1.2.1 有理数的概念【暑假研习讲义】-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

第一章 有理数 1.2.1有理数的概念 模块导引： 学习目标 知识精讲 考点解析 课后作业 1. 掌握有理数定义（整数和分数的统称）。 2. 能对有理数分类，准确判断数的类别。 一：有理数的概念 1.概 念：整数和分数统称有理数. 2.整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 3.分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 二：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 考点一：有理数概念的理解 例题1．（22-23七年级上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 变式1-1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在，，，0，，（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1-2．（24-25七年级下·重庆大足·期末）在下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-4．（19-20七年级上·新疆·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 考点二：0的意义 例题2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 变式2-1．（22-23七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 变式2-4．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 考点三：有理数的分类 例题3．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）下列数是负整数的是（   ） A．2 B．0 C． D． 变式3-2．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）下列各数中是负整数的是（　　） A．0 B．2 C． D． 变式3-4．（2025·河南南阳·二模）下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 考点四：带“非”字的有理数 例题4．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式4-1．（24-25七年级上·山东济南·期中）在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）在中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式4-3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列有理数：，其中非负有理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个数中，属于正整数的是（    ） A． B．0 C．3 D． 4．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 5．下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．实数，，，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列各实数中，属于负数的是（   ） A． B．1 C．0 D． 9．在，，，，，，，这几个数中，正数有（   ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．在这四个数中，整数共有 个． 12．下列各数，，0，21，，，中，属于分数的有 ．（填入符合条件的数） 13．在，3，，0，，，中，负数有 个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 1.2.1有理数的概念 模块导引： 学习目标 知识精讲 考点解析 课后作业 1. 掌握有理数定义（整数和分数的统称）。 2. 能对有理数分类，准确判断数的类别。 一：有理数的概念 1.概 念：整数和分数统称有理数. 2.整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 3.分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 二：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 考点一：有理数概念的理解 例题1．（22-23七年级上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的基本概念． 根据有理数的基本概念逐一分析即可． 【详解】解：A：当为负数时，为正数，故原说法错误； B：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确； C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误； D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误； 故选：B． 变式1-1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在，，，0，，（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义进行判定即可． 【详解】解：有理数为，， 0，， 故选A． 变式1-2．（24-25七年级下·重庆大足·期末）在下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据有理数（能表示为两个整数之比，包含整数、有限小数、无限循环小数 ）和无理数（无限不循环小数 ）的定义，逐一判断选项中的数所属类型．本题主要考查了有理数与无理数的定义，熟练掌握有理数（可表示为两整数之比，含整数、有限小数、无限循环小数 ）和无理数（无限不循环小数 ）的定义是解题的关键． 【详解】有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数． 选项A：（圆周率）是无限不循环小数，不属于有理数． 选项B：是分数，符合有理数的定义． 选项C：是无限不循环小数（如），不属于有理数． 选项D：是3的立方根，无法表示为整数之比（如），不属于有理数． 综上，只有选项B是有理数． 故选：B 变式1-3．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【详解】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 变式1-4．（19-20七年级上·新疆·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 考点二：0的意义 例题2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 变式2-1．（22-23七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数的意义，根据正数与负数的性质及的意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为℃，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：A． 变式2-2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 变式2-3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 变式2-4．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 考点三：有理数的分类 例题3．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正整数，熟练掌握正整数的定义是解题的关键． 根据正整数的定义进行判断即可． 【详解】解：正整数需满足正数以及整数， 是负数不符合题意； 0既不是正数也不是负数，不符合题意； 1是正整数； 不是整数，不符合题意； 故正整数有1个． 故选：A． 变式3-1．