广西南宁市2025届高三第二次适应性测试数学试题

南宁市2025届普通高中毕业班第二次适应性测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={x|x=3k一2，k∈Z},N={x|一4<x<4},则M∩N= A.{-2,-1,0,1) B.{-2,-1}》 C.{0,1〉 D.{-2,1} 5 2.若复数z=13则|z= A.√/10 B.3 c 3.已知a为锐角，且tana=3sina,则cos2a三 A-子 B一3 c号 D.日 4.平面向量m,n满足m一2n=(4,3),m·n=一2，则m2+4n2= A.25 B.21 C.17 D.13 5已知A,B分别是椭圆E:答+带=1(。>6>0)的左右顶点，直线工一二c为椭圆E的半焦 距)上存在点C,使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且△ABC的面积为4√5，则椭圆E 的方程为 A苦+苦=1 B+=1 c+=1 D若+苦=1 6.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB与CD分别为该圆柱的上、下底面的一条直径， 若从点A出发绕圆柱的侧面到点C的最小距离为√4什号，则直线AB与直线CD所成的 角为 A晋 B. c晋 D. 【高三数学第1页（共4页）】 5305C 7.设△ABC的内角A,B,C.的对边分别为a,b,c,已知ccos B=2 acos A一bcos C,BC边上一点 D满足BD=2DC,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为2W3,则b= A√2 B.2 C.3 D.4 8.已知函数f(x)=2ax|x一b|,a≠0.若不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤2b},则b= A号 B.1 C.√2 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=sin2x十√3cos2x,则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在区间[0，π]内有3个零点 Cf(x)在区间[一军，]上单调递增 Df✉)的图象关于直线2=爱对称 10.已知点A(1,2)在双曲线C芳-芳-1(a>0,6>0)上，则下列结论正确的是 A.C的实轴长小于2 B.C的渐近线方程可能为y=土√3 C.C的离心率大于√⑤ D.C的焦距不可能为4 11.在正四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2AB=4,P、Q分别为棱C1D1、DD1的中点，点E 满足A立=λAB1,A∈[0,1]，动点F在矩形ADD1A1内部及其边界上运动，且满足PF=√5， 点M在棱AA1上，将△ADM绕边AD旋转一周得到几何体，则 A动点F的轨迹长度为π B.存在E,F,使得EF∥平面A1BC C.三棱锥P一A1QE的体积是三棱锥B1一PBC体积的号倍 D.当动点F的轨迹与几何体2只有一个公共点时，几何体2的侧面积为8√5元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a>0且a≠1，b>0,函数f(x)=logax,若f(b)十f(W6)=3,则1ogab= 13.6个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为 14.已知曲线E:y2=4√x2+1一x2一4，则E的一条对称轴方程为 ;已知A,B是E上 不同于原点O的两个顶点，C为E上与A,B不共线的一个动点，则△ABC面积的最大值为 ·（第一空2分，第二空3分) 【高三数学第2页（共4页）】 5305C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参 赛人员，得到下表 性别 满意度 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 t 40 70 合计 60 120 (1)求二的值； (2)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量 的评价有差异？ (3)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设X表示这2人 中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望 n (ad-bc)2 附：X-a+c+ac06+an=a+6+c+d a 0.1 0.01 0.001 Ta 2.706 6.635 10.828 16.（本小题满分15分) 已知数列{a}中，a1=1,a+1=2a十1 an (1)证明：数列2}为等差数列； la. (2)求数列{an}的通项公式； (3)设6，=aa+1,S,为数列{，)的前n项和，证明：≤S< 【高三数学第3页（共4页）】 5305C 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=ln(x十1)一ax一a2. (1)当a=4时，求曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)存在极大值，且极大值不大于一3一1n2,求实数a的取值范围， 18.(本小题满分17分) 已知在平面直角坐标系xOy中，过点Q(3,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(>0)交于A, B两点，当AB平行于y轴时，|AB|=6. (1)求的值； (2)是否存在不同于点Q的定点M,使得∠AMQ=∠BMQ恒成立？若存在，求点M的坐 标；若不存在，请说明理由； (3)若过点P(1,0)的直线'与E交于异于A,B的C,D两点，其中点A,D在第四象限，直 线AC,直线BD与x轴的交点分别为G、H(G与H不重合)，设线段GH的中点为 N(n,0),求实数n的取值范围. 19.(本小题满分17分) 在空间直角坐标系Oxyz中，任意平面的方程都能表示成Ax十By十Cz十D=0(A,B,C,D ∈R,且A2+B2+C2≠0)，m=(A,B,C)为该平面的法向量 设M是多面体的-个顶点，定义多面体在M处的离散曲率为0，=1一云（∠N,MN:+ ∠N2MN3++∠Nn-1MNn+∠NnMN),其中N;(i=1,2,3,…,n,n≥3)为多面体的所 有与点M相邻的顶点，且平面N1MN2,N2MN3,,Nn-1MNn,M,MN1遍历多面体的所有 以M为公共顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和。 已知空间直角坐标系Oxyz中，几何体W的底面在平面Oxy内，且侧面上任意一点(x,y, )满足3z+3引川+1z=36, x≥0. (1)判断几何体W的形状，并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值； (2)求几何体W的离散总曲率； (3)定义：若无穷等比数列{a}的公比g满足0<gl<1,则(a的所有项之和S-喜a =1一q 若球O与几何体W的各面均相切，然后依次在W内放人球O2,球O,…,球O+1,…, 使得球On+1(n≥1，n∈N·)与W的四个侧面相切，且与球On外切，求放人的所有球的表 面积之和. 【高三数学第4页（共4页）】 5305C 南宁市2025届普通高中毕业班第二次模拟考试 参考答案（数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C & 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 1.【答案】D【解析】 因为M={xx=3k-2,k∈Z={,-5,-21,4,},N=4<x<4}, 所以M∩N={-2,},故选D. 2【1D【饼相】因为子，做层+是四 19V10 故选D 3.【答案】A【解析】由ana=3sina得sinc 1 =3sina,又sina≠0，所以cosa= cosa 所以c0s2a=2c0s2a-1=-7,故选A 0 4.【答案】C【解析】由m-2n=(4,3)得(m-2n)2=4×4+3×3=25. 即m2+4n2-4mn=25,所以m2+4n2=17,故选C. 5.【答案】B【解析】在△ABC中，∠B=120°，AB=BC=2a,由△ABC的面积为4V5 得×2a×2as9in120°=4N5,所以a2=4,则a=2,设直线x=a与x轴相交于点D, 则∠BCD=30,所以BD=0,则2a=立，所以a=2c=2,解得c=1,又6=a2-c2=3, 所以椭圆E的方程为女+ -=1,故选B· 43 6.【答案】C【解析】如图，过AB作该圆柱的轴截面ABEF,且CD∩EF=O,则O为下底面 的圆心，且AF=2,OC=OF=1,设∠COF=,则FC=a,将圆柱的侧面展开如图所示，从 点A出发绕圆柱的侧面到点C的最小距离为AC.又在侧面展开图中AF2+FC2=AC2,则 4+a2=4+元 解得α=？