【第十七章 因式分解 02讲 用公式法分解因式】【四大知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十七章 因式分解 02讲 用公式法分解因式 题型归纳 【题型1. 公式法分解因式的判断】……………………………………………………… 3 【题型2. 平方差公式分解因式】………………………………………………………… 5 【题型3. 完全平方公式分解因式】……………………………………………………… 7 【题型4. 综合运用公式法分解因式】…………………………………………………… 8 【题型5. 十字相乘法】…………………………………………………………………… 10 【题型6. 因式分解的应用】……………………………………………………………… 12 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 17 知识清单 知识点1 平方差公式 1.公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 知识点2 完全平方公式 1.公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 知识点3 用公式法分解因式 1.步骤：先提出公因式，再用公式法. 2.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 1 2当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 3 12+13=5 = = 分解因式 1 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型专练 题型1. 公式法分解因式的判断 【例1】（2025·云南临沧·三模）如果多项式可以运用平方差公式分解因式，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键；利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.可以运用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； B. ，不能因式分解，故该选项不符合题意；     C. 可以运用完全平方公式分解因式，故该选项不符合题意； D. ，不能因式分解，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键． 【变式2】（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：①，能用完全平方公式分解，不符合题意； ②，不能用完全平方公式分解，符合题意； ③，不能用完全平方公式分解，符合题意； ④，不能用完全平方公式分解，符合题意； ⑤，不能用完全平方公式分解，符合题意． 综上，不能用完全平方公式分解的是②③④⑤，共4个 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型2. 平方差公式分解因式 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键． 利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、不能分解，故此选项错误； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【详解】本题考查完全平方公式分解因式．完全平方式的结构特征为：①有三项；②其中两项为平方项且符号相同；③第三项为两平方项底数乘积的2倍，符号不限．根据这些特征逐一分析选项即可． 【分析】解：A．：第一项为，第三项为，中间项应为，但实际中间项为，不符合完全平方公式； B．：仅有两项且均为负号，无法构成完全平方式的三项结构； C．：此为平方差形式，可用平方差公式分解，但不符合完全平方公式； D．：第一项为，第三项为，中间项为，与题目中的中间项一致，符号相同．因此可分解为，符合完全平方公式； 故选D． 用平方差公式分解因式： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 完全平方公式分解因式 【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先提公因式，再利用完全平方公式进一步分解即可． 【详解】解：， 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：C． 用完全平方公式分解因式： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 综合运用公式法分解因式 【例1】（2025·河南周口·二模）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 分解下列因式： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型5. 十字相乘法 【例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解，将多项式分解为两个一次因式的乘积，需找到两个数满足和为1（一次项系数）、积为（常数项），通过分析确定这两个数为4和，从而分解为． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】（2025·山东淄博·三模）因式分解：＝ ． 【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，需找到两个数满足乘积为常数项6，和为一次项系数即可． 【详解】解：将二次三项式 分解为 的形式，需满足： 且． ∴，且 ，符合条件． 因此，原式可分解为 ，对应选项B． 故选：B． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）因式分解： ． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（2025·四川绵阳·一模）因式分解： ． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式再进行十字相乘进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型6. 因式分解的应用 【例1】（2025·江苏泰州·二模）若代数式，，则P和Q的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题考查了因式分解的应用，作差法比较大小，先求出，然后根据非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河北保定·期中）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【分析】本题考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练应用平方差公式分解因式． 先根据平方差公式分解因式，再判断出的值总能被哪个数整除即可． 【详解】解：∵ ， ∴k为任意整数，的值总能被3整除． 故选：B． 【例3】（2025·河北邯郸·三模）两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置，再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2）．设图2中未重叠部分（空白）的面积为，两个小正方形未重叠的上半部分的面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，求的值． 【分析】本题考查了单项式与多形式的乘法，因式分解的应用，能够运用数形结合、恰当进行代数式的变形是解答本题的关键． （1）根据根据未重叠部分的两边长分别为a，可表示出，用重叠部分的总面积减去边长为b的正方形的面积可表示出； （2）先计算出，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可得，， （2）． ， ． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）计算下列各式的值，其中， (1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的应用是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用公式法因式分解得，再将，代入求解即可； （2）利用完全平方公式的变形得，再将，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 【变式3】（24-25八年级下·四川达州·期中）【阅读材料】 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 【解决问题】 (1)分解因式利用公式法：； (2)求多项式的最大值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后原式，因为，则，即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴ 多项式的最大值是； （3）解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解，根据因式分解的方法计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，选项因式分解错误，不符合题意； B. ，选项因式分解错误，不符合题意； C. ，选项因式分解正确，符合题意；     D. ，选项因式分解错误，不符合题意； 故选：C 3．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④不能分解因式； 其中含有因式的多项式为：①②③，共3个， 故选C． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：， ， ． 故只有乙的正确， 故选：D． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 6．