第03讲 导数与函数的极值、最值(13大题型+五年真题+限时作业）讲义-2026届高三数学第一轮复习（新高考地区适用）

第03讲 导数与函数的极值、最值 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………1 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型1 根据函数图像判断极值……………………………………………………2 题型2 求已知函数的极值…………………………………………………………5 题型3 已知极值点求参数（易错）………………………………………………8 题型4 已知极值点求参数的范围（难） ………………………………………10 题型5 已知函数的极值求参数 …………………………………………………13 题型6 已知极值存在求参数的范围（重） ……………………………………15 题型7 已知极值点个数求参数的范围（重、难） ……………………………18 题型8 已知函数有两个极值点的问题（难） …………………………………23 题型9 不含参函数的最值（重） ………………………………………………28 题型10 含参函数的最值（重）…………………………………………………31 题型11 已知函数的最值求参数（难）…………………………………………34 题型12 已知函数存在最值求参数的范围（难）………………………………37 题型13 函数单调性、极值和最值的综合应用（重）…………………………41 03 限时作业 查漏补缺……………………………………………………………45 04 真题呈现 把握考情……………………………………………………………57 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 由导数求函数的最值（不含参）（解答题） 从近几年的高考可以看出，本节的考查点主要体现在： 1. 利用极值点求参数； 2.根据极值存在求参数的范围； 3.由导数求函数的最值（不含参）； 4.由导数求函数的最值（含参）. 5.已知函数的最值求参数. 2025年全国Ⅱ卷 利用极值点求参数 2025年北京卷 由导数求函数的最值（不含参）（解答题） 2025年上海卷 由函数的极值存在求参数的范围（解答题） 2024年全国Ⅰ卷 三次函数的的单调区间、函数的极值点 2024年全国Ⅱ卷 函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值（多选题） 2024年全国Ⅱ卷 根据极值存在求参数（解答题） 2024年全国甲卷（理） 由导数求函数的极值（不含参）（解答题） 2023年全国Ⅰ卷 函数极值点的辨析（抽象函数）（多选题） 2023年全国Ⅱ卷 已知极值点求参数的范围（解答题） 2023年全国Ⅱ卷 根据极值存在求参数的范围（多选题） 2023年全国乙卷（理） 根据极值存在求参数的范围（解答题） 2023年北京卷； 求极值点个数； 2022年全国Ⅰ卷 三次函数的极值点、零点、对称性（多选题） 2022年全国Ⅰ卷 由导数求函数的最值（含参）（解答题） 2022年全国甲卷（理） 已知最大值求参数 2022年全国乙卷（理） 根据极值点存在求参数 2021年全国Ⅰ卷 由导数求函数的最值（不含参） 2021年全国乙卷（理） 三次函数的极值点 2021年全国乙卷（理） 根据极值点求参数（解答题） 2021年北京卷 已知极值点求参数、利用导数求函数的最值（不含参）（解答题） 题型突围 题型1 根据函数图像判断极值 指点迷津 在导数图像中判断极值的方法： ⑴判断极值点 导数图像中极值点对应导数为的点（即导数图像与轴的交点）. 极大值：导数图像从正变负的交点处，对应原函数图象的“山顶”； 极小值：导数图像从负变正的交点处，对应原函数图象的“谷底”. ⑵确定极值数量 通过导数图像与轴的交点数量来确定极值点数量.每个交点代表一个极值点，但需排除重复点或无效点（例如导数在交点两侧符号相同的情况）. 若导数在交点左侧为正，右侧为为负，则为极大值； 若导数在交点左侧为负，右侧为为正，则为极小值. 例1．（多选）（20-21高二下·重庆合川·阶段练习）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】AB 【详解】由图象可知，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 且，，， 所以和是函数的极小值点，是函数的极大值点. 故选：AB． 例2．（多选）（2023高三·全国·专题练习）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】BC 【详解】由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 【相似题1】（多选）（2025高三下·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 【相似题2】（多选）（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】A选项，由导函数图象可知，当时，，时，， 时，，时，， 故在，上单调递增，不能用连接，A错误； B选项，在上单调递减，在上单调递增，， 故为的极小值点，B正确； C选项，在区间上单调递减，C正确； D选项，在上单调递增，在上单调递减，， 故是的极大值点，D错误. 故选：BC 【相似题3】（多选）（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 题型2 求已知函数的极值点或极值 指点迷津 求可导函数求极值的步骤： （1）求． （2）求方程的根． （3）观察在附近左右两侧的符号．如果左正右负，那么在处取得极大值；如果左负右正，那么在处取得极小值． 因此，①在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． ②原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 例1．（2026高三·全国·专题练习）若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则当时，；当或时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点与极小值点分别为，， 则，，所以， 故选：C. 例2.（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，得的定义域为，且， 令，得（负根舍去）, 当时，, 当时，， 当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点． 故选：B． 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，令，解得. 考虑到恒成立，因此是函数的变号零点， 因此是函数的极值点. 故选：A. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知的定义域为，且. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值点为，无极大值点. 故选：B. 【相似题3】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）函数的极大值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 令可得或， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以函数的极大值点是. 故选：D. 题型3 已知极值点求参数 指点迷津 根据函数的极值点求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0列方程，解方程； （2）验证：检验极值点两侧的导数是否异号、如果异号，是否为指定极值点（易漏掉）． 例1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 【答案】A 【详解】由题知在时取得极大值， ，解得或， 当时，， 由，在区间上单调递增； 由在区间上单调递减． 