微点进阶讲义 ：距离产生美-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题二 直线和圆的方程 微点12    距离产生美 距离是刻画位置差异的量，没有距离就没有差异，所以距离产生美.距离也产生困难，点点距、点线距、线线距，圆中距、距离新定义等在新高考背景下将地位提高，而距离的解法也比较灵活，代数法、几何法、向量法等.下面我们从以下四个方面进行研究： 1、点线距离问题 2、圆中有关距离问题 3、以式化形求距离问题 4、距离新定义问题 本微点通过对点点、点线、线线的距离公式及其应用，并且从以数助形、以形驭数两个角度对它们进行阐述和应用，同时还拓展了折线距离（曼哈顿距离）等距离新定义的知识，以期对大家有好的帮助． 探究一　点线距离问题 【典例1】点到直线距离的最大值为（ ） A．5    B．    C．    D．3 【思路引导】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值. 【详细解析】直线：， 令，，得直线过定点， 所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A 【题后反思】本类问题可通过求直线所过定点，结合图形分析.若使用点到直线的距离公式转化为函数求最值计算量较大. 【举一反三】 （23-24高二上·福建泉州·阶段练习） 1．已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 【答案】BCD 【分析】对于A，分类讨论，利用斜率公式以及两直线垂直的条件即可判断；对于B，分类讨论，讨论等腰三角形的顶点，结合点到直线的距离即可判断；对于C，求出点关于直线l的对称点，结合几何性质，数形结合，即可求解；对于D，结合几何性质，数形结合，即可判断； 【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当PN斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当且时，，， 若，则，即， 由于，方程无解，故与不垂直； 综合可知不存在点，使得，A错误； 对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上， 则P点横坐标为，此时； 当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为， 故直线l上必存在两点满足，设这两点为， 由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2， 故和M，N不共线，适合题意，    由于N点到直线：的距离为， 故以N点为顶点的等腰不存在， 综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确； 对于C，设点关于直线l的对称点为， 则，解得，即， 故, 当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号，    即的最小值为，C正确； 对于D，如图，， 当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立，    即最大值为3，D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：（1）注意分类讨论方法的应用，比如选项A，B的判断；（2）注意数形结合思想的运用，比如选项C，D的求解. 【典例2】已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【思路引导】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详细解析】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图， 则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【题后反思】（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程. （2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径. （3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗. 【举一反三】 2．两平行直线，分别过，. (1)，之间的距离为5，求两直线方程； (2)若，之间的距离为d，求d的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为，表示出直线，，利用平行线间的距离公式解出即可； （2）结合图像可知当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大，求出，即可求得d的取值范围. 【详解】（1）当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意； 当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得， 解得或，当时，；当时，. 故两直线方程为或. （2） 如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0， 又两平行直线，不重合，故. 探究二　圆中有关的距离问题 【典例3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得解. 【详细解析】设，不妨令， 则， 整理得， 又，所以， 则，解得， 所以存在定点，使得， 要使最小，即最小， 则，B，D三点共线，且DA垂直于直线时取得最小值，如图所示， 所以的最小值为． 故选：C. 【题后反思】设，令，将所求转化为求的最小值，是解决本题的关键. 【举一反三】 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可. 【详解】因为直线，直线，易知， 且分别过定点，取其中点，易知， 则P点在以C为圆心，3为半径的圆上，取点，连接, 不难发现，则，所以， 则， 当且仅当三点共线，且与线段和圆C的交点重合时取得等号. 故选：A. 【典例4】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知为圆上的任意一点，当时，的值与无关，下列结论正确的是 ． （1）当时，点的轨迹是一条直线； （2）当时，有的最大值为1； （3）当时，的取值范围． 【思路引导】根据点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式、直线与圆的位置关系等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详细解析】， 其中表示到直线的距离， 表示到直线的距离， 直线与直线平行， 依题意，当直线时，的值与无关， 所以到直线与直线的距离的和的倍为定值， 也即到直线与直线的距离的和为定值， 由于为圆上的任意一点， 所以圆在两平行直线与之间. 