【第十六章 整式的乘法 03讲 乘法公式】【三大知识点+七大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十六章 整式的乘法 03讲 乘法公式 题型归纳 【题型1. 运用平方差公式进行运算】…………………………………………………… 2 【题型2. 平方差公式的应用】…………………………………………………………… 4 【题型3. 运用完全平方公式进行运算】………………………………………………… 7 【题型4. 完全平方公式的应用】………………………………………………………… 10 【题型5. 完全平方公式中字母求参问题】……………………………………………… 15 【题型6. 乘法公式中的化简求值】……………………………………………………… 17 【题型7. 整式的混合运算】……………………………………………………………… 20 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 22 知识清单 知识点1 平方差公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【提示】 平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=－b的特殊情形. 知识点2 完全平方公式 1.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 【提示】 （a+b）2=a2+2ab+b2是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=b的特殊情形. 知识点3 添括号 1.方法：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 题型专练 题型1. 运用平方差公式进行运算 【例1】（23-24七年级下·北京·阶段练习） ． 【分析】本题主要考查平方差公式的性质及其应用，掌握平方差公式是解题的关键．由题意利用平方差公式：，进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）计算： ． 【分析】本题主要考查了平方差公式：， 根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中） ． 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的应用，解题关键是将转化为． 将转化为后可得原式为，即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2025九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【分析】本题考查平方差公式，直接开方法解方程．根据题意令，继而利用平方差公式求解即可． 【详解】解：令，则原方程可化为， 整理得：，解得：， ， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 平方差公式的应用 【例1】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图1，将长为，宽为的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2所示图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用数形结合思想分析是解题的关键．分别求出左右两边图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为， 右边图形中阴影部分的面积为， ∴验证了等式． 故答案为：B． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是 ． 【分析】本题考查几何图形的面积计算，用代数式表示所拼成的长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：拼成的长方形的长为，宽为a,所以面积为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式的应用，先求出剩余部分的面积，而拼成的长方形宽为2，利用长方形的面积公式即可求出长，即可作答． 【详解】解：依题意得，剩余部分面积为：， 而拼成的长方形宽为2， 则长是， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有，的式子表示）． 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用．将阴影部分看作长为，宽为的长方形． 【详解】解：阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 【分析】此题考查了本题考查了平方差公式的几何推导和应用. （1）根据题意得出阴影部分面积后整理可得； （2）根据矩形的面积公式计算即可； （3）根据阴影部分面积相同列等式即可； （4）根据平方差的公式进行分析计算即可． 【详解】（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积； 故答案为； （2）长方形的宽为，长为，面积=长×宽， 故答案为； （3）由（1）、（2）得到， 故答案为； （4）由（3）得到， ∴ = = =. 题型3. 运用完全平方公式进行运算 【例1】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）若，则 ． 【详解】本题主要考查了整式的化简求值，先利用完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项得到，再利用整体代入法求解即可． 【解答】解： ∵， ∴原式值为： 故答案为：6． 【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）已知，，则 ． 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，掌握是解题关键．将已知等作差，得到，再结合完全平方公式计算求值即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式  解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 完全平方公式的应用 【例1】（24-25七年级下·全国·期中）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查完全平方公式的变形，利用完全平方公式的变形式，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选B 【例2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）若，则的值为 ． 【分析】将和看作一个整体，利用完全平方公式变形计算即可． 本题考查了完全平方公式，解题的关键是利用整体的数学思想，灵活运用完全平方公式． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）（1）已知，，求，的值； （2）阅读材料： 若x满足，试求的值． 解：设，，则， 且． 因为， 所以， 即的值为508． 根据材料，请你解答下题： 若x满足，试求的值． 【分析】此题考查利用完全平方公式变形进行求值，解题的关键是能根据所给的材料找到解决问题的方法． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）设，，得到，，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∴ ∴； （2）设， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，有两个正方形A、B，边长分别为a和b，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．记图1、图2中阴影的面积分别为与，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式，图甲种阴影部分是一个长为，宽为的长方形，图2种阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去正方形A和正方形B的面积，据此分别表示出与，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图①，将甲、乙并列放置后得到图②，已知点H为的中点，连接，又知甲、乙两个正方形边长之和为12，图①的阴影部分面积为16，则图②的阴影部分面积为 ． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键． 设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b， 根据题意可得：， ， ， ， 是的中点， ， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）在数学学习中，通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，充分体现了数形结合的思想方法．