此时在时取得极大值，满足题意， 当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去． ． 故选：A. 【相似题1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A 【相似题2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 题型4 已知极值点求参数的范围 指点迷津 此类题目往往在指定极值点处导数值必定为零， ⑴若还有另外一个根，则需比较两根的大小，从而满足题目要求的极值类型. ⑵若的根求不出来，则需要根据极值的特征确定导数的符号，如在指定极值点处是极小值，则导数在指定极值点就应满足“左负右正”，如在指定极值点处是极大值，则导数在指定极值点就应满足“左正右负”，将极值问题转化为导函数的零点问题，有时需要进行二次求导，从而求出参数的范围. 例1.（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 令，得或. 由函数在处取得极小值可知，解得. 经验证此时满足题意. 故选：A. 例2.（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对函数求导得：， 又由是函数的极小值点，所以， 还需分析在附近的符号变化，令， 则，， 当时，，即在附近单调递增，又， 所以当时，，当时，，满足0是的极小值点； 当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减， 又，所以当时，，当时，， 此时0是的极大值点，不符合题意； 综上所述：a的取值范围为. 故选：B 【相似题1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在处取得极大值，则 ． 【答案】0 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，不符合题意， 所以. 故答案为：0 【相似题2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数在处有极小值，则实数 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，而函数在处有极小值， 所以，故，解得或， 当时，， 令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 此时在处有极大值，不符合题意，排除， 当时，， 令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 此时在处有极小值，符合题意， 故答案为：. 【相似题3】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】. 令，易知在上单调递增，. 当时，，则存在，使得， 此时，当，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 是函数的极大值点； 当时，则存在，使得，当时， ，函数单调递减，当时，， 函数单调递增，不符合是函数的极大值点； 当时，，故，， 函数在上单调递增，不符合是函数的极大值点. 综上，的取值范围为. 故答案为： 题型5 已知函数的极值求参数 指点迷津 已知函数的极值求参数的步骤： ⑴求，令，求出极值点； ⑵根据极值列方程，解方程求出参数. 例1．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 【相似题1】（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为6，则实数a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】， 当或时，；当时，， 故的极小值点为，故极小值为， 结合题设可得即， 故选：A. 【相似题2】（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 题型6 已知极值存在求参数的范围 指点迷津 函数在区间上有极值点，则在区间上有变号的零点，亦即方程有满足相应条件的实数根，从而转化为方程有解问题,也可以转化为直线与曲线的交点问题进行求解. 例1.（2025·广东汕头·一模）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以. 故选：B 例2．（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 故答案为： 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）若函数有极值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， ， 函数有极值， 有变号零点． 令，得． 设，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， ， 故答案为：． 【相似题2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）已知函数在区间上存在极小值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由得， 令，则其对称轴方程为， 因为函数在区间上存在极小值点，所以不符合题意； 若，则，解得； 若，由于，在区间上单调递减，且， 所以函数在区间上不存在极小值点； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 【相似题3】（2025·山东·模拟预测）已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，可知， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 存在唯一极值点2， 所以，解得：， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【相似题4】（2025·四川成都·一模）已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为存在，所以要求，故函数的定义域为， 因为函数存在极大值，所以其导数需存在零点，且零点处由正变负， 求导得：， 令，即.二阶导数， 当时，在定义域上恒成立，所以在上单调递增， 此时函数可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意； 当时，时，即，时，即； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增；故的极小值为， 若函数存在极大值，则，故，所以， 又因为，所以，故化简为，所以. 故选：D 题型7 已知极值点个数求参数的范围 指点迷津 此类题目实质上是考查导函数的变号零点个数，注意是“变号零点”. 通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选是分离常数法，若不能用分离常数法，再将导函数作为一个新函数来讨论其零点个数. 例1．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有，令，得， 当时，；当时，，即恰好有一个极小值点， 符合题意，故a的取值范围是. 故选：C 例2．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根， 显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 【相似题1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 【相似题2】（多选）（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【详解】函数的定义域为， 由已知得：有两个变号的零点，即：有两个根， 令，则，又在上单调递减，且时， 令得：，所以在单调递增； 令得：，所以在单调递减； 所以在处取得极大值，而时，，时，， 所以，要使函数有两个极值点，则， 故选：BC． 