微点进阶讲义 ：两圆关系-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题三 直线与圆的方程 微点11  悲欢离合：两圆关系 圆与圆的位置关系是平面几何中的一个重点和难点，这种关系既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画．本专题从以下三个角度进行探究： 1、位置关系判定与应用； 2、公共弦有关问题； 3、公切线有关问题. 对于位置关系的判定，可以从方程的角度计算，也可以通过几何方法研究圆心距判定；对于公共弦问题，通过两圆方程作差得出公共弦方程，进而研究与其相关的计算；对于公切线问题，在研究位置关系的基础上，结合切线长定理等进行解决. 探究一　位置关系判定与应用 【典例1】已知，圆：，圆：．当为何值时： ①圆与圆外离；②圆与圆外切； ③圆与圆相交；④圆与圆内切；⑤圆与圆内含． 【思路引导】求出两圆的圆心和半径，比较连心线的距离和两圆半径的和或差，确定两圆的位置关系． 【详细解析】圆：，圆心，半径是3；圆：，圆心，半径是2． ①因为圆与圆外离，所以， 所以，解得或．故当或时，圆与圆外离． ②因为圆与圆外切，所以， 所以，解得或，故当或时，圆与圆外切． ③因为圆与圆相交，所以， 所以解得或， 所以当或时，圆与圆相交． ④因为圆与圆内切，所以， 所以，解得或．故当或时，圆与圆内切． ⑤因为圆与圆内含，所以， 所以，解得，所以当时，圆与圆内含． 【题后反思】圆和圆的5种位置关系：相离、外切、相交、内切、内含． 判断圆与圆的位置关系常用几何法．设圆：，圆心为，半径为；设圆：，圆心为，半径为．则：①两圆相离；②两圆外切；③两圆相交；④两圆内切；⑤两圆内含． 【举一反三】 1．已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意设出动圆圆心坐标,分外切和内切两种情况讨论,列出符合题意的方程化简即可. 【详解】解:由题不妨设动圆圆心为, 若动圆与已知圆外切, 则, , 若动圆与已知圆内切, 则, . 故选：D （24-25高二上·江苏泰州·阶段练习） 2．已知点在圆上，点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】通过确定点轨迹，再由两圆位置关系即可求解. 【详解】设点，则， 得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆， 又点在圆上， 两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点有2个. 故选：B. 【典例2】在平面直角坐标系中，直线：，圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，且在圆:上，则圆心的横坐标的取值范围是（    ） A．    B． C．    D． 【思路引导】利用点M在两个圆上即圆有公共点结合圆心距计算即可. 【详细解析】点既在圆上，又在圆上，所以圆和圆有公共点，圆 的圆心为 ，半径为1，圆的圆心为 ，半径为2，则圆心距 ，满足 ，解得： ，故选B. 【题后反思】巧妙的考查了两圆的位置关系，两圆相离： ；两圆相交： ；两圆内含： ，两圆相外切： ；两圆内切： ，尤其是相交时要注意不等式是两边，很多同学会忘记左边，切记. 【举一反三】 3．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，可得圆心到的距离为5，得到圆上的点到点的距离的最大值为6，最小值为4，再由，可得，从而得到的取值范围，结合选项得答案 【详解】解：圆的圆心，半径为1， 因为圆心到的距离为5，所以圆上的点到点的距离的最大值为6，最小值为4， 因为圆上存在点，使得，所以以为直径的圆与圆有交点， 所以，所以， 所以选项BC符合题意， 故选：BC 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，解题的关键是求出圆上的点到点的距离的最大值为6，最小值为4，再由圆上存在点，使得，得以为直径的圆与圆有交点，从而可求出，考查转化思想，属于中档题 探究二　公共弦有关问题 【典例3】已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（    ） A．0    B．1    C．2    D．3 【思路引导】根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为， 两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的. 【详细解析】公共弦的方程为，所以有，②正确； 又，所以，①正确； 的中点为直线与直线的交点，又 ， . 由 得，故有，③正确， 综上，选D. 【题后反思】当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算. 【举一反三】 4．已知圆，圆的圆心为，若圆与圆交于两点，且，则圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设出圆的方程，利用圆到公共弦方程的距离，的半径半弦长满足的勾股定理，求出，即可得到结果． 【详解】设圆的方程为：①，圆方程：②， ②①得， 即圆与圆的公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦的距离， 又，即，解得或， 故圆的方程为或． 