第2章 第3节 二次函数与幂函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第二章　函　数 第三节　二次函数与幂函数 必备知识 基础落实 y＝xα x α 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 单调递增 单调递减 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 × × × 必备知识 基础落实 √ × 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ACD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 AD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 AC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（11） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况． 3．掌握二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 知识点一　幂函数 1．定义：一般地，函数________叫做幂函数，其中__是自变量，__是常数． 2．常见的五种幂函数的图象 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义． (2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上________． (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上________． 对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，自变量满足x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处). 知识点二　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在________上单调递减，在______________上单调递增 在______________上单调递增，在______________上单调递减 最值 当x＝－时，ymin＝__ 当x＝－时，ymax＝__ (－∞，－] [－，＋∞) a>0 a<0 单调性 在_____________上单调递减， 在______________上单调递增 在_____________上单调递增， 在______________上单调递减 最值 当x＝－时，ymin＝_______ 当x＝－时，ymax＝_________ (－∞，－] [－，＋∞) (1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) 　(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　 　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　 　　) (3)函数y＝2x是幂函数．(　　 　　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　　　) (5)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P91 T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 2．(北师大版必修第一册P64 T2改编)已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则m的取值范围是________． 答案：[4，＋∞) 3．(人教A版必修第一册P91 T2改编)()与()的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：()<() 4．(人教A版必修第一册P91 T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：c<b<a　 解析：由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 考点 幂函数的图象与性质(自悟通) 1.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移1个单位长度得到的(如选项A中的图象所示).将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B. 2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析：因为幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上单调递减，所以所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n的值为1. 3．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(　　) A．函数f(x)在定义域内为增函数 B．函数f(x)为偶函数 C.当x>1时，f(x)>1 D．当0<x1<x2时，<f() 解析：由题意得4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x＝，∴函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)＝>1，故C正确；由函数图象知f(x)＝为“上凸函数”，故D正确． 4．若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是____________. 答案：(－∞，－1)∪(，)　 解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于或或解得<a<或a<－1. 幂函数图象与性质的应用 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 考点 求二次函数的解析式(自悟通) 1.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，且∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________． 答案：x2－2x＋3　 解析：由f(0)＝3，得c＝3.∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3. 2．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝____________. 答案：x2＋2x　 解析：方法一　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. 方法二　由二次函数f(x)与x轴交于(0，0)，(－2，0)，知f(x)的图象关于直线x＝－1对称． 设f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x. 求二次函数解析式的方法 (1)已知三点坐标宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值宜选用顶点式； (3)已知与x轴的两交点坐标宜选用零点式． 考点 二次函数的图象与应用(精研通) 【例1】(1)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(－x)的图象为(　　) (2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 解析：(1)因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0). (2)因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故A正确；二次函数的图象的对称轴为x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，故B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，故C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，故D正确． 1.解决二次函数图象问题的基本方法 (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点； (2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 2．分析二次函数图象问题的要点 一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． (多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)＜0 C．f(－2－m)＞0 D．f(－2－m)＜0 解析：因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a＞0， 所以f(x)的大致图象如图所示． 由f(m)＜0，得－1＜m＜0， 所以m＋1＞0，0<－m<1，所以－2<－2－m<－1， 所以f(m＋1)＞f(0)＞0，f(－2－m)＞0. 考点 二次函数的性质及应用(精研通) 【例2】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则(　　) A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4) C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1) (2)已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.[－3，0) B．(－∞，－3] C．[－2，0] D．[－3，0] 解析：(1)∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴函数图象关于直线x＝2对称，由a>0知f(x)min＝f(2)，由2－1<4－2，得f(1)<f(4).故f(2)<f(1)<f(4). (2)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)图象的对称轴为x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知，解得－3≤a＜0. 综上，a的取值范围为[－3，0]. 若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________. 答案：－3　 解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.又＝－1，所以a＝－3. 解决二次函数图象与性质问题的2个注意点 (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在相关区间上的单调性或图象求解． 考点 二次函数的最值问题(精研通) 【例3】已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； ③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1) ③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1) ＝1－a＝4，解得a＝－3. 综上可知，a的值为或－3. 求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值． 解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a. 当－a＜，即a＞－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5； 当－a≥，即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a. 综上，f(x)max＝ 综上，f(x)max＝ 二次函数的最值问题的类型 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 1．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 解析：由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤ .又t≥1，∴1≤t≤ . 2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[0，1]. (1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)的最小值是－3，求实数a的值． 解：(1)f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2－a2＋1，对称轴为x＝a， 当a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)min＝f(0)＝1； 当0<a<1时，f(x)在[0，a]上单调递减，在(a，1]上单调递增，则f(x)min＝f(a)＝1－a2； 当a≥1时，f(x)在[0，1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝2－2a. 综上所述，当a≤0时，f(x)min＝1；当0<a<1时，f(x)min＝1－a2；当a≥1时，f(x)min＝2－2a. (2)∵f(x)的最小值是－3， ∴由(1)得，a>0，且或解得a＝. (2)∵f(x)的最小值是－3， ∴由(1)得，a>0，且或解得a＝. $$