专题3.4 实数的运算（课堂同步）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题3.4.实数的运算 1、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立； 2、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算； 3、能用计算器按相关要求进行实数的运算。 1 考点1.实数的混合运算 1 考点2.程序设计与实数运算 3 考点3.新定义下的实数运算 4 考点4.实数运算的规律探究问题 6 考点5.实数运算的实际应用 7 考点6.用计算器进行实数的相关运算 9 10 考点1.实数的混合运算 1）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。同级运算按照从左到右顺序进行。 2）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。 3）实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）。 例1．（24-25七年级下·山西朔州·期中）计算： (1)； (2)． 例2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)；(2)；(3)． 变式1．（24-25九年级上·重庆忠县·期中） ． 变式2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）计算：． 变式3．（24-25七年级下·天津南开·期中）计算：(1) (2) 考点2.程序设计与实数运算 程序设计与实数运算的实现技巧可分为数据类型处理、运算优化、误差控制三个维度。 例1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 变式1．（24-25七年级下·山东·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（    ） A．1 B． C． D．2 变式2．（24-25七年级下·广东·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ． 考点3.新定义下的实数运算 新定义实数运算通常基于传统运算规则进行扩展或约束，需重点关注规则重构与思维转换。 （1）规则重构下的运算律应用 1）‌符号优先级重置：若新定义中修改运算优先级（如将加法定义为高于乘法），需重构表达式逻辑结构。 2）‌运算律逆向验证‌：新定义可能打破传统运算律（如交换律、结合律）。 3）分配律扩展使用‌：‌当新定义引入复合运算符（如混合加减乘除非标组合），需用分配律拆分复杂表达式。 （2）解题思维转换技巧 1）观察结构优先‌：‌快速识别新定义中的关键限制条件（如禁用数字拼接、强制使用全部数字等），通过路径定位缩短解题时间。 2）分步逆向推导‌：‌从目标结果反向推导操作步骤。 3）‌边界条件筛选‌：‌排除无效运算组合。 例1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 例2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 变式1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 变式2．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 考点4.实数运算的规律探究问题 二次根式规律探究需综合运用化简技巧与代数变形策略，重点通过观察结构特征和建立通项模型解决问题。 例1．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ． 变式2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 考点5.实数运算的实际应用 实数运算的核心作用是‌将平方和立方关系还原为线性关系‌，常用于数学教学中解释面积或体积与边长的关系。通过上述方法，可系统解决几何、物理统计等领域的实际问题。 例1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 变式2．（24-25七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 考点6.用计算器进行实数的相关运算 能用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求用计算器得到结果近似值 例1．（2025七年级上·浙江·专题练习）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 变式2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 4.（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）计算： ． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）计算： ． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期末） ．（结果精确到0.1） 7．（2025七年级下·重庆·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 8．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 7．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）定义新运算：规定，则 ． 9．（24-25七年级下·广西河池·期中）定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ． 10．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 11．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定，(1)___，___，___； (2)___． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：(1)；(2)． 13．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）．（2） 14．（24-25七年级下·广东阳江·期中）计算：（1）．（2）． 15．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：（1）．（2）． 16．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）（2） 17．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）计算：(1) (2) 18．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算：(1) (2) 19．（24-25七年级下·重庆·广东）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数，所以也是有理数． 因为是无理数，所以，即，所以． 根据阅读材料，解决问题：设都是有理数，且满足，求的值． 20．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如：。(1)根据定义，______．(2)求的平方根． 21．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________．（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 22．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 23．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 24．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式：…… 根据以上规律，解决下列问题：(1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4.实数的运算 1、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立； 2、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算； 3、能用计算器按相关要求进行实数的运算。 1 考点1.实数的混合运算 1 考点2.程序设计与实数运算 3 考点3.新定义下的实数运算 4 考点4.实数运算的规律探究问题 6 考点5.实数运算的实际应用 7 考点6.用计算器进行实数的相关运算 9 10 考点1.实数的混合运算 1）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。同级运算按照从左到右顺序进行。 2）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。 3）实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）。 例1．（24-25七年级下·山西朔州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ， ； （2） ． 例2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)4 (2)3 (3) 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 变式1．（24-25九年级上·重庆忠县·期中） ． 【答案】 【详解】解；，故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 变式3．（24-25七年级下·天津南开·期中）计算：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点2.程序设计与实数运算 程序设计与实数运算的实现技巧可分为数据类型处理、运算优化、误差控制三个维度。 例1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：当时：输入8：，输入2：，输出；故；故选B． 变式1．（24-25七年级下·山东·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得，由于是无理数，所以输出的值是．故选：B． 变式2．（24-25七年级下·广东·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ． 【答案】 【详解】解：，∵8不是无理数，∴，∵2不是无理数，∴2的算术平方根式， ∵是无理数，∴，故答案为：． 考点3.