故选：BD 【典例4】已知动点在圆：上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则（    ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】由圆的轴对称的性质，当且仅当圆心与点及点三点共线时，点到两圆的公共弦的距离取得最大（小）值 ，通过求出点坐标及圆的方程，与圆联立求得直线的方程，利用点到直线距离公式即得. 【详细解析】 如图过点作一条直径交圆于点，以点为圆心，经过点的圆交圆于， 以点为圆心，经过点的圆交圆于，因到直线的距离为，当点与点重合时，取得最小值， 当与点重合时，取得最大值.下面分别求这两个值. 由图知直线的方程为，代入，可解得：， 易知圆的半径即，故得圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：，于是. 同法可得：圆的半径即，故圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：， 于是. 故有： 故选：C. 【题后反思】本题考查相交两圆的公共弦方程，点到直线的距离公式，以及已知一点和圆心求圆的方程等知识点.解题关键在于能利用圆的对称性特征，判断出两个距离最值取得时点的位置是与点三点共线时，然后分别计算即得. 【举一反三】 5．已知圆：与圆：相交于，两点，则（    ） A．的面积为 B．直线的方程为 C．在经过，两点的所有圆中，的面积最小 D．若是圆和圆边界及内部的一点，则 【答案】BC 【分析】根据题意两圆方程作差即可得到直线的方程，即可判断B，且根据圆心的坐标可得为圆的直径，即可判断AC,然后将转化为点与圆上及圆内斜率的范围，结合图形即可判断D. 【详解】 因为圆：与圆： 两圆作差可得 即直线的方程为，故B正确； 且圆：，即，即圆心, 半径，所以圆心在直线的方程上， 所以在经过，两点的所有圆中，的面积最小，故C正确； 且，又圆：，即，即圆心，半径，即到直线的距离 所以，故A错误； 设，过点的直线与相切于点，过点的直线与相切于点， 显然直线的斜率存在且不为0，设的斜率为 则直线， 所以 求得或（舍） 同理设直线的斜率为 则直线 即 求得或（舍） 所以或，故D错误 故选:BC. 探究三　公切线有关问题 【典例5】已知与，则下列说法正确的是（    ） A．与有2条公切线 B．当时，直线是与的公切线 C．若分别是与上的动点，则的最大值是3 D．过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是 【思路引导】根据圆心距和半径之间的关系可判断A；计算圆心到直线的距离可判断B；结合两圆外切求得的最大值判断C；求出弦长即可求得四边形的面积判断D. 【详细解析】由题意知的圆心，半径的圆心，半径，所以， 所以与相外切，有3条公切线，错误； 当时，点到直线的距离， 即与相切； 点到直线的距离， 即与相切； 所以直线是与的公切线，正确； 由于与相外切，故的最大值为，C错误； 连接，则， 根据勾股定理可得， 所以四边形的面积，D正确. 故选：BD. 【题后反思】解答本题的关键是明确两圆的位置关系，即判断出两圆外切，则圆的公切线问题即可解决. 【举一反三】 6．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆外切，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 D．若两圆有三条公切线，则 【答案】ABC 【解析】根据两圆外切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，，半径分别为， 所以圆心距为5， 若两圆外切，则，，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误； 当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到， 所以公共弦所在的直线方程为， 所以，解得，故B正确； 因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心， 所以两圆圆心距，两圆半径必构成一个直角三角形，故，解得，故C正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：两圆的位置关系可通过圆心距与半径之间的关系确定，两圆的公共弦所在直线的方程可利用两圆方程作差求解，当两圆的交点处的切线垂直时，一个圆的切线必过另一个圆的圆心. 【典例6】如图，点是圆上一动点，过点P作圆O的切线l与圆交于A，B两点，已知当直线l过圆心时，． （1）求a的值； （2）当线段AB最短时，求直线l的方程； （3）问：满足条件的点P有几个？请说明理由． 【思路引导】（1）依题意计算 ，可得结果； （2）解法1(代数法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d的最大值即可得结果； 解法2(几何法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解； （3）采用分类讨论，O1，O 在直线 AB 同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得，并得或计算即可判断． 