，由异面直线所成角的定义知，AB与CD所成的角为， 3 【高三数学参考答案第1页（共8页）】 7.【答案】B【解析】ccosB=2 acos A-bcosC,∴ccos B+bcosC=2 acos A a=2a6sA,A=行依题意，8-80-2=6C=2b, 3 AC CD b :Sc=bcsinA=b.5=25公=4b=2,故选B. 2 8.【答案】A【解析】因为f(b)=0,所以a≤0≤b,又a≠0，所以a<0≤b。 若b0,则f(a)=-2a3>0,故b时0，即a<0<b.函数f(x)=2axk-b= 2ax(x-b),x之b,函 -2ax(x-b),x<b, 数f(x)的图象如图所示，由不等式a≤f(x)≤b的解集为{xa≤x≤2b}可知， f(a)=-2a2(a-b)=b, bb 结合图形可知， f月=2a×3×3≥a,解得b=2故选A 2 f(2b)=2a×2b×b=a, 【俗卖】AD【1/代闪=m2+5ca2x=2n2+引 对于A选项，因为0=2，故最小正周期为T= 奇，政拔人通 对于B选项，解方程2sin (2x+写引-0.得2x+骨=a=名经ke0 在风间[0可内，取k=1时，=号太=2时，x=,共2个零点，选项B给误 6 对于C港项，解不等式受+2红≤2x+骨受+2低e2列，得圆数T因州区间为 【高三数学：参考答案第2页（共8页）】 对于D选项，由2x+km得因的对称鞋为x=2keZ,当k=3时，x,了 32 选项D正确. 10,【容案】AC【解行】由点，2)在双线C答茶=a>0,b>0上，结合图形可知，G 的右顶点(a,0),满足0<a<1,所以2a<2，即C的实轴长小于2，A正确：由双曲线的图形可 知，点4L,2)在C的渐近线y=bx的下方，则>2，因为√5<2，所以C的渐近线方程不可能 b a 为y=本r,B错误：由上可知名>2，所以C的高心率e=后-+>5，C正确：由 b b2 Q a 日产-1得6-仁者2即e2公+=c+ 1a=4,又0<a<1,解得 19-V65 ,则a,b都有解，C的焦距可以为4，D错误；故选AC. 2 D I1.【答案】ABD【解析】如图，连接D,F,因为PD,⊥侧面ADD,A,D,FcB( 侧面ADD,A,所以PD⊥DF,所以PD2+DF2=PF2, 4 即D,F=V5-1=2,所以动点F的轨迹是以D,为圆心，半径为2的圆的 其长度为4×2元×2=元，A正确： B 若F为AD,与动点F的轨迹的交点，2=0，点A与点E重合时，EF∥BC1,又EF丈平面ABC, BCc平面ABC,故EF∥平面A,BC,B正确：因为AB∥PQ,所以三棱锥P-AQE的体 积Vn4E='E-P4Q=VA-P4Q=Vr-MQ,又P分别为棱CD,中点，△BB,C的面积等于△AA0的面 积，所以Vn-AMQ=V,-ac=Va-PaC,所以Vn-AOE=Va-Pmc,C错误： 当动点F的轨迹与几何体2只有一个公共点时，直线DM与动点F的轨迹相切，设切点为N,连 结D,N,则DN=2.又DD=4,所以∠DDN=30°，则∠ADM=60°，所以DM=4, AM=2V5,故几何体2的侧面积为S侧而积=元rl=元×2V3×4=8V3元，D正确，故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12【倍米1号【51由/6的+八同=3eog,6+l2:万=3，g6=3,截e,b=号 9 【高三数学参考答案第3页（共8页）】 3.【答案子 【解析】A表示甲站排头或排尾的事件，B表示乙、丙不相邻的事件， 则P(A)= C241 =5,P(AB)= C441 P(AB)3 A63 5 所以P(BA)= P(A)5 14.【答案】x=0(或y=0)(本空2分)：22（本空3分）【解析】根据曲线E的方程可知，曲 线E既是轴对称图形也是中心对称图形.所以E的对称轴所在直线方程为：x=0或y=0:令y=0 得y2=4Vx2+1-x2-4,解得x=0或±2W2,不妨取A(-2W2,0),B(2V2,0).设点C(x,y), 则△BC的面积为5ace=4M.令=4N+1-2-4,则了=红 -2x, Vx2+1 令f'(x)=0,解得x=0,x=±V3.当xe(-2V2,-V3)U(0,V3)时，f"(x)>0, 当x∈(-V5,0)U(52V2)时，f'(x)<0,所以f(x)在(-2V2,-5),(0,V5)上单调递增， 在(-V5,0)U(5,2V2)上单调递减则f(x)mx=f(-V5)=f(N5)=1. 当=1时，△48C的面积最大，此时Sc×42×1=2五。 