（2025·河南商丘·二模）已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【详解】证明: ∵，， ∴． ∵，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， ∴四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是4的倍数，另一个是2的倍数；同时必有一个数是3的倍数，一个数是5的倍数（或含因数5）． ∴，恰好为四个连续正整数． ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，边长为的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（   ） A．60 B．30 C．24 D．15 【分析】本题考查代数式求值，涉及长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解等知识，先由题意得到，再将提公因式分解因式，将代入求解即可得到答案．熟记长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：边长为的长方形的周长为10，面积为6， ， ， 故选：B． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查代数式求值，涉及长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解等知识，先由题意得到，再将提公因式分解因式，将代入求解即可得到答案．熟记长方形周长公式、面积公式、提公因式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：边长为的长方形的周长为10，面积为6， ， ，故选：B． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 10．（22-23八年级下·四川达州·期末）若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：二次三项式可分解成即， ， 解得：，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 二、填空题 11．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）因式分解： ． 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法．先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解， 先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ， ． 【分析】本题考查完全平方公式的展开，根据对应项的系数相等是解题的关键． 把式子展开，根据对应项系数相等，得出的值． 【详解】， ， 故答案为： 14．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为 ． 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明； （2）（3）先运用完全平方公式将进行变形得到，再根据“完美数”的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴2是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）； （2）解： ， 为“完美数”， ， ． 故答案为：18． 15．（2025·福建福州·一模）若，则的值为 . 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 16．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 【分析】本题考查了因式分解的应用.根据十字相乘法，进行分类讨论，得出相应周长，即可解答． 【详解】解：当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 即或7时，这个长方形的周长最长为． 故答案为：13或7；． 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则代数式，的大小关系是 ． 【分析】此题考查了整式加减法和因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．把变形为，根据即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，由已知得，进而得，再代入代数式计算即可求解，熟练运用提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ， 故答案为：． 19．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 【分析】本题考查了因式分解的应用，一元二方程的求根公式． （1）根据，n为正整数，代入计算即可； （2）根据（ n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，n为正整数， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． ∵， ∴5是“智慧数”， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 综上所述，5是“智慧数”， （2）∵（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为， ∴， ∴， 利用求根公式得：或（舍）， ∴当为正奇数时，n为“智慧数”， ∵ ， ∴ ∵m为正奇数， ∴m为整数， ∴也必须为整数， 令， ∴， ∵， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴“智慧数”n的最大值为485． 故答案为：485． 20．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 三、解答题 21.因式分解 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级下·河北·期中）因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 【分析】本题考查因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式以及整理思想是解此题的关键． （1）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：依题意，将“”看成整体，令，                 则，         再将还原，得到原式． （2）解：依题意，将“”看成整体，令， 则．       再将还原，得到原式． 24．（24-25八年级下·河北张家口·期中）填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． (1)若在“□”内填入，分解因式：； (2)若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式等因式分解方法． （1）利用提公因式法对进行因式分解； （2）根据平方差公式的形式，确定“□”可填的整数，再分析填法数量并举例分解． 【详解】（1）解：； （2）解：“□”可以为、，共2种填法 如选择，分解为， 选择，分解为， 答：有2种填法（为、），举例分解如等． 25．（24-25八年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【分析】本题主要考查了完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． （1）利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； （2）利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】（1）解：淇淇的说法错误，理由如下， ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； （2）解： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 26．（24-25八年级下·陕西西安·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【分析】本题考查了利用全平方公式分解因式，解题关键是掌握利用全平方公式分解因式． （1）利用整体思想结合完全平方公式分解因式； （2）利用整体思想结合完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 为正整数， 为整数， 式子的值一定是某一个整数的平方． 27．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； （2）发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 28．（24-25八年级下·江西抚州·期末）阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ；     于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式、平方根，熟记完全平方公式，正确得出系数间的关系是解答的关键． （1）根据完全平方公式进行因式分解解答即可； （2）观察前几个多项式系数间的关系解答即可； （3）根据（2）中得出的系数关系得出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，，； （2）解： ；；，… ∴前几个多项式系数间的关系可得：， 故答案为： ； （3）多项式 是一个完全平方式， ， ， ， ， ． 29．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． (1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． (2)小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解，根据例题的方法求解是解题的关键； （1）根据例题的方法可得有一个因式是，进而设，展开，即可求解． （2）同（1）的方法求解，即可． 