第5章 第3节 平面向量的数量积及综合应用（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第五章 平面向量、复数 第三节　平面向量的数量 积及综合应用 课标解读 1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义． 2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题． 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 b·a λ(a·b) a·λb a·c＋b·c 必备知识 基础落实 x1x2＋y1y2＝0 |a||b| 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　 　　) (2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　 　　) (3)(a·b)c＝a(b·c).(　　 　　) × √ × × 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 临界分析 结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围 目标函数 将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 AC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 谢谢观看！ 知识点一　平面向量的数量积 1．平面向量数量积的有关概念 向量的 夹角 已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角 数量积 的定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝_______________． 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0 投影 向量 |a|cos θe叫做向量a在b方向上的投影向量，其中e是与b方向相同的单位向量 |a||b|cos θ 2.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝______ 结合律 λa·b＝_______＝_______ 分配律 (a＋b)·c＝______________ 知识点二　平面向量数量积的坐标表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝___________ 夹角 cos θ＝ cosθ＝_______________ a⊥b的充要条件 a·b＝0 ______________ |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤______ |x1x2＋y1y2|≤_______________________ 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立). (4)两个向量的夹角的范围是[0，].(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第二册P22 T3改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 2．(人教A版必修第二册P34例10改编)已知△ABC的三个顶点为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：由已知得＝(6，6)，＝(－2，2)，∴·＝6×(－2)＋6×2＝0，即AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形． 3．(人教A版必修第二册P36 T3改编)已知点A(0，)，B(0，0)，C(1，0)，则cos 〈，〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：∵A(0，)，B(0，0)，C(1，0)， ∴＝(1，0)，＝(1，－)， 则cos 〈，〉＝＝＝. 4．(人教A版必修第二册P21例12改编)已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，则(a＋b)·(2a－b)＝________． 答案：－1 5．(人教A版必修第二册P20 T3改编)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________． 答案：a　 解析：b在a方向上的投影向量为|b|cos ＝2×a＝a. 6．(人教A版必修第二册P24 T19改编)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝，则a，b的夹角为________． 答案：　 解析：设a与b的夹角为θ.由题意得(3a－2b)2＝7，所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7.又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，所以|a||b|·cos θ＝，即cos θ＝.又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为. 7．(人教A版必修第二册P60 T8改编)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，当λ＝________时，a＋λb与a垂直． 答案：－1 考点 平面向量数量积的运算(自悟通) 1.已知平面向量a与b的夹角是60°，且|a|＝2，b＝(1，2)，则a·(2a－b)＝(　　) A．8＋2 B．4－ C．8－ D．4＋2 解析：由b＝(1，2)可得|b|＝.因为平面向量a与b的夹角是60°，且|a|＝2，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2|a|2－|a||b|cos 60°＝8－. 2．在△ABC中，⊥，且||＝||＝，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则·(＋)的值为(　　) A．0 B．－ C．－ D．2 解析：如图，以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(，0)，C(0，).∵M是BC的中点，∴M(，).∵O是线段AM的中点， ∴O(，)，∴＝(，－)，＝(－，)，＝(－，－)，∴＋＝(，)，∴·(＋)＝－×＋(－)×＝－. 3．已知向量a＝(2，1)，b＝(1＋m，4)，且满足a⊥b，则向量a＋b在向量a上的投影向量为(　　) A．(，) B．(，) C．(2，1) D．(1，2) 解析：因为a⊥b，所以a·b＝2(1＋m)＋4＝0，得m＝－3，所以b＝(－2，4)，a＋b＝(0，5)，所以向量a＋b在向量a上的投影向量为·＝·＝(2，1). 4．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________． 答案：－　 解析：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0⇒2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－. 求平面向量数量积的两种运算方法 考点 平面向量数量积的性质(精研通) 命题点1　求平面向量的模 【例1】(1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A． B．2 C．4 D．12 (2)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AB＝2，则|＋|＝(　　) A．2 B． C．4 D．2 解析：(1)因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，故|a＋2b|＝＝＝＝2. (2)以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 因为AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，M(2，1)，N(1，2)， 所以＝(2，1)，＝(－1，2)， 所以＋＝(1，3)， 因此，|＋|＝＝. 