第6章 第2节 第❶课时 等差数列（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第六章 数 列 第二节　等差、等比数列 课标解读 1.通过生活中的实例，理解等差、等比数列的概念和通项公式的意义． 2．探索并掌握等差、等比数列的前n项和公式，理解等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题． 4．体会等差数列与一元一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系． 必备知识 基础落实 同一个常数 必备知识 基础落实 am＋(n－m)d 必备知识 基础落实 ap＋aq＝as＋at md 必备知识 基础落实 2 同一个常数 公比 ab 必备知识 基础落实 a1qn－1 必备知识 基础落实 amqn－m 必备知识 基础落实 qk qn 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　 　　) (2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　 　　) (3)等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数．(　　 　　) × × √ 必备知识 基础落实 (4)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　 　　) (5)任意两个实数都有等比中项．(　　 　　) × × × 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 BCD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（38） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：三个数a，A，b组成等差数列的充要条件是A＝_______，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)通项公式的推广：an＝____________(n，m∈N*). (3)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝________. 3．等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t(p，q，s，t∈N*)，则____________． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为___的等差数列． 知识点二　等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，通常用字母q表示．定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝____． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝________． (2)前n项和公式：Sn＝______________________________． 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝__________(n，m∈N*). (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…成等比数列，公比为____． (5)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，其公比为____． 已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. (1)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． (2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (3)数列{an}是等差数列(d≠0)⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0). (1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0； (2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如0，0，0，…. 在等比数列{an}中，若ak·al＝am·an(k，l，m，n∈N*)，则不一定有k＋l＝m＋n成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立． (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B，其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件． (2)在等比数列{an}中，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (6)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第二册P21例6改编)在等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于(　　) A．－18 B．27 C．18 D．－27 解析：S9＝＝＝＝27. 2．(北师大版选择性必修第二册P25 T3改编)已知a＝2＋，b＝2－，则a，b的等比中项为(　　) A． B．1 C．－1 D．±1 3．(湘教版选择性必修第一册P13 T4)已知等差数列{an}中，a6＝－24，a30＝－48，则首项a1＝________，公差d＝________． 答案：－19　－1 4．(苏教版选择性必修第一册P141 T5改编)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________． 答案：126 5．(人教A版选择性必修第二册P31 T3改编)在正项等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＝________，q＝________． 答案：2　3 6．(人教A版选择性必修第二册P31 T3改编)若正项等比数列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比q为________． 答案：3　 解析：因为{an}是正项等比数列，可得q>0，且a1a3＝a2＝(a2)2，解得a2＝1或a2＝0(舍去)，所以q3＝＝＝27，所以q＝3，所以该数列的公比q为3. 7．(苏教版选择性必修第一册P150例1改编)已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝________． 答案：32　 解析：因为q＝－2，S6＝21，所以S6＝＝＝21，解得a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32. 第❶课时　等差数列 考点 等差数列的基本运算(自悟通) 1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S10，得＝，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝＝－，所以a1＝a5－4d＝1－4×(－)＝，故选B. 2．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 解析：方法一　由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5.又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1.又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20. 方法二　设等差数列{an}的公差为d. 由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5.① 由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45.② 由①②可得a1＝2，d＝1， 所以S5＝5a1＋×d＝20. 3．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 答案：95　 解析：方法一(基本量法)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 方法二(利用下标和性质)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 4．已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数． (1)证明：设数列{an}的公差为d. 由 解得b1＝a1＝，所以原命题得证． (2)解：由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m， 亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10， 所以k＝2，3，4，…，10， 故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. 等差数列运算问题的解题策略 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想． 考点 等差数列的判定与证明(精研通) 【例1】已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*). (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). 当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5. 又2Sn＝a＋n－4， 两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a， 因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1. 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1. 而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾， 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1， 所以数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2. 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1. 而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾， 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1， 所以数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2. 1．若本例条件不变，且为等差数列，则非零常数λ的值为______． 答案：－5　 解析：由本例解析知an＝n＋2， 所以Sn＝＋n，设bn＝＝. 因为{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，解得λ＝－5或λ＝0(舍去)，经检验符合题意． 2．若本例条件变为“数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn－nan＝n”，判断{an}是不是等差数列，并说明理由． 解：{an}是等差数列．证明如下：因为2Sn－nan＝n，① 所以当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，② ①－②，得(2－n)an＋(n－1)an－1＝1， 所以(1－n)an＋1＋nan＝1， 所以(2－n)an＋(n－1)an－1＝(1－n)an＋1＋nan， 所以2an＝an－1＋an＋1(n≥2)， 所以数列{an}是等差数列． (1)证明数列是等差数列的主要方法 ①定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数； ②等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立． (2)判定一个数列是等差数列的常用结论 ①通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列； ②前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．问题的最终判定还是利用定义． 记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列． 证明：设等差数列{}的公差为d′，则d′＝－＝－＝－＝， ∴＝＋(n－1)d′＝＋(n－1)＝n， ∴Sn＝n2a1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1. ∴an－an－1＝(2n－1)a1－[2(n－1)－1]a1＝2a1， ∴数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列． 考点 等差数列性质的应用(精研通) 【例2】(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12(n≥5，n∈N*)，Sn＝17，则n的值为(　　) A．8 B．11 C．13 D．17 (2)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A.3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 解析：(1)S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3.① 因为Sn－4＝12，Sn＝17， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＝17－12＝5.② ①＋②，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＝8，由等差数列的性质可知，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，所以a1＋an＝2.又因为Sn＝＝17，所以n＝17. (2)由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝ ＝3 402. 利用等差数列的性质求解问题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列． 考点 等差数列前n项和的最值问题(精研通) 【例3】(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是(　　) A．a1＝22 B．d＝－2 C．当n＝10或n＝11时，Sn取得最大值 D．当Sn>0时，n的最大值为20 解析：因为S6＝90，所以6a1＋d＝90，即2a1＋5d＝30.① 因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，所以(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)，即a1＝－10d.② 由①②解得a1＝20，d＝－2，故A错误，B正确．所以Sn＝20n＋×(－2)＝－n2＋21n＝－(n－)2＋.又n∈N*，所以当n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，故C正确．令Sn＝－n2＋21n>0，解 得0<n<21.又n∈N*，所以n的最大值为20，故D正确． 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． 1．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a14|，且公差d<0，则其前n项和取得最大值时n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：由等差数列的公差d<0，|a5|＝|a14|知，a5＋a14＝0，所以a9＋a10＝0，故a9>0，a10<0，则数列{an}的前n项和取得最大值时n的值为9. 2．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析：∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．∵<－1，∴a8<0，a9>0，a8＋a9>0，则由等差数列的性质知a1＋a15＝2a8<0，a1＋a16＝a8＋a9>0.∵Sn＝，∴S15<0，S16>0，∴当Sn>0时，n的最小值为16. $$