【相似题3】2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，求导可得， 由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解， 即方程存在唯一解， 令，求导可得，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，则，当时，， 易知当，即时，方程存在唯一解， 当时，，易知方程的解为， 由当时，，，则，同理可得当时，， 所以此时函数无极值点，不符合题意； 当时，，易知函数在上单调递增，符合题意. 故选：B. 【相似题4】（2025·广东佛山·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值； (2)若存在两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得 ，则 因为切线经过坐标原点，所以，所以； （2）解法1：令，因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点， 即与的图象有2个交点 令 令，求得 当，，单调递减，当，，单调递增， 又因为当时，，且，当时，，作出图象如下： 结合图象，方程有2个变号零点的条件是 即存在2个极值点的条件是 解法2（半分离）：令，因为存在2个极值点， 所以方程有2个变号零点，即与的图象有两个交点， 先分析两个函数图象相切的情况，设是函数的切点，有 ，所以 作出图象如下： 由图象可知，要使得有两个交点，，即. 题型8 已知函数有两个极值点的问题 例1．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是 . 【答案】 【详解】函数定义域为，且， 因为函数有两个极值点、，则，可得， 由题意可知，、为方程的两根， 由韦达定理可得， 所以， ，解得，所以，， 因此，实数的最小值为. 故答案为：. 例2．（2024·四川绵阳·模拟预测）若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，所以. 因为函数有两个极值点， 所以是方程的两个根，则有， 所以，同理可得. 设，则， 由，则，即， 由，则，即， 所以，令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，又，所以，又， 所以. 由，则，令， 则在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，即，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【相似题1】（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知，是的两个极值点，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数,所以， 又，是的两个极值点，且， 即方程在和上各有一解，记， 则，即，解得，则实数的取值范围为， 故答案为：. 【相似题2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数存在两个极值点,满足，则实数 . 【答案】 【详解】因为， 由题意可知方程在上有两个不等的实数根， 因此有，解得， 此时，， 所以 ， 解得，满足， 故答案为： 【相似题3】（23-24高三上·湖北·期中）设函数有两个不同的极值点、，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求得，根据题意得到，且，再由函数的对称轴为，得到，根据函数的解析式，得到，令，利用导数求得函数的单调性，结合，且得到，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且 因为函数有两个极值点，即方程在上有两个实数根， 则满足，解得，且， 又因为的对称轴为，所以， 又由 ， 令， 可得，所以函数为单调递减， 又因为，且当时，，所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【相似题4】（23-24高三上·山西运城·期末）设是函数的两个极值点，若，则的范围为 . 【答案】 【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到的图象；采用数形结合的方式可确定且；假设，由可确定，进而得到的值，结合图象可确定的取值范围. 【详解】由，可得， 因为是函数的两个极值点， 所以是的两根，当时，方程不成立， 故是的两根，即与的图象有两个交点， 令则， 当时，，当时，， 所以在单调递减；在上单调递增. 则图象如下图所示，    由图象可知：且 因为，所以， 当时，不妨令， 则，即，化简得，即， 当时，， 若，则，即的取值范围为. 故答案为：. 题型9 不含参函数的最值 指点迷津 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各 极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 例1．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，故． 故选：C. 【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）函数在上的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 ；0 【详解】，令， 又，解得或， 当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 当，，则在单调递增， 又，． 所以当时，有最小值， 当时，有最大值， 故答案为：，0． 【相似题3】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)；(2)最小值为，最大值为0． 【详解】（1）易得，则切点为， 因为，所以， 由导数的几何意义得切线斜率为，则切线方程为． （2）由上问得，令，得，列表 0 ↗ 0 ↘ ↗ 在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数． 由单调性及，，知最小值为． 当时，恒成立，当时，， 当时，有最大值，故函数的最大值为0． 综上，函数在上的最小值为，最大值为0． 【相似题4】（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由函数，可得， 可得，且， 所以切线的斜率为，切点为， 则所求切线方程为． （2）由（1）得，当时，可得． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 而， 所以函数的值域为． 题型10 含参函数的最值（值域） 指点迷津 若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 例1.（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；(2)答案见解析. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 【相似题1】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)为极小值点，无极大值点；(2) 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若直线是曲线的一条切线，求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意知，， 设曲线上一点，则， 曲线的过点的切线斜率为， 于是曲线在点处的切线方程为， 即， 又直线是曲线的一条切线， 所以. 令， 则， 所以在上单调递减， 由于，所以方程有唯一解， 因此的解为， 代入，得. （2）易知在上单调递增， 当时，，在上，所以在上单调递增，的最大值为； 当时，，在上，所以在上单调递减，的最大值为； 当时，，，存在，使得， 当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以的最大值是或， 当时，，所以的最大值为； 当时，，所以的最大值为； 当时，，所以的最大值为. 