第9章 第2节 排列与组合（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第二节　排列与组合 课标解读 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 必备知识 基础落实 排列的 定义 从n个____元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的____排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合的 定义 不同 顺序 作为一组 必备知识 基础落实 排列 组合 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　 　　) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　 　　) (3)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　 　　) × √ × √ × 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 C 540 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（66） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　排列、组合的定义 知识点二　排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同____的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同____的个数 排列数 组合数 公式 A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝ ____________ C＝＝ ＝____________________ 性质 A＝n！， 0！＝1 C＝1， C＝C， C＋C＝C (1)C＝C：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数． (2)C＝C＋C：从n＋1个不同元素中取出m(m≤n)个元素可分以下两种情况．①不含特殊元素A有C种情况；②含特殊元素A有C种情况． (4)kC＝nC.(　　 　　) (5)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P20 T3改编)一个停车场有8个停车位，如果每个车位只能停放1辆汽车，现要停放4辆不同的汽车，那么不同停放方法的种数为(　　) A．70 B．1 440 C．1 680 D．1 880 2．(人教A版选择性必修第三册P26 T4(1)改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 3．(人教A版选择性必修第三册P26 T4(2)改编)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三名同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三名同学对选取的礼物都满意，那么选法有(　　) A．50种 B．60种 C．90种 D．180种 4．(苏教版选择性必修第二册P88 T4改编)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有________种． 答案：140 5．(北师大版选择性必修第一册P173 T3改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一名同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________. 答案：30 考点 排列问题(自悟通) 1.甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有(　　) A．10种 B．16种 C．20种 D．24种 解析：一排共有8个座位，现有两人就座，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就座，即有A＝20种坐法． 2．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻． 解：(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种). (2)分两步完成．先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种). (3)方法一(特殊元素优先法)　先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种). 方法二(特殊位置优先法)　首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体，与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有AA＝576(种). (5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有AA＝1 440(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体，与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有AA＝576(种). (5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有AA＝1 440(种). 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法，这些是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 考点 组合问题(自悟通) 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 解析：9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66(种). 2．某市监管部门对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种优等品．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种优等品必须在内，不同取法有多少种？ (2)其中某一种优等品不能在内，不同取法有多少种？ (3)恰有2种优等品在内，不同取法有多少种？ (4)至少有2种优等品在内，不同取法有多少种？ (5)至多有2种优等品在内，不同取法有多少种？ 解：(1)从余下的34种商品中，选取2种，有C＝561种取法． 所以某一种优等品必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或C－C＝C＝5 984种取法． 所以某一种优等品不能在内的不同取法有5 984种. (3)从20种非优等品中选取1种，从15种优等品中选取2种，有CC＝2 100种取法． 所以恰有2种优等品在内的不同取法有2 100种． (4)选取2种优等品，有CC种，选取3种优等品，有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). 所以至少有2种优等品在内的不同取法有2 555种. (5)方法一(间接法)　选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种). 所以至多有2种优等品在内的不同取法有6 090种. 方法二(直接法)　由题意可知共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种). 所以至多有2种优等品在内的不同取法有6 090种． 所以恰有2种优等品在内的不同取法有2 100种． (4)选取2种优等品，有CC种，选取3种优等品，有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). 所以至少有2种优等品在内的不同取法有2 555种. (5)方法一(间接法)　选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种). 所以至多有2种优等品在内的不同取法有6 090种. 方法二(直接法)　由题意可知共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种). 所以至多有2种优等品在内的不同取法有6 090种． 方法二(直接法)　由题意可知共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种). 所以至多有2种优等品在内的不同取法有6 090种． 1.解决组合应用题的两个步骤 (1)整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理； (2)局部分步用到分步乘法计数原理． 2．解含有附加条件的组合问题的两种方法 通常用直接法或间接法，应注意对“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解． 考点 排列、组合的综合问题(精研通) 命题点1　相邻、相间及特殊元素(位置)问题 【例1】(1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 (2)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析：(1)先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A种安排方式．所以不同的安排方式共有CA＝60(种). (2)因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看作一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有A种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学 共有A×2×2＝24种不同的排列方式． 解排列、组合问题要遵循的两个原则 (1)按元素(位置)的性质进行分类； (2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置). 命题点2　定序问题 【例2】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 答案：720　 解析：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种). 定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列． 命题点3　分组、分配问题 【例3】(1)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 (2)为了推进疫苗接种进度，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有________种． 解析：(1)根据题意，可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人，共有C＝3种分法，再将这两组分配到2个山村，有A＝2种分法，故共有3×2＝6种分法． (2)第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有·A＝90种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有A＝6种不同的分法．故不同的分配方法共有90×6＝540(种). 分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题：①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． (2)对于相同元素的“分配”问题，常采用的方法是“隔板法”． ③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． (2)对于相同元素的“分配”问题，常采用的方法是“隔板法”． 1．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种． 答案：36　 解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种). 2．某校抽调志愿者，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务．每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有________种． 答案：72　 解析：有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有·A＝90种分配方案．若两名学生分在同一社区，则有C×C＝18种分配方案． 所以要使两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有90－18＝72(种). $$