直线与直线的距离为， （1）当时，， 即圆与直线相切，所以圆心的轨迹是一条直线， 与平行，且与和的距离相等，所以（1）正确. （2）当时，， 所以圆的直径，所以有的最大值为1，所以（2）正确. （3）当时，由得， ，所以或， 解得或，所以（3）错误. 故答案为：（1）（2） 【题后反思】本题解题关键点是化归与转化的数学思想方法，即将，转化为点到直线的距离问题来进行求解，熟练掌握、运用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离、直线与圆的位置关系，是解题的突破口. 【举一反三】 4．已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围. 【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以． 设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为． 点的轨迹是以为圆心半径为的圆. 设点，，到直线的距离分别为，，， 所以，，， 所以． 因为点到直线的距离为，所以， 即，所以． 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】思路点睛： 利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围. 探究三　以式化形求距离 【典例5】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，满足，则的最小值为（ ） A．    B．    C．1    D． 【思路引导】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详细解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【题后反思】本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 【举一反三】 5．已知，． （1）求证：，并求使等式成立的条件． （2）说明上述不等式的几何意义． 【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和. 【分析】（1）作图，利用两点间的距离公式可知|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，利用三角不等式可证|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2； （2）根据边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离和与两条对角线的和的大小关系求解即可 【详解】（1）证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图： 则|PO|，|PA|，|PB|，|PC|， ∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC| ∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号）， 即x＝y时取等号． ∴．    （2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和. 【典例4】已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 . 【思路引导】设，.先判断出AB两点在圆上且.设点A到直线的距离，点B到直线ss的距离dd，所以.利用几何法判断出当点A，B在第三象限，且直线AB与直线平行时最大，进而求出最大值. 【详细解析】设，.则，. 因为实数，，，满足：，，， 所以AB两点在圆上，且. 又，所以，所以，所以为等边三角形，. 点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以. 要使最大，只需点A，B在第三象限， 设直线为直线l，过A作AD⊥l于D， 过B作BE⊥l于E，取AB中点F，过F作FG⊥l于G.由梯形的中位线性质可知：，即. 只需F到直线l距离最大，所以直线AB与直线平行. 此时，设， 由圆心到直线AB的距离为，可得：，即，解得：. 所以两平行线间的距离为， 所以， 所以. 故答案为：35. 【题后反思】解析几何中最值的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 【举一反三】 6．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 探究四　距离新定义问题 【典例7】在平面直角坐标系中，定义为点，之间的折线距离．在这个定义下，有下列命题：①到原点的折线距离等于1的点的集合是一个正方形；②已知点，，则为定值；③原点到直线上任一点的折线距离的最小值为；④若表示，两点间的距离，那么．其中的真命题是______（写出所有真命题的序号）． 【思路引导】设动点，对4个命题分别表示出折线距离，分类讨论去掉绝对值符号，依次判断4个命题的真假． 【详细解析】对于命题①，点到原点的折线距离，由图7-4可得点的集合是一个正方形，①正确．对于命题②，，是一个定值，②正确． 对于命题③，设，则，故③错误． 对于命题④，，而，由不等式知，，故④正确． 综上所述，答案为①②④． 【题后反思】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的折线距离，在解题中一般可以用去绝对值的方法求解． 【举一反三】 （24-25高二上·江西南昌·阶段练习） 7．在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离. (1)求点到直线与直线的“折线距离”； (2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)7 (2),证明见解析 【分析】（1）先求得坐标，由点到线的距离公式即可求解； （2）求得在上的镜像点，再结合即可求解. 【详解】（1）设，由题意可得：解得： 所以 （2）设在直线的镜像点， 由题意可得：解得：， 所以 又， 所以 所以， 所以动点在定直线上. 【典例8】（2024·上海·三模）设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A．①、②都正确    B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确    D．①、②都不正确 【思路引导】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详细解析】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图： 易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【题后反思】本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 【举一反三】 （2024·北京·高考真题） 8．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 9．