第9章 第7节 二项分布及其应用、正态分布（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第七节　二项分布及其应用、正态分布 课标解读 1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征． 2．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征、均值、方差及其含义． 必备知识 基础落实 伯努利试验 只包含____________的试验叫做伯努利试验 n重伯努利 试验 (1)定义：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的________称为n重伯努利试验． (2)特征：同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结果________ 两个可能结果 随机试验 相互独立 必备知识 基础落实 X～B(n，p) np np(1－p) 必备知识 基础落实 X～N(μ，σ2) 必备知识 基础落实 1 x＝μ 必备知识 基础落实 瘦高 集中 矮胖 分散 μ σ2 必备知识 基础落实 0.682 7 0.954 5 0.997 3 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 √ 必备知识 基础落实 (2)二项分布和超几何分布都是有放回抽样．(　　 　　) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　 　　) (4)一个随机变量如果是众多互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　 　　) × √ √ 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 BC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 谢谢观看！ 知识点一　二项分布 1．伯努利试验 2.二项分布 (1)二项分布的定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_____________． (2)二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝____，D(X)＝________． Cpk(1－p)n－k 知识点二　正态分布 1．正态分布 对任意的x∈R，f(x)＝e－>0(其中μ∈R，σ>0为参数)，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为___________．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的特点 (1)它的图象在x轴的上方； (2)x轴和曲线之间的区域的面积为__； (3)曲线是单峰的，它关于直线______对称； (4)曲线在x＝μ处达到峰值________； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．参数μ和σ对正态曲线形状的影响 (1)当σ较小时，峰值高，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较____； (2)当σ较大时，峰值低，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较____． 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝___，D(X)＝___． 5．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_____________； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_____________； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_____________． 1．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： (1)是否为n次独立重复试验； (2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2．“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 3．二项分布与两点分布的联系：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布． 4．在X～N(μ，σ2)中，随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很小. 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P77 T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒．如果有5只鸡接种了该种疫苗，那么恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　) A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45 2．(北师大版选择性必修第一册P213例1改编)某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，则发生险情时，至少有2台报警的概率是________． 答案：0.972 3．(人教A版选择性必修第三册P75例3改编)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束．假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________． 答案： 4．(苏教版选择性必修第二册P129 T3改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2).若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________. 答案：0.954 5．(人教A版选择性必修第三册P87 T1改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80，25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7) 答案：0.158 65 考点 n重伯努利试验的概率(自悟通) 1.某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：因为参与者每次抽中奖的概率均为，所以甲参加3次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率P＝C××()2＝. 2．国家提倡大学毕业生自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且a＝2b，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：由题意得解得则四名大学生至少有两名创业成功的概率P＝1－C××()3－()4＝. 3．学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为，第四个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：分两种情况求解．①前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为C()2××(1－)＝；②前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯的概率为()3×＝.由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为＋＝. 求解n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率问题的基本思路 n重伯努利试验中事件A恰好发生k次可看作C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作k个事件A与(n－k)个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k(其中p为在一次试验中事件A发生的概率).因此，n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k. 考点 正态曲线的性质(自悟通) 1.设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则实数a的值为(　　) A．5 B．3 C． D． 解析：因为ξ服从正态分布N(3，4)，所以正态曲线关于直线x＝3对称．因为P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，所以＝3，解得a＝. 2．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析：由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8，(另解：P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8)所以C正确，D错误．综上，选BC. 3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝______. 答案：0.14　 解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. 利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1. 考点 二项分布及应用(精研通) 【例1】某杂志社对投递来的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审，若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投递来的稿件能通过各位专家初审的概率均为，复审的稿 件能通过各位专家复审的概率均为，且每位专家的评审结果相互独立． (1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率； (2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望． 解：(1)由题意可得投到该杂志社的1篇稿件初审直接被录用的概率P1＝()2＝. 投到该杂志社的1篇稿件初审没有被录用，复审被录用的概率P2＝C×××()2＝. 故投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率P＝P1＋P2＝＋＝. (2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，)， P(X＝0)＝C×()3＝， P(X＝1)＝C××()2＝＝， P(X＝2)＝C×()2×＝＝， P(X＝3)＝C×()3＝. 则X的分布列为 P(X＝3)＝C×()3＝. 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝3×＝. 二项分布的解题策略 (1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率． (2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． 某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图案，抽奖规则：参加者从盒中随机抽取两张卡片，若抽到的两张卡片分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘爱国’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘敬业’卡的概率是.” (1)求抽奖者获奖的概率； (2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值． 解：(1)设“敬业”卡有n张，则由已知可得＝，解得n＝4， 故“爱国”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝. (2)若抽出的为“敬业”卡，则每个抽奖者获奖的概率为×＝， 若抽出的为“爱国”卡，则每个抽奖者获奖的概率为×＝， 所以新规则下，每个抽奖者获奖的概率为p＝＋＝， 所以X～B(3，)，P(X＝k)＝C()k·()3－k(k＝0，1，2，3). 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝3×＝. 考点 正态分布的应用(精研通) 【例2】某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：h)并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)； (2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. (参考数据：≈，若Y～N(0，1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4) ①一般正态分布N(μ，σ2)的概率都可以转化为标准正态分布N(0，1)的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1)，且P(X≤a)＝P(Y≤).利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10). ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10 h的人数，求Z的均值． 解：(1)根据题中频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5，6.5)，[6.5，7.5)，[7.5，8.5)，[8.5，9.5)，[9.5，10.5)，[10.5，11.5)，[11.5，12.5]内的频率分别为0.03，0.1，0.2，0.35，0.19，0.09，0.04，则＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78， 所以样本平均数和样本方差s2分别为9，1.78. (2)①由(1)知μ＝9，σ2＝1.78， 则有X～N(9，1.78)， σ＝＝≈，P(X≤10)＝P(Y≤)＝P(Y≤0.75)＝0.773 4. ②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，可得Z～B(20，0.226 6)， 所以Z的均值E(Z)＝20×0.226 6＝4.532. 利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个． A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下： 解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. (2)因为Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， 所以P(14.55≤Z≤38.45)＝P(26.5－11.95≤Z≤26.5＋11.95)≈0.682 7， 所以Z落在[14.55，38.45]内的概率大约是0.682 7. $$