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）下列数是负整数的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】本题考查负整数的定义，根据负整数的定义：负整数是指既是负数又是整数的数，判断各选项是否同时满足负数和整数两个条件即可． 【分析】解：A：2是正整数，不符合负数条件，排除； B：0既不是正数也不是负数，排除； C：是负数且没有小数部分，属于负整数，符合条件； D：是负数，但含有小数部分，属于负分数而非整数，排除； 故选：C． 变式3-2．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了负整数的定义，即正整数前加负号；根据负整数的定义，需满足两个条件：①是负数；②是整数；逐一判断各数是否符合条件即可． 【详解】解：1.7是正数且含小数部分，不符合负整数条件； 是负数，且无小数或分数部分，是负整数； 0既不是正数也不是负数，不符合； 是带分数形式，含分数部分，不是整数； 是负小数，但非整数； 是分数，化简为，含小数部分，非整数； 综上，只有是负整数，共1个； 故选：A． 变式3-3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）下列各数中是负整数的是（　　） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负整数的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、0不是负整数，不符合题意； B、2是正整数，不是负整数，不符合题意； C、是负数，不是负整数，不符合题意； D、是负整数，符合题意； 故选：D． 变式3-4．（2025·河南南阳·二模）下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，即有理数可分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和零，分数分为正分数和负分数，熟练掌握有理数的分类方式是解题关键． 根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 考点四：带“非”字的有理数 例题4．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查有理数分类，非负整数识别等．根据题意可知非负整数包括0和正整数，继而得到本题答案． 【详解】解：∵非负整数有：0，2、3、4， ∴共有4个， 故选：C． 变式4-1．（24-25七年级上·山东济南·期中）在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．非负数即和正数，据此进行判断即可． 【详解】解：在，，，，中，非负数是，，，共有个， 故选：A． 变式4-2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）在中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数的定义，明确既不是负数，又是整数的数是非负整数即可求解． 【详解】解：在中，非负整数有，共两个， 故选：C． 变式4-3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列有理数：，其中非负有理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类、非负有理数等知识点，掌握非负有理数是大于等于0的数成为解题的关键． 根据非有理数的定义逐个判断，然后再统计即可解答． 【详解】解：有理数，其中非负有理数有，共5个． 故选D． 变式4-4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 一、单选题 1．下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【详解】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 2．在下列四个数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据有理数（能表示为两个整数之比，包含整数、有限小数、无限循环小数 ）和无理数（无限不循环小数 ）的定义，逐一判断选项中的数所属类型．本题主要考查了有理数与无理数的定义，熟练掌握有理数（可表示为两整数之比，含整数、有限小数、无限循环小数 ）和无理数（无限不循环小数 ）的定义是解题的关键． 【详解】有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数． 选项A：（圆周率）是无限不循环小数，不属于有理数． 选项B：是分数，符合有理数的定义． 选项C：是无限不循环小数（如），不属于有理数． 选项D：是3的立方根，无法表示为整数之比（如），不属于有理数． 综上，只有选项B是有理数． 故选：B 3．下列四个数中，属于正整数的是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正整数的概念，熟知大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键． 【详解】解：这四个数中，属于正整数的是3， 故选：C． 4．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 5．下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，即有理数可分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和零，分数分为正分数和负分数，熟练掌握有理数的分类方式是解题关键． 根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【详解】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 7．实数，，，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：实数，，，中，负数有，，共2个， 故选：B． 8．下列各实数中，属于负数的是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是负数的定义，根据负数的定义进行判断，并且正数都大于0，负数都小于0，即可得到正确的选项． 【详解】解：A、，是正数，故不符合题意； B、，是正数，故不符合题意； C、0既不是正数也不是负数，故不符合题意； D、，是负数，故符合题意． 故选：D． 9．在，，，，，，，这几个数中，正数有（   ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了正数．根据正数大于0，负数小于0判断即可． 【详解】解：在，，，，，，七个数中，正数有，，，共4个． 故选：B． 10．下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法解答即可，解题的关键是熟练掌握有理数的分类方式，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：、是负分数，故不符合题意； 、既不是正整数也不是负整数，故不符合题意； 、是负整数，符合题意； 、是正整数，故不符合题意； 故选：． 二、填空题 11．在这四个数中，整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值， 先求出，再根据整数包括正整数，0，负整数解答即可． 【详解】解：因为， 所以整数有， 一共有3个． 故答案为：3． 12．下列各数，，0，21，，，中，属于分数的有 ．（填入符合条件的数） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数分类，掌握整数、0、正数之间的区别以及有限小数属于分数是解题的关键． 根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：与都是有限小数，可以化为分数，属于分数；0、21、、都是整数；虽然具有分数的形式，但分子中的不是有理数，不是分数．综上属于分数的有，． 故答案为：． 13．在，3，，0，，，中，负数有 个． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的分类，根据负数是小于0的数进行解答即可． 【详解】解：在，3，，0，，，中，负数有，，，共3个，其余都不是负数， 故答案为：3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$