已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合两直线平行求得，再代入两平行线间距离公式运算求解. 【详解】若直线：与直线：平行，则，解得或， 当时，直线：与直线：平行； 当时，直线：与直线：平行； 综上所述：若直线与直线平行，则或. ∵，则，此时直线：，直线：， 故直线、之间的距离. 故选：A. （23-24高二上·河南南阳·期末） 10．点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. （23-24高二上·福建福州·期末） 11．已知点在圆上，点，，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B．当最大时， C．当最小时， D．圆上到直线的距离等于1的点只有1个 【答案】ABC 【分析】A，截距式直接写出直线的方程；所以如图：当最大或最小时，此时与圆相切，勾股定理求出，可判断B、C选项的正误；求出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断D选项的正误；. 【详解】由点，， 直线的方程为，即，A正确； 点P到直线AB的距离小于10，A选项正确； 由，可得圆心， 所以如图：当最大或最小时，此时与圆相切， 且有圆心到的距离为， 利用勾股定理可得：，故B、C选项正确; 所以圆心到直线的距离， 直线与圆相离， 且所以点P到直线AB的距离的最大值为， 点P到直线AB的距离的最小值为， 圆上到直线AB的距离等于1的点有2个, D选项错误； 故选：ABC. 12．已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案． 【详解】根据题意，设为直线上的一点，则， 过点作圆的切线，切点分别为、，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为C，，半径， 则其方程为，变形可得， 联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：， 又由，则有，变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点， 点在圆上， 则点到直线距离的最大值为． 故选：B． 13．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据“切割型直线”的定义，利用点到直线的距离公式逐个计算点到直线的距离，与4比较大小即可得结论 【详解】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意； 对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意； 对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意； 对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意． 故选：BC 14．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】ABC 【分析】结合曼哈顿距离的定义以及三角换元进行分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意圆， 设， 当时，， ，，， 当时，, ，，. 综上所述，，ABC选项符合，D选项不符合. 故选：ABC 15．已知直线，点为直线l上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】表示直线上的点到点和的距离和，由于在直线的同侧，所以将其中一点关于直线对称，再利用两点之间线段最短可求得结果. 【详解】表示直线上的点到点和的距离和， 即, 设点关于直线的对称点为，则， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. （23-24高二上·上海松江·期末） 16．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】## 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二 直线和圆的方程 微点12    距离产生美 距离是刻画位置差异的量，没有距离就没有差异，所以距离产生美.距离也产生困难，点点距、点线距、线线距，圆中距、距离新定义等在新高考背景下将地位提高，而距离的解法也比较灵活，代数法、几何法、向量法等.下面我们从以下四个方面进行研究： 1、点线距离问题 2、圆中有关距离问题 3、以式化形求距离问题 4、距离新定义问题 本微点通过对点点、点线、线线的距离公式及其应用，并且从以数助形、以形驭数两个角度对它们进行阐述和应用，同时还拓展了折线距离（曼哈顿距离）等距离新定义的知识，以期对大家有好的帮助． 探究一　点线距离问题 【典例1】点到直线距离的最大值为（ ） A．5    B．    C．    D．3 【思路引导】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值. 【详细解析】直线：， 令，，得直线过定点， 所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A 【题后反思】本类问题可通过求直线所过定点，结合图形分析.若使用点到直线的距离公式转化为函数求最值计算量较大. 【举一反三】 （23-24高二上·福建泉州·阶段练习） 1．已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 【典例2】已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【思路引导】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详细解析】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图， 则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【题后反思】（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程. （2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径. （3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗. 【举一反三】 2．两平行直线，分别过，. (1)，之间的距离为5，求两直线方程； (2)若，之间的距离为d，求d的取值范围. 探究二　圆中有关的距离问题 【典例3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得解. 【详细解析】设，不妨令， 则， 整理得， 又，所以， 则，解得， 所以存在定点，使得， 要使最小，即最小， 则，B，D三点共线，且DA垂直于直线时取得最小值，如图所示， 所以的最小值为． 故选：C. 【题后反思】设，令，将所求转化为求的最小值，是解决本题的关键. 