第3章 第2节 第❷课时 函数的极值、最值与导数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第三章　导数及其应用 第二节　导数及简单应用 BD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 CD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 AD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（20） 温馨提示 谢谢观看！ 第❷课时　函数的极值、最值与导数 考点 已知图象判断函数的极值、最值(自悟通) 1．(多选)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)有极大值f(2) B．函数f(x)有极大值f(－2) C．函数f(x)有极小值f(－2) D．函数f(x)有极小值f(2) 解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是(　　) A．f(x)在[－2，－1]上是增函数 B．当x＝3时，f(x)取得最小值 C．当x＝－1时，f(x)取得极小值 D．f(x)在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 解析：根据题图知，当x∈(－2，－1)，x∈(2，4)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－1，2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．故A错误，D正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，故C正确；当x＝3时，f(x)不取得最小值，故B错误． 导函数图象的应用策略 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值． 考点 求简单函数的极值、最值(自悟通) 1.已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为(　　) A．2e－1 B．－ C．1 D．2ln 2 解析：由题意知，f′(x)＝－(x>0)，令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)－，∴f′(e)＝，∴f′(x)＝－.令f′(x)＝0，得x＝2e.当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0；当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0.∴f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减．∴f(x)在x＝2e处取极大值f(2e)＝2ln (2e)－2＝2ln 2. 2．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a>1时，f(x)有三个零点 B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 解析：由题可知，f′(x)＝6x(x－a). 对于A选项，当a>1时，由f′(x)<0得0<x<a，由f′(x)>0得x<0或x>a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，A正确； 对于B选项，当a<0时，由f′(x)<0得a<x<0，由f′(x)>0得x>0或x<a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，B错误； 对于C选项，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，故曲线y＝f(x)必不存在对称轴，C错误； 对于D选项，方法一(配方、平移)　f(x)＝2x3－3ax2＋1＝2(x－)3－a2(x－)＋1－，令t＝x－，则f(x)可转化为g(t)＝2t3－a2t＋1－，由y＝2t3－a2t为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g(t)的图象关于点(0，1－)对称，则f(x)的图象关于点(，1－)对称，故存在a＝2，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选AD. 方法二(二级结论)　任意三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象均关于点(－，f(－))成中心对称，D正确．故选AD. 3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是________． 答案：－37　 解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴此函数在[－2，2]上的最小值为－37. 4．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________. 答案：1　 减，所以f(x)min＝f()＝－2ln ＝2ln 2＞1.所以f(x)的最小值为1. 解析：当x＞时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－＝.令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得＜x＜1.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1.当0＜x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，f′(x)＝－2－＝＜0，所以f(x)在(0，]上单调递减，所以f(x)min＝f()＝－2ln ＝2ln 2＞1.所以f(x)的最小值为1. 1.求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检验在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(或递减)，则f(a)为最小(大)值，f(b)为最大(小)值． (2)若函数f(x)在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在(a，b)内的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． 提醒：函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 考点 已知函数解析式求函数极值问题(精研通) 【例1】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ln 2－1 ↘ 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈(0，)时，f′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，故函数在x＝处有极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数f(x)有一个极大值点，且为x＝. 求解函数极值的两个注意点 (1)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，讨论根的大小． (2)对于涉及极值点的不等式证明问题，一般要进一步构造函数并借助导数研究函数的单调性，进而借助不等式解决． 考点 已知函数解析式求函数最值问题(精研通) 【例2】已知函数f(x)＝. (1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝＝. 当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4， 故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，即y＝－4x＋5. (2)f′(x)＝＝. 若函数f(x)在x＝－1处取得极值，则f′(－1)＝＝0，解得a＝4. 经检验，当a＝4时，f(x)在x＝－1处取得极大值，符合题意．此时f(x)＝，函数定义域为R， f′(x)＝， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4. f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： (2)f′(x)＝＝. 若函数f(x)在x＝－1处取得极值，则f′(－1)＝＝0，解得a＝4. 经检验，当a＝4时，f(x)在x＝－1处取得极大值，符合题意．此时f(x)＝，函数定义域为R， f′(x)＝， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4. f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： f′(x)＝， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4. f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4). 极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－. 又当x＜时，f(x)＞0，当x＞时，f(x)＜0， 所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，最小值为f(4)＝－. 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 设函数f(x)＝x2＋cos2x. (1)求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)求函数f(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值． 解：(1)由题意，函数f(x)＝x2＋cos2x，则f′(x)＝2x－2sinx cos x＝2x－sin 2x，可得f′()＝π，f()＝， 所以曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线方程为y－＝π(x－)，即y＝πx－，可得直线y＝πx－在x轴、y轴上的截距分别为，－， 所以所求三角形的面积为××＝. (2)令g(x)＝f′(x)＝2x－sin 2x，则g′(x)＝2－2cos 2x＝2(1－cos 2x)≥0， 所以函数f′(x)为增函数． 又因为f′(0)＝0，所以当x∈[0，π]时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在[0，π]上单调递增，所以函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为f(π)＝π2＋1，最小值为f(0)＝1. 即函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为π2＋1，最小值为1. 所以所求三角形的面积为××＝. (2)令g(x)＝f′(x)＝2x－sin 2x，则g′(x)＝2－2cos 2x＝2(1－cos 2x)≥0， 所以函数f′(x)为增函数． 又因为f′(0)＝0，所以当x∈[0，π]时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在[0，π]上单调递增，所以函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为f(π)＝π2＋1，最小值为f(0)＝1. 即函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为π2＋1，最小值为1. 考点 由函数的最值(极值)求参数问题(精研通) 【例3】(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1， 则f′(1)＝e－1. f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. (2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值； 当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a，由f′(x)<0，得x<ln a， 所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－a ln a－a3. 由题意知a－a ln a－a3<0(a>0)，等价于1－ln a－a2<0(a>0). 方法一(导数法)　令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g′(a)＝－－2a＝<0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0；当a>1时，g(a)<0. 故实数a的取值范围为(1，＋∞). 方法二(图象法)　由1－ln a－a2<0(a>0)，得ln a>－a2＋1(a>0). 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间(0，＋∞)上的大致图象， 所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－a ln a－a3. 由题意知a－a ln a－a3<0(a>0)，等价于1－ln a－a2<0(a>0). 方法一(导数法)　令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g′(a)＝－－2a＝<0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0；当a>1时，g(a)<0. 故实数a的取值范围为(1，＋∞). 方法二(图象法)　由1－ln a－a2<0(a>0)，得ln a>－a2＋1(a>0). 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间(0，＋∞)上的大致图象， 故实数a的取值范围为(1，＋∞). 方法二(图象法)　由1－ln a－a2<0(a>0)，得ln a>－a2＋1(a>0). 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间(0，＋∞)上的大致图象， 由图易知当a>1时，ln a>－a2＋1，即1－ln a－a2<0. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 已知函数f(x)＝(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f′(x)＝＝. 令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c. 因为ex>0，所以f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同． 又a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有 解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝. 由(1)可知当x＝0时f(x)取得极大值f(0)＝5， 故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值为f(－5)和f(0)中的最大者． 而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)， 所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5. 又a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有 解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝. 由(1)可知当x＝0时f(x)取得极大值f(0)＝5， 故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值为f(－5)和f(0)中的最大者． 而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)， 所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5. $$