如图，用图1三种不同大小的正方形与长方形若干个，可以拼成一个如图2所示的正方形． (1)观察猜想：观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积则可得，，之间的数量关系为：______； (2)理解运用：若，，根据（1）中得出的数量关系，求，的值； (3)拓展提升：若满足，求的值． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，正确识图是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于两个小正方形的面积之和，又等于大正方形的面积减去两个长方的面积，分别列出代数式即可求解； （2）利用（1）所得关系式计算即可求解； （3）设，可得，再根据（1）所得关系式计算即可求解 【详解】（1）解：由图2可得，阴影部分的面积等于两个小正方形的面积之和，即为； 阴影部分的面积也等于大正方形的面积减去两个长方的面积，即， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， 解得：， ， ， ， ． （3）解：设， ， 由（2）知，， ， ， 即． 题型5. 完全平方公式中字母求参问题 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若多项式是某一个关于x的一次二项式的完全平方，则k的值为（ ） A．6 B． C． D． 【分析】本题考查了完全平方式的意义，解题关键是掌握完全平方式． 根据完全平方式的意义求解． 【详解】解：∵多项式是某一个关于x的一次二项式的完全平方， ， ，即， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若多项式是一个完全平方式，则常数的值是 ． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的计算，根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解∶∵ 是一个完全平方式， ∴， ∴或， 故答案为∶5或． 【变式1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．或7 C．7 D．9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据，进行作答即可． 【详解】解：∵是关于x的完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若给多项式添加一项形成三项式且为完全平方式，则添加的一项是 ． 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：．根据，即可判断出添加的单项式． 【详解】解：①， 添加的单项式可以是． ②， 添加的单项式可以是． ③， 添加的单项式可以是． 故答案为：或或． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式是重要的数学公式之一，它在代数式的化简、运算、因式分解等方面广泛应用. (1)请用字母、表示完全平方公式：________； (2)填空：； (3)已知，，求的值. 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式应用． （1）直接用、表示出完全平方公式即可； （2）根据完全平方公式的展开式，推算出未知项； （3）利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ， 故答案为：，； （3）因为，， 所以 ． 题型6. 乘法公式中的化简求值 【例1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，求代数式的值，熟练掌握乘法公式、单项式与多项式的乘法是解题的关键；依次用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时  原式． 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，多项式除以单项式对整式进行运算，最后合并同类项，最后把，代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时 原式 【变式2】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）先化简，再求值，其中，． 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ； 当，时，原式． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型7. 整式的混合运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 巩固练习 一、单选题 1．（山西省太原市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的运算，包括单项式乘法、多项式乘单项式、多项式除以单项式及乘法公式． 逐一分析即可． 【详解】解：A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误； 故选：A． 2．（2025·四川南充·一模）代数式的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【分析】本题考查了完全平方公式，把原式配成完全平方式即可求解 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故最小值为2 故选：B ． 3．（2025·辽宁铁岭·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式、积的乘方以及单项式乘法法则等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式、积的乘方以及单项式乘法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、，原式计算错误，故选项不符合题意； C、，原式计算错误，故选项不符合题意； D、，原式计算错误，故选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式乘法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，设小正方形的边长为x，则，求出小正方形的边长为，大正方形的边长为，用代数式表示出，再计算即可解决． 【详解】解：设小正方形的边长为x，则， 解得，， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵总体大正方形的边长为，则面积为， 中间小正方形的边长为，则面积为， 个长方形的面积为， 又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长方形的面积， ∴． 故选：D． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：，， 当，，时，， 故选：B． 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、平方差公式的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 利用作差法和平方差求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用同底数幂的除法得出，根据添项得出完全平方式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由得，， 即， 将代入上式得， ∴， 故选：C． 9．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 10．（24-25九年级下·重庆巴南·期中）我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中： ①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为 ②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为； ③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，解绝对值方程，根据新定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵． 当 时，有两种可能的新多项式： 改变 的系数：新多项式为 ． 改变 的系数：新多项式为 ． 计算与新多项式的积： 若改变 ，积为 ． 若改变 ，积为 ． 设 ， ，则 ，且 ， 和 同奇偶（确保 为整数）． 积的绝对值为 ，需等于 12． 符合条件的解：， （例如 或 ）． 当 时，改变 得新多项式 ，，积为 ．因此，说法①正确． ． 当 时，选择任意两个单项式（设其和为 ），新多项式为 ． 条件：，且 ． 解绝对值方程：情况一： ∴，则选中的两个单项式之和为 0． 情况二： ∴，则未选中的两个单项式之和为 因此，无论如何，都存在两个单项式之和为 0．说法②正确． ． 定义迭代过程：：所有可能一次操作（）后新多项式的和． 新多项式：，，． ∴． ：将（即）进行所有可能一次操作后新多项式的和． 操作 得：，，． 同样得 ． 对任意多项式 ，其所有可能一次操作后新多项式的和仍等于 ． 