精品解析：上海市上海财经大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上财附中高一期末数学试卷 2025.06 一、填空题 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数定义求解即可. 【详解】复数（为虚数单位）的共轭复数． 故答案为：. 2. 已知正方形ABCD的边长为1，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的加法法则求解. 【详解】如图所示： 因为正方形ABCD的边长为1， 由平行四边形法则得, 故答案为： 3. 在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出复数、对应点、的坐标，利用中点坐标公式得线段的中点的坐标即可． 【详解】解：复数、对应的点分别为、， ，， 为线段的中点，， 点对应的复数是． 故答案为：． 4. 若2与的等差中项与等比中项相等，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得2与的等差中项，再根据等比中项公式列方程求解即可． 【详解】2与的等差中项为， 因为2与的等差中项与等比中项相等，所以，化简得 解得 故答案为：2 5. 已知数列为等差数列，前项和为，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】数列为等差数列，前项和为， 因为，，则． 故答案为：. 6. 已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【答案】17 【解析】 【分析】由方程在复数域中根的问题，再利用韦达定理可解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 则，解得， . 故答案为：17. 7. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为________． 【答案】 【解析】 【分析】由在方向上的数量投影公式计算即可. 【详解】在方向上的数量投影为. 故答案为：. 8. 已知数列的前项和满足，则其通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】应用计算得出通项公式即可求解. 【详解】数列的前项和满足， 当时，， 当时，，满足上式， 则． 故答案为：. 9. 已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】由数列递推式，利用构造法得为等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ， 故答案为：. 10. 已知复数满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数模的几何意义可得点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，再结合圆的性质求解即可. 【详解】解：由复数满足， 则复数所对应的点到点的距离为1， 即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则的最小值是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，重点考查了圆的性质，属基础题. 11. 已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前项和的性质可得公差，再利用二次函数性质可求最大值. 【详解】设等差数列的公差为，， ， 解得，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 12. 若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件可得，，由基本不等式可得，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可求得与的值，即可得解. 【详解】由已知条件可得，，由基本不等式可得， 所以，， 由于、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 则有，解得，所以，，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定、的关系，结合已知条件得出关于、的方程组求解，进而可求得与的值. 二、选择题 13. 已知为虚数单位，复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及复数的概念可得. 【详解】，所以的虚部为1. 故选：A. 14. 已知的边上有一点 满足，则可表示为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合题中条件即可得解. 【详解】由题意可知. 故选D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题. 15. 已知单位向量的夹角为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】，，与夹角为，且，为直角三角形，故选C. 16. 在等比数列中，若，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则， .故选A. 三、解答题 17. 已知为实数，向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出； （2）利用得到，再利用线性运算得出坐标最后应用模长公式的坐标形式求解. 【小问1详解】 若，则， 即 即或； 【小问2详解】 因为，则，则， 所以，得. 18. 已知i为虚数单位，m为实数，复数． （1）若为实数，求m的值； （2）若为复数z的共轭复数，若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由复数乘法法则化简后，由复数的分类求解； （2）求出，得出对应点的坐标，由点在第四象限得不等式，从而求得的范围． 【详解】（1）是实数， 则，； （2），它对应的点在第四象限， 所以，解得．即的范围是． 19. 在数列中，，，其中为给定的正整数. （1）若为等比数列，，求； （2）若为等差数列，其前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)不存在，证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果. (2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可. 【详解】(1)因为为等比数列，， 则等比数列的公比为，则 所以， (2)若为等差数列，设公差为， 则，解得 又，所以， 所以， 令解得或， 又为正整数，故不存在正整数，使得. 【点睛】(1)等比数列基本量运算的解题策略 ①等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)． ②运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论 (2)等差数列中常用的解题性质 ①项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. ②和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； S2n－1＝(2n－1)an. ③在Sn＝中常用性质或等差中的项解题 20. 设，已知、是关于的方程的两个虚根． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，，求和的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【小问1详解】 ，方程为， 所以. 【小问2详解】 ，、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 21. 已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和以及的值； （3）若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）用等比数列求和公式以及极限的运算计算求解； （3）由题化简可得，利用数列的单调性计算求出最大值，即可得解． 【小问1详解】 由，， 因为（）， ∴数列是公比为，首项为1的等比数列. 【小问2详解】 因为，所以， . 【小问3详解】 因为，所以， 所以，所以恒成立，所以， 设，易知，，， 当时，，令，故单调递减， 即， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上财附中高一期末数学试卷 2025.06 一、填空题 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数________． 2. 已知正方形ABCD的边长为1，则___________； 3. 在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______. 4. 若2与的等差中项与等比中项相等，则实数的值为______. 5. 已知数列为等差数列，前项和为，若，，则________． 6. 已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 7. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为________． 8. 已知数列的前项和满足，则其通项公式________． 9. 已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 10. 已知复数满足，则的最小值是______. 11. 已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 12. 若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是___________. 二、选择题 13. 已知为虚数单位，复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 14. 已知的边上有一点 满足，则可表示为 A. B. C. D. 15. 已知单位向量的夹角为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 16. 在等比数列中，若，，则 A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知为实数，向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18. 已知i为虚数单位，m为实数，复数． （1）若为实数，求m的值； （2）若为复数z的共轭复数，若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 19. 在数列中，，，其中为给定的正整数. （1）若为等比数列，，求； （2）若为等差数列，其前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 设，已知、是关于的方程的两个虚根． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，，求和的值． 21. 已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和以及的值； （3）若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $