第1章 视野拓展1 三元基本不等式与柯西不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

视野拓展1　三元基本不等式与柯西不等式 拓展一：三元基本不等式的应用 (1)三元基本不等式 a3＋b3＋c3≥3abc(a>0，b>0，c>0)⇒当且仅当a＝b＝c时等号成立． (2)推广(n元基本不等式) ≥(a1，a2，…，an均为正实数)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立． 【练1】若n>0，则n＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　解析：∵n>0，∴n＋＝＋＋≥3＝6，当且仅当＝，即n＝4时等号成立，∴n＋的最小值为6. 【练2】设x，y，z是正实数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) B　解析：因为x，y，z是正实数，且x＋y＋z＝6，所以3≤x＋y＋z＝6，所以0<xyz≤8，所以lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 8＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时等号成立． 拓展二：柯西不等式的应用 (1)柯西不等式的一般形式 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当＝＝…＝时等号成立． (2)柯西不等式二元式 形式一：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． 形式二：设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b)·(c＋ d)≥(＋)2，当且仅当＝时等号成立． 【练3】已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，则ax＋by的取值范围是(　　) A．[0，2] B．[－1，1] C．[－2，2] D．[0，1] B　解析：利用柯西不等式，得1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，当且仅当ay＝bx时等号成立，解得－1≤ax＋by≤1. 【练4】根据柯西不等式可知，函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为(　　) A．， B．， C．， D．， A　解析：由柯西不等式可知，(2＋)2≤(22＋12)[()2＋()2]＝5，所以2＋≤，当且仅当2＝，即x＝时等号成立，故函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为，. [分级练(4)见P301] 学科网（北京）股份有限公司 $$