第十一章《不等式与不等式组》暑假巩固卷 2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册 暑假巩固卷 第十一章 相交线与平行线不等式与不等式组 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（　　） A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣1＞3b﹣1 D．1﹣a＞1﹣b 2．语句“a的与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．不等式x≤﹣2在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知三个数a，b，c满足a+2b+c＝0，3a﹣2b+c＜0，则下列结论正确的是（　　） A．a﹣3b＜0 B．4a﹣3c＜0 C．a﹣2b＞0 D．4b+c＞0 6．满足不等式组的非负整数解的个数为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 7．已知点P（x﹣1，2x）在第二象限，则x的取值范围为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．无解 8．若不等式组有解，则m的取值范围为（　　） A．m B．m＜﹣1 C．m≤﹣1 D．﹣1＜m＜3 9．若（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a必须满足是（　　） A．a＜0 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a≤1 10．已知整式，其中a0，a1，a2为自然数，且a0+a1+a2＝2．下列说法： ①满足条件的整式A中有3个单项式； ②若x＝﹣1是关于x的方程A＝0的解，则必有a1＝1； ③若x＝2时，整式A＝3，则关于x的不等式A≥1的解集是x≥0． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．如果a＜b，那么3﹣2a 　 　 3﹣2b． 12．关于x的一元一次不等式mx＜1的解集是．写出一个满足条件的m的值　 　 ． 13．关于x的不等式组中各不等式的解集在数轴上分别如图所示，则该不等式组的解集为 　 　 ． 14．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于40”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于40，则用得到的这个数进行下一次操作，如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是 　 　 ． 15．若不等式组无解，则a的取值范围是　 　 ． 16．对于实数x0、d（其中d＞0），不等式x0﹣d＜x＜x0+d的解集构成“x0的d邻域”． （1）不等式|x+3|＜2的解集构成“　 　 的 　 　 邻域”； （2）不等式A的解集构成“a+1的2邻域”，不等式B的解集构成“2的1邻域”，若由A、B组成的不等式组的解集构成“的邻域”，则a的取值范围是 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解下列不等式（组）： （1）； （2）． 18．在学习“解一元一次不等式”时，小明的解答过程如下： 解：去分母得：2（x﹣1）﹣3x﹣2＜1① 去括号得：2x﹣2﹣3x﹣2＜1② 移项得：2x﹣3x＜1+2+2③ 合并同类项得：﹣x＜5④ 两边都除以﹣1得：x＜﹣5⑤ （1）上面的解答过程是从第几步出现错误的？ （2）请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上． 19．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）不等式x≥9 　 　 （选填“是”或“不是”）x＜9的“云不等式”． （2）若关于x的不等式x﹣3a≥0与不等式1﹣2x＞x﹣14互为“云不等式”，且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 20．已知关于x的不等式组， （1）若该不等式组有解，求m的取值范围； （2）若该不等式组有且恰有四个整数解，求m的取值范围． 21．【发现问题】：已知，求4x+5y的值． 方法一：先解方程组，得出x，y的值，再代入，求出4x+5y的值； 方法二：将①×2﹣②，求出4x+5y的值． 【提出问题】：怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】：为了得到方法二，可以将①×m+②×n，可得（3m+2n）x+（2m﹣n）y＝4m+6n．令等式左边（3m+2n）x+（2m﹣n）y＝4x+5y，比较系数可得，求得． 【解决问题】： （1）对于方程组利用方法二的思路，求4x﹣9y的值； （2）已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤2且a﹣2b取最大值时，求8a+2b的值． 22．【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”． （1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果，那么a+c＞b+d一定成立． 请你证明上述结论． （2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果，那么a﹣c＞b﹣d不一定成立． 例如：对于，请你举出一组反例，说明10﹣c不一定大于4﹣d． 【结论应用】 （3）应用1：已知，求x+y的取值范围． （4）应用2：已知，直接写出3x﹣2y的取值范围． 23．