为x元，一台空调所需资金为y元，然后根据题意可列方程组进行求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为x元，一台空调所需资金为y元，由题意得： ， 解得：； 答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为4800元，一台空调所需资金为2600元． 【小问2详解】 解：由题意及（1）可得：（元），（元）， ∴电脑以旧换新每台价格为450元，空调以旧换新每台价格为260元， ∴（元）； 答：一共能获得2130元的国家补贴． 22. “湖广熟、天下足”，湖南是有名的鱼米之乡，是新中国成立以来不间断调出稻谷的两个省份之一，为国家粮食安全作出了重要贡献．某校数学社团以“关注粮食安全，传承勤俭美德”为主题开展综合实践活动，在国家统计局官网上收集了粮食产量和播种面积的有关数据，并对数据进行整理和分析．请观察统计图，并回答相应问题： （1）2022年湖南省粮食播种面积比2021年增加________千公顷； （2）自2019~2022年间，设湖南省单位面积粮食产量的平均值为，方差为；全国单位面积粮食产量的平均值为，方差为；则________，________；（填写“”或者“”） （3）国家统计局公布，2023年全国粮食总产量69541万吨，比上一年增长．如果继续保持这个增长率，计算2024年全国粮食总产量约为多少万吨（结果保留整数）？ 【答案】（1） （2），； （3）万吨 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、折线统计图，平均数，方差，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． （1）从 “2019 - 2022 年湖南省粮食播种面积” 统计图中获取数据，2021 年播种面积是 4758.4 千公顷 ，2022 年播种面积是 4765.5 千公顷，进而得出答案； （2）根据平均数的定义分别计算再比较即可；观察数据，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，进而得出答案； （3）根据增长后的量 = 增长前的量 ×（1+增长率）计算即可得出． 【小问1详解】 解：从 “2019 - 2022 年湖南省粮食播种面积” 统计图中获取数据，2021 年播种面积是 4758.4 千公顷 ，2022 年播种面积是 4765.5 千公顷． 增加的面积千公顷． 故答案为：； 【小问2详解】 解：湖南省单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 6444、6431、6461、6333． 其平均值． 全国单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 5720、5734、5805、5801． 其平均值． 所以． 观察数据，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，所以． 故答案为：，； 【小问3详解】 解：已知 2023 年全国粮食总产量万吨，增长率． 所以2024 年全国粮食总产量（万吨） 23. 某数学实践活动小组安排了一次主题项目学习，请你利用所学知识回答表格中的问题． 实践主题 数学来源于生活，数学服务于生活 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案 【实践场地】 学校有一块三角形池塘，两边， 紧靠围墙， 为一条笔直小路，无法直接确定池塘的边长， 【实践过程】 ①用测角仪测量围墙与小路所成夹角，； ②用测距仪测量小路的长 【数据收集】 ，， 提出问题 （1）两面围墙的夹角的度数为 ； （2）三角形池塘的面积为多少? 深入探讨 （3）如何利用测量数据求出的值? 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）根据三角形外角的性质及邻补角可进行求解； （2）过点C作于点F，然后根据三角函数值可求出，，进而问题可求解； （3）过点A作于点G，由（2）及三角函数值可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为； （2）过点C作于点F，如图所示： 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过点A作于点G，如图所示： 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，是的外接圆，， 点 D 是上一点，连接，延长至点F，连接， 使得． （1）试判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若，， 求的长． 【答案】（1） 与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明是直径，得到，证明，则，即可得到结论； （2）求出，连接，，作于点H，则，证明，得到，证明D、H、O三点共线，得到，由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解： 与相切， 理由如下： ∵是的外接圆，， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴ 与相切 【小问2详解】 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴ 连接，，作于点H，则 ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分 ， ∵ ∴在 的垂直平分线上， ∴D、H、O三点共线， ∴ ∴ 25. 问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在 边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕； 类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P， 若，，求 的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求边的长． 【答案】（1）证明：由折叠可知：， ∵点E，F分别是的边，的中点， ∴， ∴， ∴与均为等腰三角形， ∴折痕是的双等腰折痕； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知：，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得与均为等腰三角形，则有，然后可得，，过点E作于点M，进而求出，最后根据相似三角形的性质可求解； （3）由题意易得四边形是菱形，连接，交于点H，过点F作于点N，则有，然后可得，，进而可得，最后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的双等腰折痕， ∴与均为等腰三角形， ∵点E为的中点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴点F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理可得， ∴， 过点E作于点M，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 连接，交于点H，过点F作于点N，如果所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的双等腰折痕， ∴与均为等腰三角形， ∵是的顶角， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴，， 过点D作于点R， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质与判定及折叠的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质与判定及折叠的性质是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）的顶点为P，与x轴相交于两点（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，轴交抛物线于点D． （1）若，求点B的坐标； （2）在（1）的条件下，点M 是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M 的横坐标为m，连接 ，若，求m的值； （3）过点P 作于点F， 若，是否存在抛物线，使得?若存在，求此抛物线的表达式，若不存在，请说明理由 【答案】（1）； （2）； （3）存在抛物线，使得 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，抛物线与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）当，抛物线解析式为，令 ，则，解方程即可求得点B的坐标； （2）点坐标为，过点作轴于点交于点，由，，得到 ，求得，，即，代入抛物线解析式求解即可； （3）若，抛物线为，设，，则为方程的两个根，利用根与系数的关系得到，，利用，得到 ，求得顶点，，，利用解方程即可求解； 【小问1详解】 解：当，抛物线解析式为， 令 ，则， 整理得， ，， 点A在点B 的左侧， ，． 【小问2详解】 解：设点坐标为，过点作轴于点交于点，如图所示， 当，， ， ，， ， 轴，， ， 四边形为矩形， ，， ， ，即 将代入，即， 整理得， 解得，（舍去）， ． 【小问3详解】 解：存在，理由如下， ，即， 抛物线，即为， 设，，则为方程的两个根， ，， ， ， 令，得，即， ，， 顶点， ， ，， ， ， 整理得， 解得，（舍去） ，， 故存在抛物线，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $