第7章 第3节 第❶课时 直线、平面平行的判定与性质（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第七章　立体几何 第三节　直线与平面平行、垂直的判定与性质 课标解读 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行、垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行、垂直关系的简单命题． 必备知识 基础落实   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) 此平面内 必备知识 基础落实   文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与____平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 交线 必备知识 基础落实   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 相交直线 必备知识 基础落实   文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行(简记为“面面平行”⇒“线线平行”) 相交 交线 必备知识 基础落实 任意一条 必备知识 基础落实   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线____ 两条相交直线 平行 必备知识 基础落实 射影 必备知识 基础落实 两个半平面 垂直 α∈[0，π] 必备知识 基础落实   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行．(　　 　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　 　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　 　　) × × × 必备知识 基础落实 (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　 　　) (5)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　 　　) (6)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　 　　) (7)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　 　　) (8)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　 　　) × √ × × × 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 AD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（44） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　线面平行的判定定理和性质定理 知识点二　面面平行的判定定理和性质定理 知识点三　直线与平面垂直的判定定理与性质定理 1．定义：直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的____所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：______________． θ∈[0，] 知识点四　平面与平面垂直的判定定理和性质定理 1．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱____的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的平面角α的范围：__________． 2．判定定理与性质定理 应用线面平行判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须具备，缺一不可． 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：(1)平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P；(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. 面面平行判定定理的一个推论 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)同一条直线与两个平行平面所成角相等． (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直． 线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须是相交的． 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 与垂直有关的结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第二册P143 T1改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 2．(北师大版必修第二册P229 T1改编)下列命题中正确的是(　　) A．若a，b是两条直线，且a∥b，则a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，则a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 3．(苏教版必修第二册P178 T4改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 4．(人教A版必修第二册P143 T2改编)已知平面α，β和直线a，b，c，a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．不确定 5．(湘教版必修第二册P173 T2改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________． 答案：45° 6．(人教A版必修第二册P152 T4改编)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案：(1)外　(2)垂 7．(人教B版必修第四册P108 T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________． 答案：平行四边形　 解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形． 8．(苏教版必修第二册P172 T1改编)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有________． 答案：AB，BC，AC　AB　 解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC.又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB. 第❶课时　直线、平面平行的判定与性质 考点 线线、线面、面面平行的判断问题(自悟通) 1．如图，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　) A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 解析：∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA. 2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C. 3．(多选)已知点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下列各图中，直线PQ与RS是平行直线的是(　　) 解析：对于A，如图，PQ∥CD1，RS∥BA1，由正方体性质知CD1∥BA1，所以PQ∥BA1，故PQ∥RS，故A符合题意； 对于B，如图，PQ∥CD1，RS∥AD1，而CD1∩AD1＝D1，所以PQ，RS不平行，故B不符合题意； 对于C，如图，PQ∥BC，RS∥BD，而BC∩BD＝B，所以PQ，RS不平行，故C不符合题意； 对于D，如图，PQ∥B1D1，RS∥BD，由正方体性质知B1D1∥BD，所以PQ∥BD，故PQ∥RS，故D符合题意． 对于D，如图，PQ∥B1D1，RS∥BD，由正方体性质知B1D1∥BD，所以PQ∥BD，故PQ∥RS，故D符合题意． (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项进行确定或排除，再逐步判断其余选项． (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． ②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 考点 直线、平面平行的判定与性质(精研通) 【例1】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点． 又M是PC的中点，所以PA∥OM. 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， 所以PA∥平面BMD. 又平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH. 线面平行问题的解题关键 (1)应用线面平行判定定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE. 证明：方法一　∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD. ∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， ∴AB∥平面CDE. ∵AF∥ED，AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE， ∴AF∥平面CDE. 又AF∩AB＝A，AB，AF⊂平面ABF， ∴平面ABF∥平面CDE. 又BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE. 方法二　如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF. ∵AF∥DN，且AF＝DN， ∴四边形ADNF为平行四边形． ∴AD∥FN，且AD＝FN. 由四边形ABCD为矩形，得AD∥BC且AD＝BC， ∴FN∥BC，且FN＝BC， ∴四边形BCNF为平行四边形， ∴BF∥NC.又BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE， ∴BF∥平面CDE. 考点 平面与平面平行的判定与性质(精研通) 【例2】如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC. 又EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵G，E分别为A1B1，AB的中点， A1B1∥AB且A1B1＝AB， ∴A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. 又A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. A1B1∥AB且A1B1＝AB， ∴A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. 又A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M. ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点．连接DM， ∵D为BC的中点，∴A1B∥MD. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1. 由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点． (1)求证：BE∥平面DMF； (2)求证：平面BDE∥平面MNG. 证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO， 则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO. 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN. 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN. 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG. 又DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG. 考点 平行关系的综合(精研通) 【例3】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． (1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. 又HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH. ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH∥FG. 又EH⊂平面ACD，FG⊄平面ACD， ∴FG∥平面ACD. 又FG⊂平面BCD，平面BCD∩平面ACD＝CD， ∴FG∥CD. 又CD⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH. (2)解：设EF＝x(0<x<4).∵EF∥AB，FG∥CD， ∴＝，则＝＝＝1－， ∴FG＝6－x. ∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x. 又0<x<4，∴8<l<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). 又EH⊂平面ACD，FG⊄平面ACD， ∴FG∥平面ACD. 又FG⊂平面BCD，平面BCD∩平面ACD＝CD， ∴FG∥CD. 又CD⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH. (2)解：设EF＝x(0<x<4).∵EF∥AB，FG∥CD， ∴＝，则＝＝＝1－， ∴FG＝6－x. ∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x. 又0<x<4，∴8<l<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). (2)解：设EF＝x(0<x<4).∵EF∥AB，FG∥CD， ∴＝，则＝＝＝1－， ∴FG＝6－x. ∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x. 又0<x<4，∴8<l<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). 又0<x<4，∴8<l<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). 利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决． 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为 对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． (1)证明：如图，连接CP并延长与DA的延长线交于点M，连接MD1.因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以＝＝.又因为＝＝，所以＝＝，所以PQ∥MD1.又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA. (2)解：当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明如下：因为＝，即＝，故＝.所以PR∥DA.又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA.又PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA. $$