因此，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 题型11 已知函数的最值（值域）求参数 例1.（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【答案】1 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 【相似题1】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 【相似题2】（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 【相似题3】（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【相似题4】（2025·四川·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在上的最小值为1，求a的值. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，的单调递减区间为； 当时，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，在上单调递减，所以，解得或（舍去），故. 当时，在上单调递减，所以，解得或（舍去），故. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以，故，不符合题意. 综上，. 题型12 已知函数存在最值求参数的范围 例1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 【相似题1】（24-25高二下·吉林·阶段练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 【相似题2】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 【相似题3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得，且既有极大值又有极小值， 故有两个不相等的实数根， 即，解得或. 设， 若在区间上单调递减，则需满足，解得. 若在区间上单调递增，则或 解得无解或. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【相似题4】（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求定义域，求导，，令，分，，，和五种情况，得到函数单调性，进而确定实数a的取值范围. 【详解】的定义域为R， ， 令， 若，则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，， 若，则，此时， 其中，， 当且时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，即时，恒成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，则或， 当时，设的两根为， 开口向上，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 即为的最小值，故满足要求； 当时，设的两根为 开口向下，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当趋向于时，趋向于，不存在最小值， 综上， 故答案为： 题型13 函数单调性、极值和最值的综合应用 例1．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知函数，则（   ） A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】由题意，，求导可得，令，得， 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 可作出大致图象如图所示． 对于A，，所以函数的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B，由图象可知，是函数的极大值点，故B错误； 对于C，当时，，因为，结合函数图象和单调性可得，故C正确； 对于D，当时，，此时，，则，所以，故D正确． 故选：ACD. 【相似题1】（多选）（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是函数定义域内的极小值点 B．的单调减区间是 C．在定义域内既无最大值又无最小值 D．若有两个不同的交点，则 【答案】ACD 【详解】对于A，函数定义域满足，解得， 由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时. 所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确； 对B， 的单调减区间是，，故B不正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C正确； 对D，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故D正确； 故选：ACD 【相似题2】（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则的解集为 C．在上有极小值 D．在上有极大值 【答案】BC 【详解】对于选项A：当时，由得，， 且，解得，所以有且仅有1个零点，故A错误； 对于选项B：当时，，且， 由得，解得， 所以的解集为，故B正确. 对于选项C：当时，且，由得或， 当时，；当时，. ①若，则，当时，； 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； ②若，则， 当时，则，可知， 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； ③若，当时，；当时，； 可知在的右侧附近单调递增，在左侧附近单调递减， 所以在有极小值； ④若，则， 当时，则，可知， 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； 综上所述：在上有极小值，故C正确. 对于选项D：因为， 构建，可知， 构建，可得， 可知在上单调递增，则， ①若，则，即，可知在上单调递增， 则，且， 可知在上存在唯一零点， 当，，即；当，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有极小值，无极大值； ②若，且，可知在上存在唯一零点， 当，，即；当，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，且， 可知在上存在唯一零点， 当，，即；当，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有极小值，无极大值； 综上所述：在上无极大值，故D错误 故选：BC. 限时作业 （建议用时90分钟） 1、 单选题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2． 故选：A 2.（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 因此是的极值点，所以. 故选：B 3．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 5,（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：的定义域为. . 设，则. 当时，，在上单调递减， 所以，，即， 故当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以，. 故选：A. 6.