因此， 对所有 成立． ，差为 （定值）． 说法③正确． 三个说法均正确，正确个数为 3． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）若x，y满足，，则的值为 ． 【分析】根据题意，计算，后整体代入解答即可． 本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2026． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，则代数式的值为 ． 【分析】本题考查利用完全平方公式的变形求值．根据完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：10 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）已知，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了完全平方公式，求一个数的平方根，根据完全平方公式把已给等式左边展开，进而得到，求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若是关于的恒等式，则 ． 【分析】本题考查了多项式相等，代数式求值，把右式展开，根据多项式相等的条件求出的值，进而代入代数式计算即可求解，掌握多项式相等的条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为 ． 【分析】本题考查完全平方公式变形求值，通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解是解题的关键．设小矩形的长为，宽为，则大矩形的长为，宽为，再由大长方形的周长为得出的值，根据阴影部分的面积为得出关于，的方程，求出的值即可． 【详解】解：由图可知，设小矩形的长为，宽为，则大矩形的长为，宽为， 大长方形的周长为， ， ①， 由阴影部分的面积为，得，化简得②， 把①代入②，得， 解得， 即一张小长方形卡片的面积为； 故答案为：． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一个长方形的周长为18，若它的长为，宽为，且满足，则这个长方形的面积为 ． 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵长方形的周长为18，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴这个长方形的面积为19， 故答案为：19． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若m，n，k满足，则的最小值为 ． 【分析】本题的考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键，根据，代入，得，根据，得，要想取得最小值取最小值即可解答． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， ， 当取得最小值0时，取得最小值8， 即取得最小值8， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·广东梅州·期中）为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基地．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形且，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ，， ， ， ， ； 故答案：． 19．（2025·重庆·模拟预测）若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为 ． 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据已知条件利用完全平方公式得到，再由非负性的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴当时，P有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【阅读理解】学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解，编了一个乘法公式的问题，规则如下： 第1次操作：把多项式与的平方差记为； 第2次操作：把多项式与的平方差的结果记为； 第3次操作：； 第4次操作：把多项式与的平方差的结果记为； …… 以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和． （1）当，时， ； （2） ． 【分析】此题考查了平方差公式的应用， （1）根据题意表示出每个代数式，然后计算代数求解即可； （2）分别表示出前几个数，然后找到规律，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当，时，原式； 故答案为：120； （2）∵， 同理可得，， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中 【分析】本题考查了多项式乘以多项式化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 23．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）先化简，再求值，其中，． 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用平方差以及整式的除法运算法则分别化简，进而把y的值代入得出答案． 【详解】解： ， 其中，，故原式． 24．（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列式子中的运算规律： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式 ； (2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性． 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第4个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 26．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）通过学习，我们知道可以用图形的面积解释一些代数恒等式的正确性．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形． (1)图2中，大正方形的边长等于_______，小正方形的边长等于_______，根据图2，可以用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式：_________________； (2)请利用（1）中的结论，解决下列问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 【分析】（1）根据题意，剪图，拼图的几何意义，计算即可． （2）①根据公式，变形得，整体代入解答即可； ②，则，，，结合公式计算即可． 本题考查了完全平方公式的计算，变形计算，正方形的性质． 【详解】（1）解：根据题意，得每个小长方形的长为a，宽为b, 故大正方形的边长等于，小正方形的边长等于，根据拼图的几何意义，得，或者， 故答案为：，， 或者． （2）①解：根据公式， 变形得， ∵，， ∴． ②解：， 则，，， ∵， ∴， ∴． 27．（24-25七年级下·四川达州·期末）［基础］ （1），求的值． ［变式］ （2）已知，求的值． ［应用］ （3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形劳动试验田，该劳动试验田中，四边形区域的形状是边长为米的正方形，四边形（点在上）区域及四边形区域的形状都是边长为米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知的长为2米，，求劳动试验田中小白菜的种植面积． 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）把左右两边平方，利用完全平方公式化简后，把代入计算即可求出的值； （2）设，即，根据，利用完全平方公式求出的值，再结合，即可求出原式的值； （3）由三个正方形面积面积面积面积表示出阴影部分面积，根据求出即可． 【详解】解：（1）把两边平方得：， 展开得：， 把代入得：， 则； （2）设， ∵， ∴， 则有， 把两边平方得：， ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴ ∴； （3）根据题意得：米，米， ∴ ， （平方米）． 28．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 【分析】本题考查了完全平方公式的运用． （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，，则，， ； （2）解：， ，即， 设，则， ， ； （3） 解：设，，则，， ， ， ． 29．