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)由表中数据可知r=30,3=20,t=30,1=601分 所以-5-101 1-t303 2分(3分)》 (2)零假设H。:不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价无差异…1分(4分) 根据表中数据得x2=120×30×40-20×30)2 1分 50×70×60×60 24 7 ≈3.429>2.706=X0.10… 1分 根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H。不成立. 故认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异1分(7分) 1 (3)由题意可知，随机采访1名女性参赛人员，则该人员对该部门服务质量非常满意的概率为二： 2 机采访1名男性参赛人员，则该人员对该部们服务质量非常满意的概率为…1分8生 X的可能取信为0，L2则P心x=0=0-×0-争-言PX=2)=2号行 121 【高三数学参考答案第4页（共8页）】 所以X的分布列为 X 0 2 6 3分（11分) E(X)=0x2+1x2+2x2=7 1 17 2分（13分) 6 2 36 a一得 12a+1=2+ 16.解：（证明：由a1-2a,+1付a1a, 2分 a 则 11 =2 2分 an+l an 所以数列 是以2为公差的等差数列…1分(5分)》 ②因为a-=1,所以=1.由（0河得1=1+20n-1)）=2n-1.2分 a, an a 故数列{a,}的通项公式为a,=2m-1 1 1分(8分） 1 -111 (3)i证明：由2得，b,=a.a1-2n-12n+0）22n-12n+1 2分（10分) 所似8-a+a++6=03r写3#+(3石70-3 )1分 因为脑改闭=12中在 ，在x∈N上单调递增，1分(12分) 当1时，f(x)=号；当x→+o时f因→12分14分 所时0-分对8号 3 2 3 1分（15分） 17.解：)当a=4时，f)=1n(x+)-4x-16,则f0=141分 x+1 所以f'(0)=1-4=-3 1分 又f(0)=-16故f(x)在(0，f(0)处切线方程为y+16=-3x即y=-3x-16.2分(4分) (2)f'(x)= 1-a=1-a- 1分（5分) x+1 x+1 (①)当a≤0时f'(x)>0,所以f(x)在(-l,+o)上单调递增. 此时f(x)不存在极值，不符合题意：2分(7分) 1-a ()当a>0时，令f'(x)=0,解得x= a 【高三数学参考答案第5页（共8页）】 当xe←1，二马时f')>0,当xe(-a,+o)时f<0, 所以了)在(1,1一马上单调递增，在（二口，∞）上单调递减 做x三是∫)的极大值点 2分(9分） 且f-马)=-lha-1-a）-a2=a-1-a2-na,2分(I1分) g(a)=a-1-a2-Ina(a>0), 则g'a)=1-2a-1-1-(2a+马s1-2,2ax1-1-25<0 所以g(a)在(0，+o)上单调递减，且g(2)=-3-n2,… 2分(（13分) 由不等式a-1-a2-lna≤-3-ln2,解得a≥2，… …1分（14分) 故实数a的取值范围为[2，+oo). …1分（15分) 18.解：(1)当AB平行于y轴时，AB⊥x轴.又AB=6,所以不妨取A(3,3)1分 3 代入抛物线E:y2=2px(p>0)得32=2p×3,解得p= 2分（3分) 2 (2)设直线1的方程为X=七y十3，… 1分 代入y2=3x得y2-31y-9=0,所以y4+y=31,yyg=-9.1分6分) 假设存在不同于点Q的定点M,使得∠AMQ=∠BMQ恒成立， 由抛物线对称性知，点M在x轴上.… 1分(6分) 设Mm,0),则直线MMB的斜率互为相反数，即yA一十yB一=0. xA-m xe-m 即y4(（GyB+3-m)+yg(41y4+3-m)）=0. 1分(7分) 整理得2ty4yg+(3-m)y4+yg)=0,即-18t+3t1(3-m)=0 化简得3t1(-3-m)=0.而t1不恒为0，则m=-3… …2分(9分) 所以存在不同于点Q定点M,使得∠AMg=∠BMQ恒成立，点M的坐标为(-3,0)1分(10分) (③)设直线的方程为x=12y+1,同理ycyD=-3,…1分(1分) 设G(a,0),H(亿，0)，a地，直线AC的方程为x=ty+Q, …1分(12分) 代入y2=3x得y2-3y-3a=0,所以y4yc=-3a1分(13分） 设直线BD的方程为x=t4y+b,同理得ygyD=-3b,1分(14分) 【高三数学参考答案第6页（共8页）】