2.3 二次根式 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 第3课 二次根式 第1课时 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 理解二次根式的定义，能准确判断二次根式，明确被开方数的非负性要求. 掌握二次根式乘除法法则，能熟练运用法则进行运算，解决实际问题. 经历观察、猜想、验证、归纳的过程，提升数学抽象和运算能力，感受数学与生活的联系. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 从发现无理数，到实数定义的产生；从算术平方根到平方根、立方根，最后是生活场景中的估算.学习过程中我们认识了许多新的数学朋友，比如，，，，（c＞b＞0） 问题：这些数有什么相同点？它们有怎样的运算法则呢？ 4 二次根式的概念： 问题构建 ，形如这样的式子叫做二次根式. 被开方数. 共同特点：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数. 双重非负性 问题构建 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 问题构建 问题1：二次根式的运算有怎样的规律呢？ 类比七年级下册学习过的幂的运算法则探究过程，我们可以采用从特殊到一般的方法开展研究，不妨从乘法开始. 计算下列各组数的结果. 6 6 20 20 ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． （1） 追问：上面各组二次根式的被开方数有什么特点？运算结果有什么特点？ 7 协作破冰 计算下列各组数的结果. ＝ ， 6.480 ＝　 　； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 追问：上面各组二次根式的被开方数有什么特点？运算结果有什么特点？ 协作破冰 一般结论猜想： 对于二次根式的乘除法运算 从(1)中的计算可以发现，被开方数都是有理数，两个同类算式结果都相等也是有理数. 从(2)中的计算可以发现，被开方数都是无理数，两个同类算式结果都相等. 问题2：你能尝试用字母表示你发现的规律吗？ 二次根式的乘法法则和除法法则 教师示范 二次根式的乘法法则和除法法则 问题3：你能说说上述猜想为什么是正确的吗? 乘法法则证明（≥0，≥0 ） 设=（ ≥0，因为算术平方根非负 ),= ​（ ≥0 ） 根据算术平方根定义，可得 那么，且 又因为≥0，≥0  ，所以≥0 ，​表示的算术平方根， 而且≥0 ,≥0所以= ​ ， 也就是，乘法法则得证. 教师示范 二次根式的乘法法则和除法法则 问题3：你能说说上述猜想为什么是正确的吗? 除法法则证明（ ≥0，≥0   ） 设（n>0，因为b>0，算术平方根非负且不为0 ） 由算术平方根定义， 则 因为a≥0，b>0，所以​≥0 ，是的算术平方根，即​​是非负的 又因为（m≥0，n>0 ），所以，也就是,除法法则得证 教师示范 例1：计算 （1） （2） 思考：对于第(2)题，你有不同的解法吗？ 我们发现：乘法交换律可以继续使用！ 教师示范 例2：计算 解: 观察第(3)题我们发现：乘法结合律也可以继续使用！ 教师示范 解： 例3：计算 (1); (2); (3) 巩固拓展 例4：计算 （1）（2）（3） （4）（5）（6） 解:(1) (2) (3) 我们发现：完全平方公式可以继续使用！ 巩固拓展 例4：计算 （1）（2）（3） （4）（5）（6） 解:(4) (5) (6) 我们发现：平方差公式和乘法分配律可以继续使用！ 巩固拓展 方法总结 1、运用二次根式乘除法法则的过程中，我们发现乘法的交换律、结合律、分配律都可以直接迁移类比进行使用. 2、乘法法则和乘法公式可以直接迁移类比进行使用.如整式的乘法、平方差公式、完全平方公式. 3、要多关注二次根式的双重非负性. 当堂检测 2.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C 当堂检测 2.在括号中填写适当的数或式子使等式成立. （ ）＝10； （ ）＝ 4； 当堂检测 （1） ___. 8 （2） ___. 2 16 4 9 3 （3） ___. 5 15 75 25 75 5 3.填空： 当堂检测 4.计算： （1） . 解:原式 . （2） . 解：原式 . 当堂检测 5.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 当堂检测 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . （5） . 解：原式 . 反思总结 1.二次根式的乘除法运算法则是怎样的？ 2. 研究二次根式的乘除法的一般路径是什么？ 3.二次根式还可以进行哪种运算？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P42 随堂练习1 二、素养类作业 课本P47 第8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$