贵州省黔东南州2025届高三上学期8月开学考试数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若复数z=2十i,则z= A.-2+i B.2-i C.-2-i D.1+2i 2.已知集合A={x|1og2x<2},B={-1,1,3,5},则A∩B= A.{1} B.{3} C.{1,3) D.{1,3,5} 3.函数f(x)=sinx十tanx的最小正周期为 A.2π B.元 C.2 D.1 4.已知a=30.2,b=2-a,c=1一a,则 A.a<c<6 B.b<c<a C.c<a<6 D.c<b<a 5.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,且AB=1,BC=√3，DC=2. 将直角梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为 A.2√6π+5π B.√3π+5x C.11π D.6V3π+5π 6.已知∈(0，x),且cos(a+于)=3，则cos2a= A智 B土4② 9 cg D士好 7.已知点P(0,一1)关于直线x一y十1=0对称的点Q在圆C:x2+y2十mx十4=0上，则m= A.4 R号 C.-4 D-是 8.已知函数f(x)=lnx-(a+1)x十1，g(x)=a(x2+1).当x≥1时，2f(x)+g(x)≥0恒成立， 则a的取值范围为 A.(0,1) B.(1,+∞) C(0,1] D.[1,+∞) 【高三数学第1页（共4页）】 ·25-15C. ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9若随机变量X~86,p,且P(X=3)=是，则 A=司 B.E(X)=2 C.E(2X+1)=7 D.D(X)=3 10.已知MD0,椭圆G:赢+y=1,C:荒+y-1的离心率分别为，.若e=5a,则M 的值可能为 A号 B1+2 3 c2-1 3 D君 11.如图，平行六面体ABCD-A1B1CD1的所有棱长均为2，AB,AD,AA1两两所成夹角均为 60°，点E,F分别在棱BB1,DD1上，且BE=2B1E,D1F=2DF,则 A.A,E,C,F四点共面 B.AA在AC方向上的投影向量为}Ad C.1E=0 3 D直线AC与EF所成角的余弦值为否 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量m=(2,x),n=(4,x十3)，若m∥n,则x=▲ 13.(1+2x)(x一1)1的展开式中x3的系数为▲· 14.对于任意的x,y∈R,函数f(x)满足f(x十y)十f(x一y)=2f(x)f(y),函数g(x)满足 g(x十y)=g(x)g(y).若f(2)=-1,g(3)=8,则g(f(2024)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2+ab=c2. (1)求A的取值范围； (2)若f(x)=√3sinx+cosx,且f(A)=√2f(C),求B的值. 【高三数学第2页（共4页）】 ·25-15C· ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣4 16.(15) 已苻函数(r)一.a十Cr在一2处收得极人仙10， (1)求()的解析式1 (2)求经过坐标原点与曲线y一(x)相切的切线力得。 17.(15分) 如图，在四面体ABCD中，DA=DB=DC=2.若从直线DA,DB,DC,BC中任选阴条，则它 们互相垂立的概率为2 (1)证明：AD⊥平面BCD (2)若四面体ABCD的体积为2，且BC≠BD,求直线AB与平面ADC所成角的正弦值 3 【高三数学第？页（共4页）】 ·25-15C. ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(17分) 已知双曲线C:苦-斧-1a>0,6>0)的-个焦点与抛物线C:x=8y的焦点F重合，且 G被G的准线1殺得的弦长为， (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C1的上支交于A,B两点，设O为坐标原点，求|OA+OB的取值范围. 19.(17分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,若存在正整数k,使得对任意正整数n,均有ka1十a2十… 十k'am>2Sn,则称{an}为“k型”数列. (1)若an=c>0,且{an}为“k型”数列，求k的最小值； (2)若{an}为“3型”数列，且a∈{0,1}(i=1,2,…,n),设Sn的所有可能值个数为T(n),证 明：2<1 【高三数学第4页（共4页）】 ,25-15C· ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效可 高三数学试卷参考答案 1.B因为之=2+i,所以x=2-i, 2.C因为A={x|1og2x<2}=(0,4),所以A∩B={1,3}. 