【详解】（1）解：∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， 故答案为：，． （2）解：分解因式的结果为，理由如下， ∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， ∴分解因式的结果为 30．（24-25七年级下·吉林长春·期中）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式；例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值．根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)当为何值时，多项式有最_____值（填“大”或者“小”），并求出这个最值． (3)已知，求的值． 【分析】本题考查完全平方式及其应用，因式分解，代数式求值，熟练理解题意并掌握完全平方式是解题的关键． （1）根据题干中方法利用配方法得，再因式分解即可； （2）根据题干中方法利用配方法得，则可得当时，有最大值； （3）根据题干中方法利用配方法将，变形为，再求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 可知当时，有最大值． （3）解：， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 因式分解 02讲 用公式法分解因式 题型归纳 【题型1. 公式法分解因式的判断】……………………………………………………… 3 【题型2. 平方差公式分解因式】………………………………………………………… 4 【题型3. 完全平方公式分解因式】……………………………………………………… 5 【题型4. 综合运用公式法分解因式】…………………………………………………… 5 【题型5. 十字相乘法】…………………………………………………………………… 6 【题型6. 因式分解的应用】……………………………………………………………… 7 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 9 知识清单 知识点1 平方差公式 1.公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 知识点2 完全平方公式 1.公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 知识点3 用公式法分解因式 1.步骤：先提出公因式，再用公式法. 2.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 1 2当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 3 12+13=5 = = 分解因式 1 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型专练 题型1. 公式法分解因式的判断 【例1】（2025·云南临沧·三模）如果多项式可以运用平方差公式分解因式，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2. 平方差公式分解因式 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 用平方差公式分解因式： 题型3. 完全平方公式分解因式 【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 用完全平方公式分解因式： 题型4. 综合运用公式法分解因式 【例1】（2025·河南周口·二模）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 分解下列因式： 题型5. 十字相乘法 【例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东淄博·三模）因式分解：＝ ． 【变式1】（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）因式分解： ． 【变式3】（2025·四川绵阳·一模）因式分解： ． 题型6. 因式分解的应用 【例1】（2025·江苏泰州·二模）若代数式，，则P和Q的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25八年级下·河北保定·期中）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【例3】（2025·河北邯郸·三模）两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置，再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2）．设图2中未重叠部分（空白）的面积为，两个小正方形未重叠的上半部分的面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【变式2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）计算下列各式的值，其中， (1) (2) 【变式3】（24-25八年级下·四川达州·期中）【阅读材料】 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 【解决问题】 (1)分解因式利用公式法：； (2)求多项式的最大值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 2．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 甲 乙 4．（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南商丘·二模）已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，边长为的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（   ） A．60 B．30 C．24 D．15 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 10．（22-23八年级下·四川达州·期末）若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 二、填空题 11．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）因式分解： ． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ， ． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为 ． 15．（2025·福建福州·一模）若，则的值为 . 16．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则代数式，的大小关系是 ． 18．（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 19．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 20．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 三、解答题 21.因式分解 22．（24-25七年级下·河北·期中）因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 23．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 24．（24-25八年级下·河北张家口·期中）填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． (1)若在“□”内填入，分解因式：； (2)若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 25．（24-25八年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 26．（24-25八年级下·陕西西安·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 27．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 28．（24-25八年级下·江西抚州·期末）阅读并完成下列问题： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；___________；___________． (2)观察以上三个多项式的系数： ；    ；     于是小聪猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：___________． (3)解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 29．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． (1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． (2)小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 30．（24-25七年级下·吉林长春·期中）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式；例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值．根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)当为何值时，多项式有最_____值（填“大”或者“小”），并求出这个最值． (3)已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$