已知关于x、y的方程组（实数m是常数）． （1）若x+y＝1，求实数m的值； （2）若﹣1≤x﹣y≤5，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：|m+2|+|m﹣3|． 24．某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元：购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． 25．定义新运算：，例如，因为2＜3，所以2⊕3＝2+3＝5，3⊕2＝2×3﹣2＝4． （1）计算：2⊕1＝　 　 ，1⊕2＝　 　 ，当a＞b时，若a⊕b＝b⊕a，则a与b满足的关系式为　 　 ； （2）若点P（x，y）在第四象限，且满足，求点P的坐标； （3）t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C D C C B C C 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．＞． 12．﹣1（答案不唯一）． 13．x≤0． 14．x＞13． 15．a≥﹣1． 16．（1）﹣3，2； （2）﹣2＜a≤0． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：（1）∵2x+1， ∴4x+2＜3x﹣1， 4x﹣3x＜﹣1﹣2， x＜﹣3； （2）整理得， ③+④×2得：5x＝15， 解得x＝3， 将x＝3代入④得：3﹣2y＝1， 解得y＝1， 则方程组的解为． 18．解：（1）上面的解答过程是从第①步出现错误的； （2）， 解：去分母得：2（x﹣1）﹣3x+2＜8， 去括号得：2x﹣2﹣3x+2＜8， 移项得：2x﹣3x＜8﹣2+2， 合并同类项得：﹣x＜8， 两边都除以﹣1得：x＞﹣8， 把解集表示在数轴上如下： ． 19．解：（1）∵x≥9与x＜9没有公共解， ∴不等式x≥9不是x＜9的“云不等式”， 故答案为：不是； （2）解不等式x﹣3a≥0，得x≥3a； 解不等式1﹣2x＞x﹣14，得x＜5； ∵这两个不等式互为“云不等式”， ∴3a≤x＜5， 又∵它们有2个公共的整数解， ∴其公共整数解为3和4， 由题意得：2＜3a≤3， ∴， ∴a的取值范围为． 20．解：（1）解不等式5x+2＞3（x﹣1）得：． 解不等式得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：m＞﹣12． （2）由（1）知：，， ∵该不等式组有且恰有四个整数解，故整数解为：﹣2，﹣1，0，1， ∴， 解得：﹣5≤m＜﹣3． 21．解：（1）， 将①×m+②×n，可得（3m+2n）x+（2m﹣n）y＝4m+6n． 令等式左边（3m+2n）x+（2m﹣n）y＝4x﹣9y，比较系数可得， 解得． 由①×（﹣2）+②×5得4x﹣9y＝22； （2）∵， ∴a﹣2b取最大值时，需 （a﹣b） 取最大值、（a+b） 取最小值， 由条件可知a﹣2b取最大值时，a﹣b＝2，a+b＝1， ∴8a+2b＝5（a+b）+3（a﹣b）＝5×1+3×2＝11． 22．解：（1）∵a＞b， ∴a﹣b＞0，① ∵c＞d， ∴c﹣d＞0，② ①+②得a﹣b+c﹣d＞0， 故a+c＞b+d； （2）如果那么a﹣c＞b﹣d不一定成立．例如：对于 设c＝1，d＝﹣5， ∴10﹣c＝9，4﹣d＝9， 即10﹣c＝4﹣d， ∴10﹣c不一定大于4﹣d． （3）由条件可知﹣2+3＜x+y＜2+7即1＜x+y＜9； （4）由条件可知﹣6＜3x＜6，﹣14＜2y＜﹣6， ∴﹣6﹣14＜3x﹣2y＜6﹣6即﹣20＜3x﹣2y＜0． 23．解： （1）①+②，可得 3（x+y）＝6m+1 ∵x+y＝1， ∴6m+1＝3×1＝3， 解得m． （2）①﹣②，可得 x﹣y＝2m﹣1 ∵﹣1≤x﹣y≤5， ∴﹣1≤2m﹣1≤5， 解得0≤m≤3． （3）∵0≤m≤3， ∴m+2＞0，m﹣3≤0， ∴|m+2|+|m﹣3| ＝m+2+3﹣m ＝5 24．解：（1）设每件甲种商品的进价是x元，每件乙种商品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种商品的进价是30元，每件乙种商品的进价是70元； （2）设购进m件乙种商品，则购进（60﹣m）件甲种商品， 根据题意得：， 解得：46≤m≤48， 又∵m为正整数， ∴m可以为46，47，48， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进14件甲种商品，46件乙种商品，全部售出后获得的总利润为40×14+90×46﹣30×14﹣70×40﹣70×0.8×（46﹣40）＝1144（元）； 方案2：购进13件甲种商品，47件乙种商品，全部售出后获得的总利润为40×13+90×47﹣30×13﹣70×40﹣70×0.8×（47﹣40）＝1168（元）； 方案3：购进12件甲种商品，48件乙种商品，全部售出后获得的总利润为40×12+90×48﹣30×12﹣70×40﹣70×0.8×（48﹣40）＝1192（元）． ∵1144＜1168＜1192， ∴最大利润为1192元． 答：当购进12件甲种商品，48件乙种商品时，购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大，最大利润是1192元． 25．解：（1）∵2＞1， ∴2⊕1＝2×2﹣1＝3；1⊕2＝1+2＝3； a⊕b＝b⊕a， 故2a﹣b＝a+b， 即a＝2b； 故答案为：3，3，a＝2b； （2）由条件可知x＞0＞y， ∴x⊕y＝2x﹣y＝5， ∴x﹣y＝5﹣x＜5， ∴（x﹣y）⊕5＝x﹣y+5＝9， 联立解得， ∴点P坐标为（1，﹣3）； （3）解不等式得x≤5， 由定义，， 分情况讨论：当x≤2.5时，不等式﹣x+8+t≤2的解集为x≥6+t． 不等式组有整数解，故一定有解x＝2，代入解得t≤﹣4； 当2.5＜x≤5时，不等式4x+1+2t≤2的解集为， 不等式组有整数解，故一定有解x＝3，代入解得． 综上，t≤﹣4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$