3.A因为函数y=sinx与y=tanx的最小正周期分别为2π，π，所以f(x)的最小正周期为2π. 4.D因为a=3.2>1,所以0<2-a<1,1-a<0,故c<b<a. 5.C由题可知，该旋转体为上底面半径n1=1,下底面半径r2=2,母线长l=2的圆台，则该圆 台的表面积S=x(r月十r号十r1l十r2l)=11π. 6.A因为a∈(0，)，os(a+平）=号>0，所以a+平∈（至，），则sin(a+平）= √1-cos2(a+晋)-2g2,则cos2a=cos[2(e+）-受]=sin2(a+)=2sin(e+)· os(a+)=42, (b+1=一1， a-0 7.B设Q(a,b),则 解得a=-2,b=1.因为Q在C上，所以4+1-2m十4 a+0_b1+1=0, 、22 -0,解得m=号 8.D令h(x=2f+g(x)=2nx-2(a+1x+ar2+a+2(x≥1)，则'(x)=2-2a+1) +2ax=2-1)a-D.若a≤0，则W(ax)<0在[1，十o)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上 单调递减，则h(x)≤h(1)=0,不符合题意.若0<a<1,则当x∈(1，)时，h'(x)<0,h(x) 单调递减，则h(x)≤h(1)=0,不符合题意.若a≥1，则h(x)≥0在[1，十∞)上恒成立，则 h(x)在[1，+∞)上单调递增，即h(x)≥h(1)=0,符合题意.故a的取值范围为[1，+∞). 9.AC因为X~B(6,p),所以P(X=3)=Cp(1-p)=吾，整理得p(1-p)=子，解得 p=,则EX)=6×分=3，E2X+1)=2E(X)+1=7,D(X)=6×号×号-是. 10AB若MD1,则=，=M,则3=3M3,解得M=若号<M<1,则 3M f=,=1-M.则3=3-3M,解得M=12或M-1与2（会去）.若0<M< 3 号，则G=1-3M,号=1-M,则1-3M=3-3M,方程无解. 【高三数学·参考答案第1页（共5页）】 ·25-15C· ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 11.ABD连接AE,CF(图略)，因为BE=2B1E,D1F=2DF,所以易得△ABE≌△CDF,从 而AE∥CF,则A,E,C1,F四点共面，A正确.AC=A店+AD+AAi,则AC2=AB+AD +AA2+2A店.Aò+2A店.AA+2A市.AA=24,则1AC1=26.AA:AC. ACI AC-A不·AB+AM,:A+A)AC=号AC,B正确，萨=A-花=市+ IACI 24 }DD,-A-号B丽，=-A+A市-}AA,E=A+A亦+}AA-2A店.Aò+ 号店.-号心·AA=9,则1萨1=2，C不正确 AC·EF ACIEFI +亦+AA)(-+亦号A)）-A恋+亦-3M-号恋.AA+号ò.A 8v15 815 3 3 S得DD 815 3 12.3因为m∥n,所以2(x+3)-4x=0,解得x=3. 13.8(1+2x)(x一1)4的展开式中x3的系数为(-1)1C+2×(-1)2C=8. 14.2令y=0,得2f(x)=2f(0)f(x),则f(0)=1或f(x)=0(舍去).令x=y=1,得f(2)+ f(0)=2[f(1)]=0,则f(1)=0,则f(x+1)+f(x一1)=0，则f(x+4)=f(x),则 f(2024)=f(0)=1.因为g(x+y)=g(x)g(y),所以g(3)=g(2)g(1)=[g(1)]3=8,则 g(1)=2,从而g(f(2024)=g(1)=2. 15.解：1)由余弦定理可知c0sC=2+-C=2山=一 2ab 2ab 2分 因为C∈(0，π)，所以C= 3 4分 则A的取值范围为(0，) 6分 (2)f(z)=3sin x+cos z=2sin() …8分 由f(A)=√2f(C), 得sin(A+晋）-isim(c+)=Esin(g+）=受， g。e..e .. 10分 由(1)可知A∈(o,),所以A+∈(，）)， …11分 则A十晋=平，解得A=登… 12分 【高三数学·参考答案第2页（共5页）】 ·25-15C· ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 则B=x一A-C=平 …13分 16.解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x), 1分 即-a.x3十bz2-cx=一ax3-bx2-cx,则b=0,…2分 从而f(x)=a.x3+Cx,f(x）=3a.x2十C.…3分 f(2)=12a+c=0, 因为f(x)在x=2处取得极大值16，所以 …4分 f(2)=8a+2c=16, 解得 a=-1, …… 5分 c=12, 经检验知此时f(x)在x=2处取得极大值，… 6分 故f(x)=-x3十12x.