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，求导可得， 由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解， 即方程存在唯一解， 令，求导可得，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，则，当时，， 易知当，即时，方程存在唯一解， 当时，，易知方程的解为， 由当时，，，则，同理可得当时，， 所以此时函数无极值点，不符合题意； 当时，，易知函数在上单调递增，符合题意. 故选：B. 7．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）若函数有两个极值点，，且，实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ，， 令，可得，， 由题意是方程的两根，且 故且，解得， 又，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 8．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 二、多选题 9.（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．是单调函数 【答案】ABC 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数，故A正确； 因为，所以或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以分别为极小值点和极大值点，故B正确； 因为， 根据函数单调性及零点存在定理，可知有三个零点，故C正确； 由B选项中推理可知，在定义域上不是单调函数，故D错误. 故选：ABC 10．（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 【答案】BC 【详解】由题意可得， 因，则，故A不正确； 由得或，由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，故B正确，C正确， ，则函数在上的最小值为，故D不正确． 故选：BC. 11．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 【答案】AC 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B错误； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 13．（2024·全国·一模）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围为 ；若的极小值小于零，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】空1：函数的定义域为 求导得，令，可得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根， 设两根分别为且，所以可得，解得， 所以的取值范围为； 空2：由（1）可得时，，当时，， 当时，，所以时，函数取得极小值， 所以且，即， 极小值，所以， 令，求导可得， 所以在上为减函数， 又，所以时，， 由，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，，所以， 所以的取值范围为. 故答案案为：；. 四、解答题 15.（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 【答案】(1)，. (2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【详解】（1）由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. （2）由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 16．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增． (2)最小值为，最大值为． 【详解】（1）的定义域为， ， 令，得， ，的变化情况如下表所示： x 1 0 单调递减 1 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 由于，， 所以的最大值为． 综上，的最小值为，的最大值为． 17．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)为极小值点，无极大值点；(2) 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 18.（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线与坐标轴所围绕成三角形的面积. (2)若函数在区间内有两个极值点，实数a的取值范围. 【答案】(1)1；(2)． 【详解】（1）当时，， 则，， 所以， 所以切线方程为，与坐标轴的交点为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为． （2）令，则， 令，设函数在区间内的两个极值点为，， 则，是一元二次方程的两根. 因为，所以．又由对称轴满足，知， 所以，解得． 此时，， 列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 此时函数有两个极值点，所以． 19．（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【详解】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 真题呈现 1．（2025年全国Ⅰ卷）（1）设函数,求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意x，都有，求b的最小值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得 . 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 2．（多选）（2025年全国Ⅱ卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 3．（2025年北京卷）函数的定义域为，为处的切线． (1)的最大值； (2)证明：当时，除点A外，曲线均在上方； (3)若时，直线过A且与垂直，，分别于x轴的交点为与，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 4．（2025年上海卷）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1)；(2)且. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 5．（多选）（2024年新高考全国Ⅰ卷高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 6．（多选）（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 7．（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 8．（2024年全国甲卷高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值.；(2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 9．（多选）（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 10．（多选）（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 11．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解；（2） 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 12．