【详细解析】（1）当直线l过圆心点O1时， ， 解得a＝3(负值舍去)． （2）解法1(代数法)：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为， 且 ， 所以圆心到直线l的距离 ， 记z＝3x0+4y0，则直线与圆 有公共点， 所以圆心(0，0)到直线的距离 ，所以， 所以当时，dmax＝8，此时弦长 最短， 由，解得， 所以直线l 的方程为 3x+4y+15＝0． 解法2(几何法)：如图，过 O1 作 O1M⊥AB，则 M 为弦 AB 的中点，设 d＝|O1M|， 当|O1M|最长时，弦长|AB|最短， 因为， 当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值， 此时， 因为 ， 所以直线 OO1 的方程为 ， 由， 解得(P点在第 3 象限) 所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0． （3）因为， 所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t(t＞0)， 所以|AB|＝4t， 所以 ①， (i)如图，当O1，O 在直线 AB 同侧时， ②， 由①②得d＝6 或 d＝2， 当d＝6 时，直线 AB 可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个， d＝2 时，直线 AB 可看作是圆 与圆 的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个， (ii)如图，当O1，O 在直线 AB 异侧时， ，③ 由①③可得或 (舍)，满足条件的P点不存在， 综上，满足条件的点P共有4个． 附：当d＝6 时 ， 即， 由 解得P(﹣3，0)或 ， 当d＝2 时 ， 即， 由， 解得或 或 ( 舍去 )． 【题后反思】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及其判定，涉及两圆的公切线问题，与圆有关的最值问题，要注意考虑到各种不同的情况，避免遗漏，又要注意检验取舍，仔细认真计算. 【举一反三】 7．图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆周角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意画出相应的图，弧上的点与圆上的点的最短距离即为圆心距减去两圆半径，找出圆心距的最大值即可. 【详解】    如图，弧的中点为， 弧所对的圆周角为，则弧所对的圆心角为， 圆的半径为， 在弧上取两点、，则， 分别过点、作圆的切线，并交直线于点， 当过点、的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点、，使过点、的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点， 过点，分别向、作垂线，垂足为、， 则即为圆的半径， 此时圆与圆皆满足题意：弧上存在四点、、、，过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切. 线段交圆于点， 则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在直角中，， ， 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故选：. 8．在坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为1的直线共有条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】转化为求圆A（圆心为A，半径为2）与圆B（圆心为B，半径为1）公切线的条数，再根据圆A与圆B位置关系即得结果. 【详解】设， 则所求直线为圆A与圆B的公切线， 因为，所以圆A与圆B外离，所以圆A与圆B的公切线有4条，即满足条件的直线有4条，选A. 【点睛】本题考查圆与圆位置关系以及公切线，考查综合分析转化与求解能力，属中档题. 9．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为 A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦也是以为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形能构成矩形的个数为无数个． 【详解】解：如图所示，任取圆上一点Q，以为直径画圆，交圆与两点， 设，则中点坐标， 有， 以为直径的圆的方程为， 即， 用的方程减去以为直径的圆的方程，可得公共弦所在的直线方程， 即， 将中点坐标代入上式得： 左边= 右边， 所以公共弦也是以为直径的圆的直径， 则， 根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形是矩形， 由的任意性知，四边形能构成无数个矩形， 故选D． 【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题 （23-24高二上·河南·期中） 10．圆与圆的交点为、，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．两圆圆心距 C．线段中垂线的方程为 D．