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学操作性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：1＋2×1＋1＝4；     第二个等式：4＋2×2＋1＝9； 第三个等式：9＋2×3＋1＝16；     第四个等式：16＋2×4＋1＝25. 第个等式可写为：．老师引导同学们将这个等式相加，做了如下推理： 整理得： ， ； 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 【问题解决】 (1)你能写出【类比推广】中的第5个等式：______；猜想第n个等式：______，请你证明这个猜想． (2)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． （1）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （2）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可， 【详解】（1）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原式成立； （2）解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 30．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足，求的值． 解：∵ ∴ 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足 (1)请直接写出的值为_______． (2)求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）根据整式加减运算法则计算即可． （2）根据题目中的完全平方公式变形求解即可； （3）由图及题中条件可知正方形的边长为，正方形的边长为，则由长方形的面积为40平方单位得到，设，，则，且再利用完全平方公式变形得到，代入式子计算可得到阴影部分的面积和． 【详解】（1）解： （2）解：， （3）解：由图及题中条件可知正方形的边长为，正方形的边长为，则由长方形的面积为40平方单位得到， 阴影部分面积为， 设，， 则，且， ∵， ∴， ， 阴影部分面积为． 31．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，请在下面图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空． 你画的正方形的面积既可以表示为_____，又可以表示为__，所以可得等式___． (2)图②的方框中是利用型，型，型若干张拼出的长方形示意图，研究拼图的面积可发现等式___． (3)选取1张型卡片，1张型卡片按图③的方式放在一起，、、在一条直线上，已知是的中点，若，，则阴影部分的面积为________． (4) (5)选取1张型卡片，3张型卡片按图④的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则当与满足____时，为定值____．（结果包含字母） (6) 【分析】本题考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）先画出正方形，再用两种方法表示所画正方形的面积，即可得出等式； （2）用两种方法表示出长方形的面积，即可得出等式； （3）先求出，，再根据列式求解即可； （4）求出，，则可求出，根据为定值，得到的结果与无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：所画正方形如图所示： 正方形的面积既可以表示为，又可以表示为， ∴可得等式， 故答案为：，，； （2）解：最大长方形面积可以表示为，又可以表示为， ∴； （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴ ； （4）解：由题知，， ∴ ， ∵为定值， ∴的结果与无关， ∴， ∴， ∴ 故答案为：；． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 整式的乘法 03讲 乘法公式 题型归纳 【题型1. 运用平方差公式进行运算】…………………………………………………… 2 【题型2. 平方差公式的应用】…………………………………………………………… 3 【题型3. 运用完全平方公式进行运算】………………………………………………… 5 【题型4. 完全平方公式的应用】………………………………………………………… 6 【题型5. 完全平方公式中字母求参问题】……………………………………………… 8 【题型6. 乘法公式中的化简求值】……………………………………………………… 8 【题型7. 整式的混合运算】……………………………………………………………… 10 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 11 知识清单 知识点1 平方差公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【提示】 平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=－b的特殊情形. 知识点2 完全平方公式 1.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 【提示】 （a+b）2=a2+2ab+b2是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=b的特殊情形. 知识点3 添括号 1.方法：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 题型专练 题型1. 运用平方差公式进行运算 【例1】（23-24七年级下·北京·阶段练习） ． 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）计算： ． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中） ． 【变式2】（2025九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 计算： 题型2. 平方差公式的应用 【例1】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图1，将长为，宽为的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2所示图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是 ． 【变式1】（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有，的式子表示）． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 题型3. 运用完全平方公式进行运算 【例1】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）若，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）已知，，则 ． 计算： 题型4. 完全平方公式的应用 【例1】（24-25七年级下·全国·期中）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）若，则的值为 ． 【例3】（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）（1）已知，，求，的值； （2）阅读材料： 若x满足，试求的值． 解：设，，则， 且． 因为， 所以， 即的值为508． 根据材料，请你解答下题： 若x满足，试求的值． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，有两个正方形A、B，边长分别为a和b，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．记图1、图2中阴影的面积分别为与，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图①，将甲、乙并列放置后得到图②，已知点H为的中点，连接，又知甲、乙两个正方形边长之和为12，图①的阴影部分面积为16，则图②的阴影部分面积为 ． 【变式3】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）在数学学习中，通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，充分体现了数形结合的思想方法．如图，用图1三种不同大小的正方形与长方形若干个，可以拼成一个如图2所示的正方形． (1)观察猜想：观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积则可得，，之间的数量关系为：______； (2)理解运用：若，，根据（1）中得出的数量关系，求，的值； (3)拓展提升：若满足，求的值． 题型5. 完全平方公式中字母求参问题 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若多项式是某一个关于x的一次二项式的完全平方，则k的值为（ ） A．