（2023年全国乙卷（理）高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析；(3). 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即(取等条件为)， 所以， ，且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 13．（2023年北京高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 14．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 15．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论. （2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列. 【详解】（1）的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，故. 的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. （2）[方法一]： 由（1）可得和的最小值为. 当时，考虑的解的个数、的解的个数. 设，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以， 而，， 设，其中，则， 故在上为增函数，故， 故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2. 设，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以， 而，， 有两个不同的零点即的解的个数为2. 当，由（1）讨论可得、仅有一个解， 当时，由（1）讨论可得、均无根， 故若存在直线与曲线、有三个不同的交点， 则. 设，其中，故， 设，，则， 故在上为增函数，故即， 所以，所以在上为增函数， 而，， 故上有且只有一个零点，且： 当时，即即， 当时，即即， 因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点， 故， 此时有两个不同的根， 此时有两个不同的根， 故，，， 所以即即， 故为方程的解，同理也为方程的解 又可化为即即， 故为方程的解，同理也为方程的解， 所以，而， 故即. [方法二]： 由知，，， 且在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递减，在上单调递增，且 ①时，此时，显然与两条曲线和 共有0个交点，不符合题意； ②时，此时， 故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ③时，首先，证明与曲线有2个交点， 即证明有2个零点，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 令，则， 所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为 其次，证明与曲线和有2个交点， 即证明有2个零点，， 所以上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 令，则， 所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为 再次，证明存在b，使得 因为，所以， 若，则，即， 所以只需证明在上有解即可， 即在上有零点， 因为，， 所以在上存在零点，取一零点为，令即可， 此时取 则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点， 最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为 所以， 又因为在上单调递减，，即，所以， 同理，因为， 又因为在上单调递增，即，，所以， 又因为，所以， 即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 16．（2022年全国甲卷（理）高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 17．（2022年全国乙卷（理）高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若，则在 上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 18．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 19．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 20．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 21．（2021年北京高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数与函数的极值、最值 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………1 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型1 根据函数图像判断极值……………………………………………………2 题型2 求已知函数的极值…………………………………………………………4 题型3 已知极值点求参数（易错）………………………………………………5 题型4 已知极值点求参数的范围（难）…………………………………………5 题型5 已知函数的极值求参数……………………………………………………6 题型6 已知极值存在求参数的范围（重）………………………………………7 题型7 已知极值点个数求参数的范围（重、难）………………………………7 题型8 已知函数有两个极值点的问题（难）……………………………………9 题型9 不含参函数的最值（重）…………………………………………………9 题型10 含参函数的最值（重）…………………………………………………10 题型11 已知函数的最值求参数（难）…………………………………………11 题型12 已知函数存在最值求参数的范围（难）………………………………11 题型13 函数单调性、极值和最值的综合应用（重）…………………………12 03 限时作业 查漏补缺……………………………………………………………12 04 真题呈现 把握考情……………………………………………………………15 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 由导数求函数的最值（不含参）（解答题） 从近几年的高考可以看出，本节的考查点主要体现在： 1. 利用极值点求参数； 2.根据极值存在求参数的范围； 3.由导数求函数的最值（不含参）； 4.由导数求函数的最值（含参）. 5.已知函数的最值求参数. 2025年全国Ⅱ卷 利用极值点求参数 2025年北京卷 由导数求函数的最值（不含参）（解答题） 2025年上海卷 由函数的极值存在求参数的范围（解答题） 2024年全国Ⅰ卷 三次函数的的单调区间、函数的极值点 2024年全国Ⅱ卷 函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值（多选题） 2024年全国Ⅱ卷 根据极值存在求参数（解答题） 2024年全国甲卷（理） 由导数求函数的极值（不含参）（解答题） 2023年全国Ⅰ卷 函数极值点的辨析（抽象函数）（多选题） 2023年全国Ⅱ卷 已知极值点求参数的范围（解答题） 2023年全国Ⅱ卷 根据极值存在求参数的范围（多选题） 2023年全国乙卷（理） 根据极值存在求参数的范围（解答题） 2023年北京卷； 求极值点个数； 2022年全国Ⅰ卷 三次函数的极值点、零点、对称性（多选题） 2022年全国Ⅰ卷 由导数求函数的最值（含参）（解答题） 2022年全国甲卷（理） 已知最大值求参数 2022年全国乙卷（理） 根据极值点存在求参数 2021年全国Ⅰ卷 由导数求函数的最值（不含参） 2021年全国乙卷（理） 三次函数的极值点 2021年全国乙卷（理） 根据极值点求参数（解答题） 2021年北京卷 已知极值点求参数、利用导数求函数的最值（不含参）（解答题） 题型突围 题型1 根据函数图像判断极值 指点迷津 在导数图像中判断极值的方法： ⑴判断极值点 导数图像中极值点对应导数为的点（即导数图像与轴的交点）. 