公共弦的长为 【答案】ABC 【分析】将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，可判断A选项；求出两圆圆心距，可判断B选项；利用等腰三角形的几何性质可判断C选项；利用勾股定理求出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以，公共弦所在直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 两圆圆心距为，B对； 对于C选项，连接、、、、，如下图所示： 因为，所以，线段的垂直平分线即为的底边的高所在的直线， 且直线的方程为，故线段的垂直平分线所在直线方程为，即，C对； 对于D选项，圆心到直线的距离为， 所以，，D错. 故选：ABC. （23-24高二上·黑龙江大庆·期中） 11．已知圆与圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心恒在直线上 B．若圆经过圆的圆心，则圆的半径为 C．当时，圆与圆有条公切线 D．当时，圆与圆的公共弦长为 【答案】BC 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此即可判断A；将圆的圆心坐标代入圆的方程即可求出参数，从而可得圆的半径，由此即可判断B；判断此时两圆的位置关系即可判断C；先求出公共弦方程，然后由圆的弦长公式计算判断D即可. 【详解】，即， 所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项A错误 因为的圆心为在圆上，所以，解得，所以的半径为，故选项B正确； 当时，圆：，圆心为，半径为， 此时圆与圆的圆心距，即大于两圆半径和， 所以圆与圆外离，圆与圆有条公切线，故选项C正确； 当时，圆，圆，两圆相交， 公共弦方程为，圆的圆心到公共弦的距离， 所以圆与圆的公共弦长为，故选项D错误， 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：对于ABD选项的判断比较常规，关键是判断C时，只需要判断两圆的位置关系即可. 12．圆与圆的公共弦长的最大值是 ． 【答案】2 【分析】将两圆分别化为标准方程，得到它们圆心和半径，圆心都在直线上运动，半径分别为1和，两圆相交弦经过半径较小圆的圆心时，公共弦长达到最大值，由此得到答案． 【详解】解：圆化成标准形式为， 得， 所以该圆是以为圆心，半径为1的圆； 圆化成标准形式为， 得， 所以该圆是以为圆心，半径为的圆； 两圆的圆心都在直线上运动， 当两圆相交且相交弦经过小圆的圆心时，弦长最大，此时弦长为2. 即两圆公共弦长的最大值为2. 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化、求公共弦长的最大值、圆与圆的位置关系等问题，解题时应注意熟练综合应用这些知识，属于中档题． （24-25高二上·江西抚州·阶段练习） 13．已知圆的圆心为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程： (2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，时满足题意 【分析】（1）根据点到直线的距离公式结合直线与圆相切的条件求出半径即可得圆的方程； （2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）设圆的半径为， 圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径， 即， 所以圆的方程为. （2）圆：的圆心为，半径为， 两个圆有公共弦，则， 即，解得， 由得两圆公共弦所在直线方程为， 又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为 ，且，即， 所以，解得或， 又，所以，经检验符合题意， 故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2. （24-25高二·上海·随堂练习） 14．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一知的欧拉线即为的垂直平分线，根据与直线垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程； （2）由直线与圆相切得到圆的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上， 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直， 由、可得：的中点，即， 由，得，故的方程为即； （2）因为与圆M：相切，故圆心，， 圆的圆心坐标为，半径， 则要想圆M与圆有公共点，则两圆外切、相交或内切， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值， 即，故，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 直线与圆的方程 微点11  悲欢离合：两圆关系 圆与圆的位置关系是平面几何中的一个重点和难点，这种关系既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画．本专题从以下三个角度进行探究： 1、位置关系判定与应用； 2、公共弦有关问题； 3、公切线有关问题. 