… …7分 (2)由(1)可设切点坐标为(x0,一x8+12x0),则f(0)=一3x+12,…8分 切线方程为y十x8-12x0=(-3x十12)(x一x0).…10分 因为切线经过坐标原点，所以28一12x0=3x8一120，…12分 獬得x0=0,…13分 故经过坐标原点并与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=12x.…15分 17.（1)证明：从直线DA,DB,DC,BC中任选两条，不同的选法共有C号=6种，…1分 因为它们互相垂直的概率为2，所以互相垂直的直线有3对. 2分 又DB=DC,所以BC与BD,CD均不垂直.…3分 若DB⊥DC,则AD恰与BC,BD,CD的其中两条垂直，…4分 不妨设AD⊥BD,AD⊥CD,则AD⊥平面BCD,则AD⊥BC,不符合题意.…5分 若DB与DC不垂直，则AD⊥BC,AD⊥BD,AD⊥CD, 则AD⊥平面BCD,符合题意，故AD⊥平面BCD.…7分 3 sin a=213 (2)解：设∠BDC=e,则Va=号Sam·AD= 3 8分 解得sin。-号，则a=吾或。=经 3· …9分 若a=号，则△BCD为正三角形，则BC=BD,不符合题意 .…10分 若a-,则BC≠BD,符合题意.如图，过点B作BHLCD,垂足为H H/D 因为AD⊥平面BCD,BHC平面BCD,所以AD⊥BH,所以BH⊥平 面ADC. 连接AH,则∠BAH为直线AB与平面ADC所成的角. ..................... 12分 BH=DB·sina=√3，AB=√DA2+DB2=2√2，… …13分 【高三数学·参考答案第3页（共5页）】 ·25-15C· ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣8 则sin∠BAH=Bg=E=E AB2√2 14分 4 故直线AB与平面ADC所成角的正弦值为Y5, 15分 18.獬：()由题可知，F的坐标为(0,2)，…1分 则a2+b2=4. 2分 易知l的方程为y=一2，不妨设l与C1相交于点M(一m,一2)，N(m,一2)， 则是一罕=1，整理得m=6(停一1)=总， …3分 则MN=21ml=2=23 3 4分 可得a3, 5分 b=1, 故C的方程为芳二x2=1… 6分 (2)由题可知，直线AB的斜率一定存在，…。 …7分 设lB:y=kx十2，A(1,y),B(2y2),则OA=(x1,y),OB=(22). (y=kx+2, 联立方程组 {3-x2=1, 整理得(k2-3)x2+十4kx十1=0， 8分 一4k 1 则2十22=23212=2—3' 9分 -12 y十2=k(x1十x2)+4=23 10分 由A,B在x轴的上方，可得0≤k2<3. 11分 O+O成=(+2，y+),则1Oi+O|=√a+22)2++2)=4√-3) k2+9 12 1 4V(2-3)2+-3 13分 由0<3，得g己3≤-3， …14分 1 则423十记之4，ao…16分 故|OA十OB的取值范围为[4，十o∞.…17分 19.(1)解：因为an=c>0,所以Sm=an=nc>0. …1分 又{an}为“k型”数列，所以对任意正整数n,均有ka1十k2a2十…十k"am>2Sn,…2分 即k十k2十…十k”>2n.…3分 当n=1时，k>2.…4分 【高三数学·参考答案第4页（共5页）】 ·25-15C· ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 因为k∈N",所以当k=3时，k十k2+…十k">2+22+…+2"≥2+2十…+2=2n,…5分 从而3a1十32a2十…十3"am>2Sm,即{an}为“3型”数列.…6分 故k的最小值为3。…7分 (2)证明：由题意可知3a1十32a2十…十3”am>2Sn,…8分 因为a,∈{0,1}(i=1,2,…,n),令n=1,则3a1>2a1,所以a1=1,…9分 所以{an}中至少有一项为1.设{an}的前n项中有m(1≤m≤n)项为1，其余项为0，则Sn= mX1十(n-m）X0=m.…10分 不妨设a,a2,…,an=1(1=i<i2<<im≤n),则i=1,i2≥2，…，im-1≥n-1,im≥m, …12分 从而3十32十…十3m≥31十32十…十3"，…13分 因为31十32a2十…十3"an=31+3+…十3m,…14分 所以3a1+32a2十…十3"am≥31+32+…+3m≥3m>2m=2Sn, 则对任意m(1≤m≤n),均有{an》}为“3型”数列，…15分 故Sn的所有可能值个数为n,即T(n)=n,…16分 1=1 从而艺T2）名2 1-点) =1一 1 2%<1,证毕.…17分 【高三数学·参考答案第5页（共5页）】 ·25-15C· ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