第9章 第3节 二项式定理（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第三节　二项式定理 课标解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 × √ × √ 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ACD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B －28 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 C －5 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（67） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点　二项式定理 1．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝________． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为______ (k＝0，1，2，…，n). Can－kbk C 2．二项式系数的性质 (1)二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． (2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． (3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数部分，包含符号等，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n). 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　　 　　) (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　 　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　 　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P31 T4改编)(2x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．26C B．－24C C．25C D．－25C 2．(苏教版选择性必修第二册P77例3改编)(x－)6的展开式中的常数项为(　　) A．－150 B．150 C．－240 D．240 3．(湘教版选择性必修第一册P192例5改编)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋…＋a7＝________． 答案：－2 4．(人教A版选择性必修第三册P38 T3(5)改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________． 答案：1　 解析：令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1. 5．(人教A版选择性必修第三册P34习题T2改编)(x＋2y)·(x－y)5的展开式中x3y3的系数是______． 答案：10 考点 求二项展开式的特定项或特定项系数(自悟通) 1．(x－)4的展开式中常数项为(　　) A．－24 B．－4 C．4 D．24 解析：(x－)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4－r(－2)rx－r＝C(－2)rx4－2r，令4－2r＝0，解得r＝2，故T3＝C(－2)2＝24，即常数项为24. 2．(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 解析：方法一(公式法)　(x－)4的展开式的通项公式Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝(－1)rCx4－(r＝0，1，2，3，4).由4－＝3，得r＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2C＝6. 方法二(组合数法)　(x－)4的展开式中含x3的项是由(x－)(x－)(x－)(x－)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(－)相乘得到的，所以(x－)4的展开式中含x3的项为Cx2·C(－)2＝6x3，所以(x－)4的展开式中x3的系数为6. 3．若a>1，则(2x－)6的展开式中x4的系数的取值范围为(　　) A．(192，＋∞) B．(－∞，192) C．(－192，＋∞) D．(－∞，－192) 解析：(2x－)6的展开式中x4的系数为C×25×(－a)＝－192a.因为a>1，所以－192a<－192. 求二项展开式中特定项的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k； 第三步，把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或其他量． 考点 二项式系数的性质及各项系数和(精研通) 【例1】(1)若(x2－)n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________． (2)(2024·全国甲卷)(＋x)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． (3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________． 答案：(1)255　(2)5　(3)3　 解析：(1)(x2－)n的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2)n－k·(－)k＝C(－1)kx2n－3k.因为含x的项为第6项，所以k＝5，2n－3k＝1，解得n＝8.在(1－3x)n中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1－3)8＝28.又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝28－1＝255. (2)(＋x)10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()10－rxr，则各项的系数分别为C()10，C()9，C()8，C()7，C()6，C()5，C()4，C()3，C()2，C()1，C()0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C()5，C ()4，C()3，C()2，C()1，C()0，比较可得，C()2＝5最大． (3)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. 1.赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中： (1)各项系数之和为f(1). (2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝. (3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 提醒：注意区分二项式系数与二项展开式的各项系数． 1．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为2 048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 解析：由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故B错误，C正确；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确． 2．(多选)(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论正确的是(　　) A．a＝3 B．展开式中常数项为3 C．展开式中x4的系数为30 D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64 解析：设(a－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝64(a－1)；① 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0.② ①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)，所以2×64＝64(a－1)，解得a＝3，故A正确． 故二项式为(3－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝0，得a0＝3，即展开式中常数项为3，故B正确． ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝64×2，所以a0＋a2＋a4＋a6＝64，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，故D正确． 由(3－x)(1＋x)6＝3(1＋x)6－x(1＋x)6，得其展开式中x4的系数为3×C－1×C＝25，故C错误． ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝64×2，所以a0＋a2＋a4＋a6＝64，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，故D正确． 由(3－x)(1＋x)6＝3(1＋x)6－x(1＋x)6，得其展开式中x4的系数为3×C－1×C＝25，故C错误． 考点 求多项展开式中的特定项或特定项系数(精研通) 命题点1　几个多项式的和的展开式问题 【例2】(1)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为－2，则a＝(　　) A．2 B．2 C．－2 D．－1 (2)(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________．(用数字作答) 解析：(1)(1＋ax)3，(1－x)5的展开式中x3的系数分别为a3，C(－1)3，由题得a3－10＝－2，即a3＝8，解得a＝2. (2)因为(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(1－)(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，故(1－)·(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. 求形如(a＋b)n(c＋d)m(m，n∈N*)的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它先行展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 命题点2　求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式与特定项相关的量 【例3】(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 (2)(x－－1)4的展开式中，常数项为________. 解析：(1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2＋x)5－k·yk，令k＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2.又(x2＋x)3的展开式的通项为T′k＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k.令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30. (2)(x－－1)4＝[－1＋(x－)]4，∴Tk＋1＝C(－1)4－k(x－)k(k＝0，1，2，3，4)，当k＝0时，T1＝1；当k≠0时，(x－)k的展开式的通项为Cxk－r·(－)r＝(－1)rCxk－2r(r≤k)，令k＝2r，得或∴常数项为1＋C(－1)2C(－1)1＋C(－1)0C(－1)2＝1－12＋6＝－5. 为Cxk－r·(－)r＝(－1)rCxk－2r(r≤k)，令k＝2r，得或∴常数项为1＋C(－1)2C(－1)1＋C(－1)0C(－1)2＝1－12＋6＝－5. 解决三项式问题常用的方法 (1)先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解； (2)三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解； (3)三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解． 1．在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为(　　) A．－480 B．480 C．－240 D．240 解析：(x2－2x＋y)6是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2，则6个因式中，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，因此含x5y2的系数为CCC·(－2)3＝－480. 2．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________． 答案：　 解析：(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为Ca2，含x项的系数为Ca，由(x－1)·(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0.又a为正实数，所以15a＝6，所以a＝. $$