对于位置关系的判定，可以从方程的角度计算，也可以通过几何方法研究圆心距判定；对于公共弦问题，通过两圆方程作差得出公共弦方程，进而研究与其相关的计算；对于公切线问题，在研究位置关系的基础上，结合切线长定理等进行解决. 探究一　位置关系判定与应用 【典例1】已知，圆：，圆：．当为何值时： ①圆与圆外离；②圆与圆外切； ③圆与圆相交；④圆与圆内切；⑤圆与圆内含． 【思路引导】求出两圆的圆心和半径，比较连心线的距离和两圆半径的和或差，确定两圆的位置关系． 【详细解析】圆：，圆心，半径是3；圆：，圆心，半径是2． ①因为圆与圆外离，所以， 所以，解得或．故当或时，圆与圆外离． ②因为圆与圆外切，所以， 所以，解得或，故当或时，圆与圆外切． ③因为圆与圆相交，所以， 所以解得或， 所以当或时，圆与圆相交． ④因为圆与圆内切，所以， 所以，解得或．故当或时，圆与圆内切． ⑤因为圆与圆内含，所以， 所以，解得，所以当时，圆与圆内含． 【题后反思】圆和圆的5种位置关系：相离、外切、相交、内切、内含． 判断圆与圆的位置关系常用几何法．设圆：，圆心为，半径为；设圆：，圆心为，半径为．则：①两圆相离；②两圆外切；③两圆相交；④两圆内切；⑤两圆内含． 【举一反三】 1．已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B．或 C． D．或 （24-25高二上·江苏泰州·阶段练习） 2．已知点在圆上，点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【典例2】在平面直角坐标系中，直线：，圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，且在圆:上，则圆心的横坐标的取值范围是（    ） A．    B． C．    D． 【思路引导】利用点M在两个圆上即圆有公共点结合圆心距计算即可. 【详细解析】点既在圆上，又在圆上，所以圆和圆有公共点，圆 的圆心为 ，半径为1，圆的圆心为 ，半径为2，则圆心距 ，满足 ，解得： ，故选B. 【题后反思】巧妙的考查了两圆的位置关系，两圆相离： ；两圆相交： ；两圆内含： ，两圆相外切： ；两圆内切： ，尤其是相交时要注意不等式是两边，很多同学会忘记左边，切记. 【举一反三】 3．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 探究二　公共弦有关问题 【典例3】已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（    ） A．0    B．1    C．2    D．3 【思路引导】根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为， 两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的. 【详细解析】公共弦的方程为，所以有，②正确； 又，所以，①正确； 的中点为直线与直线的交点，又 ， . 由 得，故有，③正确， 综上，选D. 【题后反思】当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算. 【举一反三】 4．已知圆，圆的圆心为，若圆与圆交于两点，且，则圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【典例4】已知动点在圆：上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则（    ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】由圆的轴对称的性质，当且仅当圆心与点及点三点共线时，点到两圆的公共弦的距离取得最大（小）值 ，通过求出点坐标及圆的方程，与圆联立求得直线的方程，利用点到直线距离公式即得. 【详细解析】 如图过点作一条直径交圆于点，以点为圆心，经过点的圆交圆于， 以点为圆心，经过点的圆交圆于，因到直线的距离为，当点与点重合时，取得最小值， 当与点重合时，取得最大值.下面分别求这两个值. 由图知直线的方程为，代入，可解得：， 易知圆的半径即，故得圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：，于是. 同法可得：圆的半径即，故圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：， 于是. 故有： 故选：C. 【题后反思】本题考查相交两圆的公共弦方程，点到直线的距离公式，以及已知一点和圆心求圆的方程等知识点.解题关键在于能利用圆的对称性特征，判断出两个距离最值取得时点的位置是与点三点共线时，然后分别计算即得. 【举一反三】 5．已知圆：与圆：相交于，两点，则（    ） A．的面积为 B．直线的方程为 C．在经过，两点的所有圆中，的面积最小 D．若是圆和圆边界及内部的一点，则 探究三　公切线有关问题 【典例5】已知与，则下列说法正确的是（    ） A．与有2条公切线 B．当时，直线是与的公切线 C．若分别是与上的动点，则的最大值是3 D．过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是 【思路引导】根据圆心距和半径之间的关系可判断A；计算圆心到直线的距离可判断B；结合两圆外切求得的最大值判断C；求出弦长即可求得四边形的面积判断D. 