第2章 第2节 第❸课时 函数性质的综合问题（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第二章　函　数 第❸课时　函数性质的 综合问题 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 BC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 ACD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（10） 温馨提示 谢谢观看！ 考点 函数的奇偶性与单调性的综合(精研通) 【例1】定义在R上的偶函数f(x)满足：在x∈[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)<f(1)的x的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，1) 解析：因为f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以不等式f(2x－1)<f(1)可整理为|2x－1|>1，解得x<0或x>1. 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． (2)抽象不等式问题，解题步骤是：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1). 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0，得x＞3.又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). 考点 函数的奇偶性与周期性的综合(精研通) 【例2】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则f()＝(　　) A.－ B．－ C． D． (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：(1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f()＝f(－8)＝f(－).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－)＝－f()＝－[－()2]＝，所以f()＝. (2)由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(1)＝f(5)＝a2－2a－4.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3. 函数奇偶性与周期性的综合问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解． (多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x－1)为奇函数 D．函数f(x－3)为偶函数 解析：∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x).∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可知A错误，B正确．令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1).在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故C正确．由题 意不妨取满足条件的函数f(x)＝cos x，则f(x－3)＝cos [(x－3)]＝cos (x－)＝－sin x为奇函数，故D错误． 考点 函数的奇偶性、周期性、对称性的综合(精研通) 【例3】(1)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 (2)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：(1)由题意可知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.可得h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选D. (2)因为f(x＋1)是奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(1)＝0. 因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，周期为4， 所以f(0)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1)， 即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6， 代入可得解得 故当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2， 因此f()＝f()＝－f()＝－(－2×＋2)＝. 代入可得解得 故当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2， 因此f()＝f()＝－f()＝－(－2×＋2)＝. 对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 1．(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3).若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　 　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(100)＝9 解析：f(x)的图象关于直线x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，由T＝6，得f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)的图象关于直线x＝－3对称且T＝6，∴f(x)的图象关于直线x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确． 2．已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(1)＝0，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x).若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：f(x)是定义域为R的偶函数，可得f(－x)＝f(x).若g(x＋1)是偶函数，则g(－x＋1)＝g(x＋1)，即－xf(－x＋1)＝xf(x＋1)，即有f(x＋1)＝－f(1－x)，即有f(2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的周期函数， 则g(－0.5)＝－1.5f(－0.5)＝1.5f(1.5)＝1.5f(5.5)＝1.5×2＝3. $$