极大值：导数图像从正变负的交点处，对应原函数图象的“山顶”； 极小值：导数图像从负变正的交点处，对应原函数图象的“谷底”. ⑵确定极值数量 通过导数图像与轴的交点数量来确定极值点数量.每个交点代表一个极值点，但需排除重复点或无效点（例如导数在交点两侧符号相同的情况）. 若导数在交点左侧为正，右侧为为负，则为极大值； 若导数在交点左侧为负，右侧为为正，则为极小值. 例1．（多选）（20-21高二下·重庆合川·阶段练习）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 例2．（多选）（2023高三·全国·专题练习）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【相似题1】（多选）（2025高三下·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【相似题2】（多选）（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【相似题3】（多选）（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 题型2 求已知函数的极值点或极值 指点迷津 求可导函数求极值的步骤： （1）求． （2）求方程的根． （3）观察在附近左右两侧的符号．如果左正右负，那么在处取得极大值；如果左负右正，那么在处取得极小值． 因此，①在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． ②原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 例1．（2026高三·全国·专题练习）若函数的极大值点与极小值点分别为，，则（   ） A． B． C． D． 例2.（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 【相似题3】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）函数的极大值点是（    ） A． B． C． D． 题型3 已知极值点求参数 指点迷津 根据函数的极值点求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0列方程，解方程； （2）验证：检验极值点两侧的导数是否异号、如果异号，是否为指定极值点（易漏掉）． 例1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 【相似题1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【相似题2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 题型4 已知极值点求参数的范围 指点迷津 此类题目往往在指定极值点处导数值必定为零， ⑴若还有另外一个根，则需比较两根的大小，从而满足题目要求的极值类型. ⑵若的根求不出来，则需要根据极值的特征确定导数的符号，如在指定极值点处是极小值，则导数在指定极值点就应满足“左负右正”，如在指定极值点处是极大值，则导数在指定极值点就应满足“左正右负”，将极值问题转化为导函数的零点问题，有时需要进行二次求导，从而求出参数的范围. 例1.（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 例2.（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在处取得极大值，则 ． 【相似题2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数在处有极小值，则实数 ． 【相似题3】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为 . 题型5 已知函数的极值求参数 指点迷津 已知函数的极值求参数的步骤： ⑴求，令，求出极值点； ⑵根据极值列方程，解方程求出参数. 例1．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题1】（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为6，则实数a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【相似题2】（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 题型6 已知极值存在求参数的范围 指点迷津 函数在区间上有极值点，则在区间上有变号的零点，亦即方程有满足相应条件的实数根，从而转化为方程有解问题,也可以转化为直线与曲线的交点问题进行求解. 例1.（2025·广东汕头·一模）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）若函数有极值，则实数a的取值范围是 ． 【相似题2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）已知函数在区间上存在极小值点，则实数的取值范围为 . 【相似题3】（2025·山东·模拟预测）已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是 . 【相似题4】（2025·四川成都·一模）已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型7 已知极值点个数求参数的范围 指点迷津 此类题目实质上是考查导函数的变号零点个数，注意是“变号零点”. 通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选是分离常数法，若不能用分离常数法，再将导函数作为一个新函数来讨论其零点个数. 例1．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（多选）（2025·云南·模拟预测）若函数有两个极值点，则a的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【相似题3】2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·广东佛山·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值； (2)若存在两个极值点，求的取值范围． 题型8 已知函数有两个极值点的问题 例1．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是 . 例2．（2024·四川绵阳·模拟预测）若是函数的两个极值点且，则实数的取值范围为 . 【相似题1】（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知，是的两个极值点，且，则实数的取值范围为 . 【相似题2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数存在两个极值点,满足，则实数 . 【相似题3】（23-24高三上·湖北·期中）设函数有两个不同的极值点、，若，则的取值范围为 . 【相似题4】（23-24高三上·山西运城·期末）设是函数的两个极值点，若，则的范围为 . 题型9 不含参函数的最值 指点迷津 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各 极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 例1．