【详细解析】由题意知的圆心，半径的圆心，半径，所以， 所以与相外切，有3条公切线，错误； 当时，点到直线的距离， 即与相切； 点到直线的距离， 即与相切； 所以直线是与的公切线，正确； 由于与相外切，故的最大值为，C错误； 连接，则， 根据勾股定理可得， 所以四边形的面积，D正确. 故选：BD. 【题后反思】解答本题的关键是明确两圆的位置关系，即判断出两圆外切，则圆的公切线问题即可解决. 【举一反三】 6．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆外切，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 D．若两圆有三条公切线，则 【典例6】如图，点是圆上一动点，过点P作圆O的切线l与圆交于A，B两点，已知当直线l过圆心时，． （1）求a的值； （2）当线段AB最短时，求直线l的方程； （3）问：满足条件的点P有几个？请说明理由． 【思路引导】（1）依题意计算 ，可得结果； （2）解法1(代数法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d的最大值即可得结果； 解法2(几何法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解； （3）采用分类讨论，O1，O 在直线 AB 同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得，并得或计算即可判断． 【详细解析】（1）当直线l过圆心点O1时， ， 解得a＝3(负值舍去)． （2）解法1(代数法)：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为， 且 ， 所以圆心到直线l的距离 ， 记z＝3x0+4y0，则直线与圆 有公共点， 所以圆心(0，0)到直线的距离 ，所以， 所以当时，dmax＝8，此时弦长 最短， 由，解得， 所以直线l 的方程为 3x+4y+15＝0． 解法2(几何法)：如图，过 O1 作 O1M⊥AB，则 M 为弦 AB 的中点，设 d＝|O1M|， 当|O1M|最长时，弦长|AB|最短， 因为， 当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值， 此时， 因为 ， 所以直线 OO1 的方程为 ， 由， 解得(P点在第 3 象限) 所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0． （3）因为， 所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t(t＞0)， 所以|AB|＝4t， 所以 ①， (i)如图，当O1，O 在直线 AB 同侧时， ②， 由①②得d＝6 或 d＝2， 当d＝6 时，直线 AB 可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个， d＝2 时，直线 AB 可看作是圆 与圆 的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个， (ii)如图，当O1，O 在直线 AB 异侧时， ，③ 由①③可得或 (舍)，满足条件的P点不存在， 综上，满足条件的点P共有4个． 附：当d＝6 时 ， 即， 由 解得P(﹣3，0)或 ， 当d＝2 时 ， 即， 由， 解得或 或 ( 舍去 )． 【题后反思】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及其判定，涉及两圆的公切线问题，与圆有关的最值问题，要注意考虑到各种不同的情况，避免遗漏，又要注意检验取舍，仔细认真计算. 【举一反三】 7．图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆周角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 8．在坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为1的直线共有条 A．4 B．3 C．2 D．1 9．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为 A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 （23-24高二上·河南·期中） 10．圆与圆的交点为、，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．两圆圆心距 C．线段中垂线的方程为 D．公共弦的长为 （23-24高二上·黑龙江大庆·期中） 11．已知圆与圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心恒在直线上 B．若圆经过圆的圆心，则圆的半径为 C．当时，圆与圆有条公切线 D．当时，圆与圆的公共弦长为 12．圆与圆的公共弦长的最大值是 ． （24-25高二上·江西抚州·阶段练习） 13．已知圆的圆心为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程： (2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由. （24-25高二·上海·随堂练习） 14．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$