第4章 第6节 第❶课时 利用正弦定理、余弦定理解三角形（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第六节　正弦定理、余弦定理及其实际应用 课标解读 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 知识点一　正弦定理、余弦定理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 2.三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高). (2)S＝bc sin A＝ac_sin_B＝ab_sin_C． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径). 知识点二　正弦定理、余弦定理的实际应用测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 在△ABC中，常用以下结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中，大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) 　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　×　　) (2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　×　　) (3)在△ABC中，＝.(　　√　　) (4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第二册P44例6改编)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c＝(　　) A． B．2 C． D．3 B　解析：由余弦定理得cos B＝，即－＝，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值已舍去). 2．(人教B版必修第四册P11练习B T2改编)在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° A　解析：由正弦定理得＝，解得sin A＝.因为a＜b，所以A为锐角，所以A＝30°. 3．(人教A版必修第二册P44 T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－.因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝. 第❶课时　利用正弦定理、余弦定理解三角形 考点 正弦定理、余弦定理的简单应用(自悟通) 1．(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由正弦定理得sin A sin C＝sin2B，因为B＝，所以sinA sin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin A sin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝sin A sin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2B＋sinA sin C＝sin2A＋sin2C，则B＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为sin2B＋sinA sin C＝sin2A＋sin2C，所以由正弦定理得b2＋ac＝a2＋c2，即a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝.因为0<B<π，所以B＝. 3. △ABC中，三边之比a∶b∶c＝6∶7∶8，则＝(　　) A．－4 B．4 C．－ D． C　解析：因为a∶b∶c＝6∶7∶8，不妨设a＝6k，b＝7k，c＝8k(k>0)，则cos C＝＝＝，由正弦定理可得＝＝＝＝＝－. 应用正、余弦定理解三角形的技巧 (1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解． (3)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式时用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式时用正弦定理． 考点 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状(自悟通) 1．若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B cos C，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B　解析：由(a＋b＋c)(b＋c－a) ＝3bc，得(b＋c)2－a2＝3bc，化简得b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理得cos A＝＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝.因为sin A＝2sin B cos C，所以由正、余弦定理得a＝2b·，化简得b2＝c2，所以b＝c，故△ABC为等边三角形． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2＋＝，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 A　解析：∵sin2＋＝，∴＝－，∴cos A＝.由cos A＝＝，得b2＋c2－a2＝2b2，∴b2＋a2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. 1.判定三角形形状的途径 (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系． (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁． 2．解题注意点 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制． 考点 三角形的面积问题(精研通) 【例1】(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，∴C＝. ∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝，∴a＝c. ∴△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋，得c＝2. 求解与三角形面积有关的问题的步骤 　(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解： (1)如图，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，故BC＝. 方法一　由正弦定理＝， 得sin ∠ABC＝＝. 方法二　由余弦定理得cos ∠ABC＝＝＝， 所以sin ∠ABC＝＝. (2)方法一　由sin∠ABC＝，得tan ∠ABC＝. 又tan ∠ABC＝＝，所以DA＝， 故△ADC的面积为DA·AC·sin (120°－90°)＝××1×＝. 方法二　△ABC的面积为AC·AB·sin ∠BAC＝×1×2×＝， ＝＝＝， 故△ADC的面积为S△ABC＝×＝. 考点 平面图形中的计算问题(精研通) 【例2】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1. (1)若AB＝，求BC； (2)若AB＝2BC，求cos ∠BDC. 解：(1)如图，在△ABD中，由余弦定理可知， cos ∠ABD＝ ＝＝. ∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD， ∴cos ∠BDC＝cos ∠ABD＝. 在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos ∠BDC＝12＋12－2×1×1×＝， ∴BC＝. (2)设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.由余弦定理可知， cos ∠ABD＝ ＝＝x，① cos ∠BDC＝ ＝＝.② ∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD， ∴cos ∠BDC＝cos ∠ABD. 联立①②，可得＝x，整理得x2＋2x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝－－1(舍去). 将x1＝－1代入②，得cos ∠BDC＝－1. 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 　四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求角C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C，① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C.② 由①②，得cos C＝，故C＝60°，BD＝. (2)四边形ABCD的面积S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C＝(×1×2＋×3×2)·sin 60°＝2. [分级练(30)见P359] 学科网（北京）股份有限公司 $$