【举一反三】 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知为圆上的任意一点，当时，的值与无关，下列结论正确的是 ． （1）当时，点的轨迹是一条直线； （2）当时，有的最大值为1； （3）当时，的取值范围． 【思路引导】根据点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式、直线与圆的位置关系等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详细解析】， 其中表示到直线的距离， 表示到直线的距离， 直线与直线平行， 依题意，当直线时，的值与无关， 所以到直线与直线的距离的和的倍为定值， 也即到直线与直线的距离的和为定值， 由于为圆上的任意一点， 所以圆在两平行直线与之间. 直线与直线的距离为， （1）当时，， 即圆与直线相切，所以圆心的轨迹是一条直线， 与平行，且与和的距离相等，所以（1）正确. （2）当时，， 所以圆的直径，所以有的最大值为1，所以（2）正确. （3）当时，由得， ，所以或， 解得或，所以（3）错误. 故答案为：（1）（2） 【题后反思】本题解题关键点是化归与转化的数学思想方法，即将，转化为点到直线的距离问题来进行求解，熟练掌握、运用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离、直线与圆的位置关系，是解题的突破口. 【举一反三】 4．已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ． 探究三　以式化形求距离 【典例5】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，满足，则的最小值为（ ） A．    B．    C．1    D． 【思路引导】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详细解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【题后反思】本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 【举一反三】 5．已知，． （1）求证：，并求使等式成立的条件． （2）说明上述不等式的几何意义． 【典例4】已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 . 【思路引导】设，.先判断出AB两点在圆上且.设点A到直线的距离，点B到直线ss的距离dd，所以.利用几何法判断出当点A，B在第三象限，且直线AB与直线平行时最大，进而求出最大值. 【详细解析】设，.则，. 因为实数，，，满足：，，， 所以AB两点在圆上，且. 又，所以，所以，所以为等边三角形，. 点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以. 要使最大，只需点A，B在第三象限， 设直线为直线l，过A作AD⊥l于D， 过B作BE⊥l于E，取AB中点F，过F作FG⊥l于G.由梯形的中位线性质可知：，即. 只需F到直线l距离最大，所以直线AB与直线平行. 此时，设， 由圆心到直线AB的距离为，可得：，即，解得：. 所以两平行线间的距离为， 所以， 所以. 故答案为：35. 【题后反思】解析几何中最值的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 【举一反三】 6．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 探究四　距离新定义问题 【典例7】在平面直角坐标系中，定义为点，之间的折线距离．在这个定义下，有下列命题：①到原点的折线距离等于1的点的集合是一个正方形；②已知点，，则为定值；③原点到直线上任一点的折线距离的最小值为；④若表示，两点间的距离，那么．其中的真命题是______（写出所有真命题的序号）． 【思路引导】设动点，对4个命题分别表示出折线距离，分类讨论去掉绝对值符号，依次判断4个命题的真假． 【详细解析】对于命题①，点到原点的折线距离，由图7-4可得点的集合是一个正方形，①正确．对于命题②，，是一个定值，②正确． 对于命题③，设，则，故③错误． 对于命题④，，而，由不等式知，，故④正确． 综上所述，答案为①②④． 【题后反思】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的折线距离，在解题中一般可以用去绝对值的方法求解． 【举一反三】 （24-25高二上·江西南昌·阶段练习） 7．在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离. (1)求点到直线与直线的“折线距离”； (2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【典例8】（2024·上海·三模）设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A．①、②都正确    B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确    D．①、②都不正确 【思路引导】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详细解析】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图： 易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【题后反思】本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 【举一反三】 （2024·北京·高考真题） 8．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 9．已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 （23-24高二上·河南南阳·期末） 10．点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 （23-24高二上·福建福州·期末） 11．已知点在圆上，点，，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B．当最大时， C．当最小时， D．圆上到直线的距离等于1的点只有1个 12．已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A．4 B．6 C． D． 13．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（    ） A． B． C． D． 14．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．已知直线，点为直线l上任意一点，则的最小值为 ． （23-24高二上·上海松江·期末） 16．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$