新定义下的实数运算 新定义实数运算通常基于传统运算规则进行扩展或约束，需重点关注规则重构与思维转换。 （1）规则重构下的运算律应用 1）‌符号优先级重置：若新定义中修改运算优先级（如将加法定义为高于乘法），需重构表达式逻辑结构。 2）‌运算律逆向验证‌：新定义可能打破传统运算律（如交换律、结合律）。 3）分配律扩展使用‌：‌当新定义引入复合运算符（如混合加减乘除非标组合），需用分配律拆分复杂表达式。 （2）解题思维转换技巧 1）观察结构优先‌：‌快速识别新定义中的关键限制条件（如禁用数字拼接、强制使用全部数字等），通过路径定位缩短解题时间。 2）分步逆向推导‌：‌从目标结果反向推导操作步骤。 3）‌边界条件筛选‌：‌排除无效运算组合。 例1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【详解】解：．故选：A． 例2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，由于x和y为两个连续正整数，， ∴，，∴∴的算术平方根为4，故选：C． 变式1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 【答案】9 【详解】解：∵对于任意实数，，都有， ∴，故答案为：9． 变式2．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作： 这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对130进行两次操作后的结果为3； ②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1； ③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴，故①正确； 设n为一个正整数，则，即， ∴对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，故②正确； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s， ∵正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，∴正整数进行4次操作后变为1， ∴，∴．∴，∴∴．∴， 同理可得，∴∵是正整数．∴的最大值为65535．故③不正确；故选：B。 考点4.实数运算的规律探究问题 二次根式规律探究需综合运用化简技巧与代数变形策略，重点通过观察结构特征和建立通项模型解决问题。 例1．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是．故选B． 变式1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ． 【答案】 【详解】解：由，，…， 故第n个式子为．故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ，，，则．故答案为：73． 考点5.实数运算的实际应用 实数运算的核心作用是‌将平方和立方关系还原为线性关系‌，常用于数学教学中解释面积或体积与边长的关系。通过上述方法，可系统解决几何、物理统计等领域的实际问题。 例1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)，(2)圆的周长较小 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为，由题意得，，， ，，故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，，∴圆的周长较小． 变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ． 【答案】6 【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积， ∴，∴故答案为：6． 变式2．（24-25七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：，即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：，即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵，∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低，∴作为投资商，会选择建圆形花园． 考点6.用计算器进行实数的相关运算 能用计算器进行实数的运算，近似计算时按题目的要求用计算器得到结果近似值 例1．（2025七年级上·浙江·专题练习）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 变式1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 变式2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 【答案】5 【详解】解：依题意得：，故答案为：5． 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【详解】∵∴∴ ∴∴∴．故选：C． 3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第n（n是整数，且）行从左向右数第个数为，故选：A 4.（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期末） ．（结果精确到0.1） 【答案】5.1 【详解】解：在计算器上依次按键，25.7，，显示5.069516742，可得，故答案为：5.1． 7．（2025七年级下·重庆·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵输出的数是，∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是，故x的值为，故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 【答案】 【详解】解：∵∴与是关于6的“如意数”．故答案为：． 7．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）定义新运算：规定，则 ． 【答案】68 【详解】解：根据新运算，在中，， ∴将，，代入新运算公式可得：．故答案：68． 9．（24-25七年级下·广西河池·期中）定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，∴， ∴m能取得的最大整数为，故答案为：． 10．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数为，故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定，(1)___，___，___； (2)___． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：用符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，如图所示， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ，故答案为：； （2）解：， ∴， ， ， ∴，故答案为：． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)6(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）．（2） 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（24-25七年级下·广东阳江·期中）计算：（1）．（2）． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解： ． （2）解： 15．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算：（1）．（2）． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 16．（24-25七年级下·广东珠海·期中）计算：（1）（2） 【答案】（2）（2） 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算：(1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） ． 19．（24-25七年级下·重庆·广东）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数，所以也是有理数． 因为是无理数，所以，即，所以． 根据阅读材料，解决问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【详解】解：因为，所以， 所以． 因为都是有理数，所以也是有理数． 因为是无理数，所以，解得， 当时，，当时，．综上所述，的值为7或． 20．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如：。(1)根据定义，______．(2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 21．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________．（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【详解】解：（1），故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为，则作图如下： . 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 22．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 【答案】(1)，6，2(2)当时，，当时，，(3) 【详解】（1）解：∵，∴ ∵，即：，∴； ∵，，∴．故答案为：，6，2 （2）∵n为整数，，∴， 当时，，当时，， （3）由（2）得 ，， ∴∴． 23．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 24．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式：…… 根据以上规律，解决下列问题：(1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：，故答案为：； （2）解：∵第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：，， ∴第n个等式是：，故答案为：； （3）解：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$