第10章 第4节 概率与统计的综合问题（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第十章 统计与统计案例 第四节　概率与统计的综合问题 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破   不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（75） 温馨提示 谢谢观看！ 考点 概率与频率分布直方图的综合(精研通) 【例1】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55]，共七组．其频率分布直方图如图所示，已知[25，30)这组的参加者是6人． (1)根据此频率分布直方图求N； (2)组织者从[45，50)和[50，55]这两组的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列、均值及方差； (3)已知[35，40)和[40，45)这两组中各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学教师的概率． 解：(1)[25，30)这组频率为0.03×5＝0.15，所以总数N＝＝40. (2)[45，50)，[50，55]这两组的参加者人数为(0.02＋0.01)×5×40＝6.由题意，X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X的分布列为 X 1 2 3 P 则E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. (3)[35，40)这组的参加者人数为0.04×5×40＝8，[40，45)这组的参加者人数为0.03×5×40＝6，恰有1名数学教师的概率为＝. 为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测．每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图． (1)指标数不在17.5和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率； (2)技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布N(μ，1.222)，其中μ近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，计算μ值，并计算产品指标数落在[17.56，22.44]内的概率． 参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解：(1)由1×(a＋0.09＋0.22＋0.33＋0.24＋0.08＋a)＝1，解得a＝0.02. 样本中指标数不在17.5和22.5之间的频率为0.02×(1＋1)＝0.04， 所以产品为次等品的概率估计值为0.04. (2)依题意，得μ＝17×0.02＋18×0.09＋19×0.22＋20×0.33＋21×0.24＋22×0.08＋23×0.02＝20. 所以X～N(20，1.222)， 所以P(17.56≤X≤22.44)＝P(20－2×1.22≤X≤20＋2×1.22)≈0.954 5. 考点 概率与统计、统计案例的综合(精研通) 【例2】(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附：K2＝， 解：(1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 K2＝＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5>3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5<6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以p>p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造 后，该工厂产品的优级品率提高了． 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略，某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高． (1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超标的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线y＝ebx＋a的附近．请根据下表中的数据求出该年级体重超标人数y与月份x之间的经验回归方程(系数a和b的最终结果精确到0.01)，并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下； 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超标人数y 98 77 54 48 32 27 z＝ln y 4.58 4.34 3.99 3.87 3.47 3.30 (2)在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示． 控球队员 A B C 接球队员 B C A C A B 概率 若传球3次，记B队员控球次数为X，求X的分布列及均值． 附：经验回归方程＝x＋中＝，＝－； 参考数据：i＝23.55，izi＝77.86，＝91，ln 10≈2.30. 解：(1)由y＝ebx＋a，得z＝ln y＝bx＋a. 由题意，得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5， ＝i＝×23.55＝3.925， 所以＝＝≈－0.26，＝－≈3.925－(－0.26)×3.5≈4.84. 所以＝ln ＝－0.26x＋4.84，即y关于x的经验回归方程为＝e－0.26x＋4.84. 令e－0.26x＋4.84<10＝eln 10≈e2.3，所以－0.26x＋4.84<2.3，解得x>9.77. 由于x∈N，所以x≥10，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下． (2)由题意，得X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝××＝，P(X＝2)＝××＋××＝，P(X＝1)＝1－－＝， 所以X的分布列为 所以＝＝≈－0.26，＝－≈3.925－(－0.26)×3.5≈4.84. 所以＝ln ＝－0.26x＋4.84，即y关于x的经验回归方程为＝e－0.26x＋4.84. 令e－0.26x＋4.84<10＝eln 10≈e2.3，所以－0.26x＋4.84<2.3，解得x>9.77. 由于x∈N，所以x≥10，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下． (2)由题意，得X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝××＝，P(X＝2)＝××＋××＝，P(X＝1)＝1－－＝， 所以X的分布列为 所以＝ln ＝－0.26x＋4.84，即y关于x的经验回归方程为＝e－0.26x＋4.84. 令e－0.26x＋4.84<10＝eln 10≈e2.3，所以－0.26x＋4.84<2.3，解得x>9.77. 由于x∈N，所以x≥10，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下． (2)由题意，得X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝××＝，P(X＝2)＝××＋××＝，P(X＝1)＝1－－＝， 所以X的分布列为 (2)由题意，得X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝××＝，P(X＝2)＝××＋××＝，P(X＝1)＝1－－＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 考点 概率与统计中的创新问题(精研通) 【例3】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. ①证明：R＝·； ②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值． 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (1)解：零假设为H0：患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异．由题得χ2＝＝＝24. 又P(χ2≥6.635)＝0.01，24>6.635，故根据α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立． 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． (2)①证明：因为R＝·＝···， 所以R＝···， 所以R＝·. ②解：由已知得P(A|B)＝＝， P(A|)＝＝， P(|B)＝＝， P(|)＝＝， 所以R＝·＝6. 所以R＝·. ②解：由已知得P(A|B)＝＝， P(A|)＝＝， P(|B)＝＝， P(|)＝＝， 所以R＝·＝6. P(|)＝＝， 所以R＝·＝6. 从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，7. (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率． ①证明：P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)； ②求P(A3). (1)解：由条件概率公式可得P(A2|1)＝＝＝. 所以第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为. (2)①证明：由条件概率公式得P(A3|A1A2)＝， 可得P(A1A2A3)＝P(A1A2)P(A3|A1A2). 由P(A2|A1)＝， 可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)， 所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2). ②解：由①得P(A3)＝P(A1A2A3)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＋P(12A3) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)＋P(1)·P(A2|1)P(A3|1A2)＋P(A1)P(2|A1)·P(A3|A12)＋P(1)P(2|1)P(A3|12) ＝××＋××＋××＋××＝， 所以P(A3)＝. (2)①证明：由条件概率公式得P(A3|A1A2)＝， 可得P(A1A2A3)＝P(A1A2)P(A3|A1A2). 由P(A2|A1)＝， 可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)， 所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2). ②解：由①得P(A3)＝P(A1A2A3)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＋P(12A3) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)＋P(1)·P(A2|1)P(A3|1A2)＋P(A1)P(2|A1)·P(A3|A12)＋P(1)P(2|1)P(A3|12) ＝××＋××＋××＋××＝， 所以P(A3)＝. ②解：由①得P(A3)＝P(A1A2A3)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＋P(12A3) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)＋P(1)·P(A2|1)P(A3|1A2)＋P(A1)P(2|A1)·P(A3|A12)＋P(1)P(2|1)P(A3|12) ＝××＋××＋××＋××＝， 所以P(A3)＝. 所以P(A3)＝. $$