专题02 基本不等式的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高一必修第一册

专题02 基本不等式 题型一：利用基本不等式证明不等式 题型二：利用基本不等式求最值 题型三：利用基本不等式求解恒成立问题 题型四：基本不等式在实际问题中的应用 题型一：利用基本不等式证明不等式 1．下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（   ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 2．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（   ）. A． B． C． D． 3．已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，，则三个数（     ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 8．若正数满足，且，则 A．为定值，但的值不定 B．不为定值，但是定值 C．，均为定值 D．，的值均不确定 9．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 10．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 题型二：利用基本不等式求最值 11．已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 12．已知正数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 13．设非负实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 14．已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 15．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 16．已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 18．若、、均大于0，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 20．（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 题型三：利用基本不等式求解恒成立问题 21．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 23．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 26．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 29．若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 (1)若命题，中均为假命题，求的取值范围？ (2)对任意的，使得不等式成立，求的取值范围. 30．（1）若，求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 题型四：基本不等式在实际问题中的应用 31．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 32．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 33．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 34．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 35．下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是（     ） 问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和； 问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为， 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为． A． B． C． D． 36．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 37．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（    ）”的几何解释. A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 38．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积，一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于克 B．小于克 C．等于克 D．当时，大于克；当时，小于克 39．在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 40．某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式 题型一：利用基本不等式证明不等式 题型二：利用基本不等式求最值 题型三：利用基本不等式求解恒成立问题 题型四：基本不等式在实际问题中的应用 题型一：利用基本不等式证明不等式 1．下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（   ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由问题甲，结合圆的面积公式可得，有，即， 由问题乙，设每圈的长度为，则，整理为可得， 由问题丙，设天平左边的杠杆长为m，右边的杠杆长为n， 则，可得，即， 因为、是不相等的正数，则有，可得， 根据重要不等式可知，得， 则有，所以. 故选：B． 2．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线， 由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选：D 3．已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为且， 所以，， 对于A ，因为，，所以，故A错误； 对于B，， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 即，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又因为， 所以，故D错误. 故选：C. 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，显然成立，反之不成立； 当时，则，故，充分性成立； 令，由推不出，故”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为， 对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确； 对于②中，由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以②不正确； 对于③中，由不等式，可得， 两边同除，可得成立，所以③成立； 对于④，由， 可得，即，所以成立，所以④正确. 故选：B. 6．若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，即； 当时，，但， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．设，，则三个数（     ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 【答案】D 【详解】假设三个数且且，相加得： ，由基本不等式得： ；；； 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数、、至少有一个不小于4． 故选． 8．若正数满足，且，则 A．为定值，但的值不定 B．不为定值，但是定值 C．，均为定值 D．，的值均不确定 【答案】C 【详解】由题得，因为 ，则有且，故有，解方程组，得，x，y均为定值，故选C． 9．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【详解】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 10．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，最小值为 (3)证明见解析 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. （3）证明：令，则， 由基本不等式得，， 同理可得， 左右相加得， 当且仅当时取“=”，显然不存在这种情况， . 题型二：利用基本不等式求最值 11．已知  ，则 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时取等号， 所以最大值为. 故选：A 12．已知正数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，则， 当且仅当，即，时取等号，故A错误； 对于B：， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C：因为，则， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 对于D：代入 ，得 ， 当 接近 时，表达式趋近于 ，超过 ，因此D错误. 故选：C. 13．设非负实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【答案】D 【详解】因为非负实数满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为为非负实数， 当时，，的最大值不是1，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故D正确； 故选：D. 14．已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 15．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【详解】由题意，， 又，当且仅当时取等号， 所以，即目标式最小值为7. 故选：B. 16．已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 17．已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【详解】设， 则，解得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故选：D. 18．若、、均大于0，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、、均大于0, 当且仅当时取“=”, 的最大值为. 故选:C 19．回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 20．（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 题型三：利用基本不等式求解恒成立问题 21．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 22．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 23．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 24．“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式对于任意正实数x，y恒成立，则， 则， 当且仅当，即时，取等号，则，即， 解得或（舍去），所以， 当时，成立，反之时，不一定成立， 所以“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 25．已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 26．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 27．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 28．不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 29．若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 (1)若命题，中均为假命题，求的取值范围？ (2)对任意的，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若命题为真命题，则命题可转化为， 即，令，得函数y在上单调递增， 所以，则， 若命题为假命题，则； 若命题为真命题，则命题可转化为在上恒成立， 即，则，当且仅当时， 即时等号成立，则， 若命题，则， 则命题，均为假命题，则 （2）任意的，使得不等式成立， 即在上恒成立， 令， 当时，，不合题意； 当时，有，解得； 所以的取值范围是. 30．（1）若，求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）最小值是；（2）. 【详解】（1）由题意可得， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是. 由题意可得恒成立， 令，得，则， 当且仅当，即时，等号成立. 由（1）可知，的最小值是， 故的取值范围是. 题型四：基本不等式在实际问题中的应用 31．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 32．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，所以， 即，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 33．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题， 所以， 所以由得. 故选：D. 34．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【详解】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C 35．下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是（     ） 问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和； 问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为， 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】问题甲中，，即可， 问题乙中，设每次购买花的钱为，则， 问题丙中，设左右量词的臂长分别为，则，故， 由于，故， 又，所以， 因此， 故选：B 36．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，设该教室窗户面积为，则地板面积为，依题意有， 解得，所以这所教室的窗户面积至少为，故①错误； 对于②，记窗户面积为和地板面积为，同时窗户增加的面积为， 同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故②正确； 对于③，记窗户面积为和地板面积为，同时增加的面积为. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即， 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公裹的采光效果变好了，故③正确； 对于④，记窗户面积为和地板面积为，则窗户增加后的面积为 地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以， 当时，，采光效果不变， 所以无法判断教室的采光效果是否变差了，故④错误. 故选：B. 37．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（    ）”的几何解释. A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为， 则外围的正方形的面积为，也就是， 四个阴影面积之和刚好为，对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立，故选C. 38．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积，一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于克 B．小于克 C．等于克 D．当时，大于克；当时，小于克 【答案】A 【详解】设第一次取出的黄金质量为克，第二次黄金质量为克， 由题意可得，，可得， 易知且， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 事实上，，等号不成立，则. 因此，顾客购得的黄金重量大于克. 故选：A. 39．在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【详解】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 40．某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】(1) (2)10万元 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$