第9章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 必备知识 基础落实   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有____________，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要________，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 结论 完成这件事共有N＝_____种不同的方法 完成这件事共有N＝_____种不同的方法 两类不同方案 两个步骤 m＋n m×n 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　 　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　 　　) × √ 必备知识 基础落实 (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　 　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　 　　) × √ 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（65） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用两个计数原理解决一些简单的实际问题． 知识点　分类加法计数原理和分步乘法计数原理 (1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． (2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，缺少其中的任何一步都不能完成该件事，只有当每个步骤都完成后，才算完成这件事． 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P11 T3改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 2．(人教A版选择性必修第三册P12 T8(1)改编)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是(　　) A．24 B．48 C．64 D．81 3．(湘教版选择性必修第一册P186 T5改编)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有________种． 答案：60 答案：60 4．(人教B版选择性必修第二册P6例2改编)用1，2，3，4，5可以排成______个不重复的三位数． 5．(人教B版选择性必修第二册P7例3改编)某班班委由2名女同学、3名男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1名女同学参加，则不同的选法共有______种． 答案：7 考点 分类加法计数原理(自悟通) 1.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 解析：分2类情况讨论．第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有奇数个数为3×2×2＝12；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有奇数个数为3×2×1＝6.根据分类加法计数原理知，奇数的个数为12＋6＝18. 2．一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有(　　) A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 解析：这只小虫子的不同走法有ABCDE，ABCDPE，ABCDPFE，ABPDE，ABPE，ABPFE，APBCDE，APDE，APE，APFE，AGFPBCDE，AGFPDE，AGFPE，AGFE，共14种． 3．如图，从A到O有________种不同的走法．(不重复过一点) 答案：5　 解析：分3类．第1类，直接由A到O，有1种走法；第2类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第3类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法．由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法． 4．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个． 答案：12　 解析：当有三个1时有2 111，3 111，4 111，1 211，1 311，1 411，1 121，1 131，1 141，共9个．当有三个2，3，4时有2 221，3 331，4 441，共3个．根据分类加法计数原理可知，共有“好数”9＋3＝12个． 使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则． 考点 分步乘法计数原理(自悟通) 1.为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有(　　) A．60种 B．120种 C．125种 D．243种 解析：由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，所以每个人有5种选择．则不同的报名方式共有5×5×5＝125种． 2．我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排6节，且“数”必须排在第3节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析：“数”排在第3节，且“射”和“御”相邻时，有3A种排法，再将“礼”“乐”“书”安排在剩下的3节，有A种排法，所以不同的安排顺序共有3AA＝36种． 3．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 答案：24　112　 解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法． 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112. (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成． 考点 两个计数原理的综合应用(精研通) 命题点1　涂色问题 【例1】如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有________种不同的绿化方案．(用数字作答) 答案：180　 解析：如图，从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法；因为D与B，C花卉颜色不一样，与A花卉颜色可以同色也可以不同色，所以D有3种颜色花卉摆放方法．故共有5×4×3×3＝180种涂色方法． 命题点2　几何图形中的问题 【例2】《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　) A．8 B．12 C．16 D．18 解析：根据正六边形的性质，则D1­A1ABB1，D1­A1AFF1满足题意， 而C1，E1，C，D，E和D1一样，有2×4＝8个阳马，当A1ACC1为底面矩形时，有4个阳马满足题意；当A1AEE1为底面矩形时，有4个阳马满足题意．故阳马的个数为8＋4＋4＝16. 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么； (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类； (3)弄清分步、分类的标准是什么； (4)利用两个计数原理求解． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　) A．60 B．48 C．36 D．24 解析：一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个“平行线面组”，共有6个面，故共有6×6＝36个“平行线面组”． 长方体的每个对角面有2个“平行线面组”，共有6个对角面，一共有6×2＝12个“平行线面组”． 根据分类加法计数原理知，共有36＋12＝48个“平行线面组”． $$