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）函数在上的最大值是 ，最小值是 ． 【相似题3】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值． 【相似题4】（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的值域． 题型10 含参函数的最值（值域） 指点迷津 若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 例1.（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【相似题1】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若直线是曲线的一条切线，求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 题型11 已知函数的最值（值域）求参数 例1.（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【相似题1】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【相似题3】（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 【相似题4】（2025·四川·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在上的最小值为1，求a的值. 题型12 已知函数存在最值求参数的范围 例1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高二下·吉林·阶段练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【相似题3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 【相似题4】（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 题型13 函数单调性、极值和最值的综合应用 例1．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知函数，则（   ） A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点 C．当时， D．当时， 【相似题1】（多选）（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是函数定义域内的极小值点 B．的单调减区间是 C．在定义域内既无最大值又无最小值 D．若有两个不同的交点，则 【相似题2】（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则的解集为 C．在上有极小值 D．在上有极大值 限时作业 （建议用时90分钟） 1、 单选题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）函数的极小值点为（    ） A．2 B． C． D． 2.（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 5,（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）若函数有两个极值点，，且，实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．是单调函数 10．（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 11．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 三、填空题 12．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 13．（2024·全国·一模）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围为 ；若的极小值小于零，则的取值范围为 . 四、解答题 15.（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 16．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)求函数在区间上的最值． 17．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 18.（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线与坐标轴所围绕成三角形的面积. (2)若函数在区间内有两个极值点，实数a的取值范围. 19．（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 真题呈现 1．（2025年全国Ⅰ卷）（1）设函数,求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意x，都有，求b的最小值． 2．（多选）（2025年全国Ⅱ卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 3．（2025年北京卷）函数的定义域为，为处的切线． (1)的最大值； (2)证明：当时，除点A外，曲线均在上方； (3)若时，直线过A且与垂直，，分别于x轴的交点为与，求的取值范围． 4．（2025年上海卷）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 5．（多选）（2024年新高考全国Ⅰ卷高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 6．（多选）（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 7．（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 8．（2024年全国甲卷高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 9．（多选）（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 10．（多选）（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 11．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 12．（2023年全国乙卷（理）高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 13．（2023年北京高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 14．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 15．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 16．（2022年全国甲卷（理）高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 17．（2022年全国乙卷（理）高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 18．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）函数的最小值为 . 19．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 20．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 21．（2021年北京高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$