第1章 视野拓展1 三元基本不等式与柯西不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

视野拓展1　三元基本不等式与柯西不等式

拓展一：三元基本不等式的应用

 (1)三元基本不等式

a3＋b3＋c3≥3abc(a>0，b>0，c>0)⇒当且仅当a＝b＝c时等号成立．

(2)推广(n元基本不等式)

≥(a1，a2，…，an均为正实数)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．

【练1】若n>0，则n＋的最小值为(　　)

A．2     B．4

C．6     D．8

C　解析：∵n>0，∴n＋＝＋＋≥3＝6，当且仅当＝，即n＝4时等号成立，∴n＋的最小值为6.

【练2】设x，y，z是正实数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　)

A．(－∞，lg 6]     B．(－∞，3lg 2]

C．[lg 6，＋∞)     D．[3lg 2，＋∞)

B　解析：因为x，y，z是正实数，且x＋y＋z＝6，所以3≤x＋y＋z＝6，所以0<xyz≤8，所以lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 8＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时等号成立．

拓展二：柯西不等式的应用

(1)柯西不等式的一般形式

(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当＝＝…＝时等号成立．

(2)柯西不等式二元式

形式一：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．