求平面向量模的两种方法 (1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算． (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 若向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：因为(a＋b)⊥a，|a|＝1，故(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0，a·b＝－a2＝－|a|2＝－1.又(2a＋b)⊥b，故(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝－2＋b2＝0，故b2＝2.故|b|＝. 命题点2　平面向量的夹角与垂直问题 【例2】(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (3)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹 角为60°，则实数λ的值是________． 解析：(1)由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B. (2)方法一(向量法＋坐标法)　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 方法二(坐标法)　因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. (3)由题意得cos 60°＝＝＝，解得λ＝. 求平面向量夹角的两种方法 定义法 当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得 坐标法 若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π] 1．已知单位向量a，b满足a⊥(a－2b)，则向量a，b的夹角为(　　) A．120° B．60° C．45° D．30° 解析：因为|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝a2－2|a||b|cos 〈a，b〉＝1－2cos 〈a，b〉＝0，所以cos 〈a，b〉＝.又0°≤〈a，b〉≤180°，所以向量a，b的夹角为60°. 2．已知||＝3，||＝2，＝(m－n)·＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为________. 答案：　 解析：由题意得＝＋＝(m－n)＋(2n－m)，·＝3×2×cos 60°＝3. 又因为⊥， 所以·＝[(m－n)＋(2n－m)]·(－)＝－(m－n)2＋(2m－3n)·＋(2n－m)2＝－9(m－n)＋3(2m－3n)＋4(2n－m)＝0， 整理得7m－8n＝0，故＝. 考点 平面向量数量积中的范围与最值问题(精研通) 【例3】(1)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是(　　) A．[0，1] B．[0，] C．[1，2] D．[－1，1] (2)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 解析：(1)如图所示． 考虑P是线段AB上的任意一点，＝＋，＝＋＝－，圆O的半径长为1，由于P是线段AB上的任意一点，则||∈[1，]，所以·＝(＋)·(－)＝2－2∈[0，1]. (2)如图，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)，所以·＝x2－3x＋y2－4y＝(x－)2＋(y－2)2－.又(x－)2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点(，2)距离的平方，圆心(0，0)到点(，2)的距离为，所以·∈[(－1)2－， (＋1)2－]，即·∈[－4，6]. 最值或范围问题的两种求解方法 已知e1，e2为单位向量，满足|e1－e2|＝|2e1－a|＝1，则|a－e2|的最小值为(　　) A．－1 B． C．－1 D． 解析：设＝e1，＝e2，则|e1－e2|＝|－|＝||＝1，所以△OAB为等边三角形，以O为原点建立如图所示的直角坐标系，则A(1，0)，B(，).设C(2，0)，a＝，则|2e1－a|＝|－|＝||＝1，所以M在以C为圆心，1为半径的圆上．因为|a－e2|＝|－|＝||，所以|a－e2|min＝||min＝|BC|－1＝－1. 考点 平面向量与其他知识的综合问题(精研通) 命题点1　平面向量与几何问题的综合 【例4】(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝______；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为________. 答案：　－　 解析：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E(，1)，所以＝(－，1)，＝(－1，0)，＝(0，1)，因为＝λ＋μ，所 以(－，1)＝λ(－1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B(1，0)，E(，1)可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a，3－3a)(≤a≤1)，则G(，)，所以＝(a，3－3a)，＝(，)，所以·＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝5(a－)2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. )2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. 平面向量与几何综合问题的求解方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析：由椭圆＋＝1可得点F(－1，0)，点O(0，0).设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.因为－2≤x≤2，所以当且仅当x＝2时，·取得最大值6. 命题点2　平面向量与三角函数的综合 【例5】(多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　) 平面向量与三角函数综合问题的解题思路 (1)若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，则运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 1．已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin (α＋)的值为(　　) A． B． C． D． 解析：∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，∴·＝(cos α－3)cos α＋sin α·(sin α－3)＝cos2α＋sin2α－3(cosα＋sin α)＝－1，∴sin α＋cos α＝，故sin (α＋)＝(sin α＋cos α)＝×＝. 2.如图，已知△OCB中，B，C关于点A对称，OD∶DB＝2∶1，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a和b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝， 由平行四边形法则，得＋＝2. ∴＝2－＝2a－b， ∴＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)∵∥，＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b， ∴＝，∴λ＝. $$