6 B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若多项式是一个完全平方式，则常数的值是 ． 【变式1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．或7 C．7 D．9 【变式2】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若给多项式添加一项形成三项式且为完全平方式，则添加的一项是 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式是重要的数学公式之一，它在代数式的化简、运算、因式分解等方面广泛应用. (1)请用字母、表示完全平方公式：________； (2)填空：； (3)已知，，求的值. 题型6. 乘法公式中的化简求值 【例1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中，． 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）先化简，再求值，其中，． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型7. 整式的混合运算 计算： 巩固练习 一、单选题 1．（山西省太原市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·一模）代数式的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（2025·辽宁铁岭·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 8．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 9．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 10．（24-25九年级下·重庆巴南·期中）我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中： ①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为 ②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为； ③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 11．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）若x，y满足，，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，，则代数式的值为 ． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）已知，则的值为 ． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若是关于的恒等式，则 ． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为 ． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一个长方形的周长为18，若它的长为，宽为，且满足，则这个长方形的面积为 ． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若m，n，k满足，则的最小值为 ． 18．（24-25七年级下·广东梅州·期中）为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基地．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形且，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 19．（2025·重庆·模拟预测）若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为 ． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【阅读理解】学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解，编了一个乘法公式的问题，规则如下： 第1次操作：把多项式与的平方差记为； 第2次操作：把多项式与的平方差的结果记为； 第3次操作：； 第4次操作：把多项式与的平方差的结果记为； …… 以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和． （1）当，时， ； （2） ． 三、解答题 21.计算 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中 23．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）先化简，再求值，其中，． 24．（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 25．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列式子中的运算规律： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式 ； (2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性． 26．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）通过学习，我们知道可以用图形的面积解释一些代数恒等式的正确性．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形． (1)图2中，大正方形的边长等于_______，小正方形的边长等于_______，根据图2，可以用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式：_________________； (2)请利用（1）中的结论，解决下列问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 27．（24-25七年级下·四川达州·期末）［基础］ （1），求的值． ［变式］ （2）已知，求的值． ［应用］ （3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形劳动试验田，该劳动试验田中，四边形区域的形状是边长为米的正方形，四边形（点在上）区域及四边形区域的形状都是边长为米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知的长为2米，，求劳动试验田中小白菜的种植面积． 28．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 29．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学操作性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：1＋2×1＋1＝4；     第二个等式：4＋2×2＋1＝9； 第三个等式：9＋2×3＋1＝16；     第四个等式：16＋2×4＋1＝25. 第个等式可写为：．老师引导同学们将这个等式相加，做了如下推理： 整理得： ， ； 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 【问题解决】 (1)你能写出【类比推广】中的第5个等式：______；猜想第n个等式：______，请你证明这个猜想． (2)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 30．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足，求的值． 解：∵ ∴ 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足 (1)请直接写出的值为_______． (2)求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ (4) 31．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，请在下面图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空． 你画的正方形的面积既可以表示为_____，又可以表示为__，所以可得等式___． (2)图②的方框中是利用型，型，型若干张拼出的长方形示意图，研究拼图的面积可发现等式___． (3)选取1张型卡片，1张型卡片按图③的方式放在一起，、、在一条直线上，已知是的中点，若，，则阴影部分的面积为________． (4) (5)选取1张型卡片，3张型卡片按图④的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则当与满足____时，为定值____．（结果包含字母） (6) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$