第9章 第6节 离散型随机变量的分布列、均值与方差（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第六节　离散型随机变量的分布列、均值与方差 课标解读 1. 了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 3．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 必备知识 基础落实 唯一 有限个或可以一一列举 X，Y，Z x，y，z 必备知识 基础落实 0 1 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 平均水平 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 偏离程度 越小 越大 aE(X)＋b a2D(X) 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　 　　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　 　　) × √ 必备知识 基础落实 (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　 　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　 　　) √ √ 必备知识 基础落实 ABC 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ACD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（70） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　随机变量 1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量：可能取值为____________________的随机变量，我们称为离散型随机变量． 3．字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如___________；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如____________． 知识点二　离散型随机变量的分布列 1．概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．也可以用表格表示如下： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2.性质：(1)pi≥__，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝__． 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． (2)超几何分布 定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数， 则X的分布列为P(X＝k)＝___________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 知识点三　离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝____________________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的________. 2．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的________，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差____，随机变量的取值越集中；方差或标准差____，随机变量的取值越分散． 3．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝__________； (2)D(aX＋b)＝__________． (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定． (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小． (3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确． (4)超几何分布中随机变量X的数学期望E(X)＝＝np. 二、版本互鉴 1．(多选)[人教A版选择性必修第三册P60 T2(1)改编]抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 2．(苏教版选择性必修第二册P106 T2改编)设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P p 则p的值为(　　) A． B． C． D． 3．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 答案：　 解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝. 4．(人教A版选择性必修第三册P70 T2改编)随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________． 答案： 考点 离散型随机变量分布列及其性质(自悟通) 1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　) A．5 B．9 C．10 D．25 解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中的某一个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个． 2．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝(　　) A． B． C． D． 解析：根据分布列的性质，得＋m＋＋＝1，则m＝，随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝. 3．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝________． 答案：4　 解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，则a＝4. 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值． (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 考点 离散型随机变量的求法(自悟通) 1.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________． 答案： X 1 2 3 P 解析：由题意知X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为 X 1 2 3 P 2.小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户．设A，B，C猜中的概率分别为，，，且A，B，C是否猜中互不影响． (1)求A恰好获得4元的概率； (2)设A获得的金额为X元，求X的分布列． 解：(1)依题意，当且仅当C猜中时A恰好获得4元，∴A恰好获得4元的概率为××＝. (2)X的所有可能取值为0，4，6，12，P(X＝0)＝××＝，P(X＝4)＝，P(X＝6)＝×＝，P(X＝12)＝，∴X的分布列为 X 0 4 6 12 P 离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； (3)画表格：按规范要求形式写出分布列； (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确． 考点 离散型随机变量的均值与方差(精研通) 命题点1　求离散型随机变量的均值与方差 【例1】(1)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 (2)(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中 不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________． 解析：(1)ξ的可能取值为0，1，2. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3. (2)因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3. 若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合为3－2，5－4，7－6，1－8. 若甲的总得分为2，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3－2，5－4，1－6，7－8； 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3种组合； 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7种组合． 综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1＝24(种)，所以甲的总得分不小于2的概率P＝＝. 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ)； (5)由方差的定义求D(ξ). 　(多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的是(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 解析：由离散型随机变量X的分布列的性质，得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8.∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2.故A，C，D正确． 命题点2　超几何分布列 【例2】某大型会议的组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩(单位：分)制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布)，组织者计划对成绩前30名的参赛者进行奖励． (1)试确定受奖励的分数线； (2)从受奖励的90以下和[90，100]的30人中采取分层随机抽样的方法从中选10人在主会场服务，组织者又从这10人中任选5人为贵宾服务，记其中成绩大于或等于90的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望． 解：(1)由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90，100]的人数为0.012×10×100＝12， 竞赛成绩在[80，90)的人数为0.02×10×100＝20， ∴受奖励的分数线在[80，90)之间． 设受奖励的分数线为x，则(90－x)×0.02×100＋0.012×10×100＝30，解得x＝81， ∴受奖励的分数线为81. (2)由(1)知，受奖励的30人中，成绩在[90，100]的人数为12，则成绩在90以下的人数为30－12＝18， ∴从受奖励的30人中分层随机抽样选10人在主会场服务，其中成绩在90以下的有×10＝6人，成绩在[90，100]的有×10＝4人， ∴5人中成绩大于或等于90的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，4， P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝＝， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. 求超几何分布分布列的步骤 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品． (1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率； (2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记ξ表示抽到一等品的箱数，求ξ的分布列和期望． 解：(1)设“从这9箱产品中随机抽取的3箱产品中至少有2箱是一等品”为事件A，则P(A)＝＝＝， 因此从这9箱产品中随机抽取3箱，至少有2箱是一等品的概率为. (2)由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，由超几何分布概率公式得 P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 命题点3　均值与方差在决策中的应用 【例3】(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设0<p<q. (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解：(1)设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784. 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875. 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686. (2)(i)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲， 则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2). 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2). 则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)·(p＋q－pq)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0， 所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙． 故应该由甲参加第一阶段比赛． (ii)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3). 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3). E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)·(3－p－q)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y). 故应该由甲参加第一阶段比赛． p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3). 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3). E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)·(3－p－q)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y). 故应该由甲参加第一阶段比赛． 利用均值、方差进行决策的两个方略 (1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． (2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或稳定程度，进而进行决策． 某学校组织知识竞赛，有A，B两类问题．每名参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由． 解：(1)由题意可知，X的可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)小明应选择先回答B类问题．理由如下：由(1)得，先回答A类问题的期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 设先回答B类问题累计得分为Y，则Y的可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×0.2＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为E(Y)＞E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． $$