专题03 二次函数与一元二次方程、不等式的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高一必修第一册

专题03 二次函数与一元二次方程、不等式 题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：含有参数的一元二次不等式的解法 题型三：实际问题中的一元二次不等式问题 题型四：不等式的恒成立问题 题型一：解不含参数的一元二次不等式 1．的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知，集合，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．命题“，”为假命题 D．若的解集为M，则 4．不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 5．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正整数满足当（）时，，且，则的最大值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 8．已知函数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 10．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 题型二：含有参数的一元二次不等式的解法 11．二次函数满足下列三个条件：①；②对任，均有；③函数的图象与函数的图像有且只有一个公共点，若解集为，则 ； ． 12．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 13．已知命题，命题，若是的必要不充分的条件，则实数的取值范围是 . 14．已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 15．已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 16．已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 17．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 18．定义：区间、、、的长度均为．若不等式的解集中所有区间长度总和为，则用的代数式表示 ． 19．设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 20．已知函数． (1)若方程在上有解，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若，求函数在区间上的最大值． 题型三：实际问题中的一元二次不等式问题 21．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 22．某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A．6≤x≤7 B．5≤x≤7 C．5≤x≤6 D．4≤x≤6 23．一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为 A． B． C． D． 24．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为 A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 25．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 26．某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 27．某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 28．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 29．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 30．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 题型四：不等式的恒成立问题 31．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 32．若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 33．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 34．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 35．不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 36．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 37．设函数，已知对任意，若满足，，则，则正实数的最大值为 ． 38．若对任意，恒成立，则的最小值为 . 39．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 40．已知二次函数，其中． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式 题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：含有参数的一元二次不等式的解法 题型三：实际问题中的一元二次不等式问题 题型四：不等式的恒成立问题 题型一：解不含参数的一元二次不等式 1．的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的充要条件是，故必要不充分条件是， 故选：D． 2．已知，集合，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由 解得或， 或， 由解得或， 即或， 因为，所以， 所以， 所以是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 3．已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．命题“，”为假命题 D．若的解集为M，则 【答案】C 【详解】因为，且关于x的不等式的解集为， 所以，且的根为和2，所以，得，， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，所以，， 因为，，所以，故B错误； 对于C，即为，即，无解， 故命题“，”为假命题，故C正确； 对于D，因为是由向上平移一个单位，所以，故D错误. 故选：C． 4．不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】原不等式就转化为. 解得，即不等式的解集为. 故选：D 5．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 6．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的，， 因为，令，， 因为，当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 因为恒成立，所以，即，解得：， 故选：D. 7．已知正整数满足当（）时，，且，则的最大值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【详解】因为当（）时，，故， 诸不等式相加可得即. 故， 所以，，故. 又，故. 当等号成立. 故选：A. 8．已知函数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由，， 则，解得， 当时， 可得， 解得， 此时可得； 当时，可得， 即，解得， 此时可得； 当时，可得， 解得或，所以， 当时，可得，此时无解； 当时，可得， 解得或， 此时可得； 综上所述，实数的取值范围是 故选：B 9．定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由解得：， 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， 令，， 则， 解得：， 实数的范围为 （2）①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ，，设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．   综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 10．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． （2）恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为．. 题型二：含有参数的一元二次不等式的解法 11．二次函数满足下列三个条件：①；②对任，均有；③函数的图象与函数的图像有且只有一个公共点，若解集为，则 ； ． 【答案】 【详解】由可得， 可知， 解得，，，， 解集为， 当且仅当时，恒成立， 不等式， 即的解集为， ，解得，或，， ，，符合题意， 故答案为：；. 12．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 13．已知命题，命题，若是的必要不充分的条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】命题，解得， 命题，解得， 因为是的必要不充分的条件，则p是q的充分不必要条件， 所以，即，经检验等号成立， 所以实数a的取值范围是， 14．已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 15．已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，原不等式为，解得，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为或， 此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为，而， 则集合至少含有共个元素. 综上所述：集合中元素最少为个，此时且，解得. 故答案为： 16．已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有四个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 17．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 【答案】或 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 18．定义：区间、、、的长度均为．若不等式的解集中所有区间长度总和为，则用的代数式表示 ． 【答案】 【详解】当时，， 令，则， 令的两根为，且，， 则，因此或， 而当时，， 当时，，于是， 解得，解得， 则不等式的解集为， 所以. 故答案为： 19．设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 20．已知函数． (1)若方程在上有解，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【详解】（1）在上有解， 即在上有解， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围是． （2）因为， 所以即， 即， ①当，即或时，的解集为； ②当，即或时，的解集为； ③当，即或时，的解集为． 综上可得，或时原不等式的解集为 或时原不等式的解集为 或时原不等式的解集为． （3）由题意知，当时，， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 且，令，解得或， 所以当时，， 当时，， 综上:. 题型三：实际问题中的一元二次不等式问题 21．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 22．某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A．6≤x≤7 B．5≤x≤7 C．5≤x≤6 D．4≤x≤6 【答案】A 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即6≤x≤7， 故选：A. 23．一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设日利润为元，则，由，解得，即的取值范围为. 故选D． 24．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为 A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 【答案】C 【详解】设销售价定为每件元,利润为 则 依题意,得 即,解得 所以每件销售价应定为12元到16元之间 故选:C 25．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【答案】 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 26．某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】由题设，且，， 所以且，即，， 令，则， 所以两根分别为，， 综上，可得，， 所以正整数的取值组成的集合为. 故答案为： 27．某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 【答案】120或130 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 28．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 29．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 30．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 题型四：不等式的恒成立问题 31．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为： 32．若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 33．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，则对一切实数都成立，符合题意， 当时，则，解得， 综上可得， 故答案为； 34．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 35．不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 36．若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 37．设函数，已知对任意，若满足，，则，则正实数的最大值为 ． 【答案】 【详解】显然，由对任意，若满足，， 可得， 对于，恒成立， 即为， 化简可得， 即， 即恒成立， 由，， 可得， 即对恒成立， 可得， 设， 则， 当，即，上式取得等号， 由，所以的最大值为. 故答案为： 38．若对任意，恒成立，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】令，则，故， 由，恒成立，则恒成立， 当时，要使恒成立，则，， 此时恒成立， ， 当时，要使恒成立， ，， ，此时，， ， 此时，，时取等号， 当，，时，则恒成立， 的最小值为， 故答案为：. 39．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 40．已知二次函数，其中． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【详解】（1）不等式即为：， 当时，可变形为：，. 即， 又，当且仅当，即时，等号成立， ∴，即. 实数的取值范围是. （2）， 等价于，即， ①当时，不等式整理为，解得：； 当时，方程的两根为：，. ②当时，可得，解不等式得：或； ③当时 （i）当时，因为，解不等式得：； （ii）当时，因为，不等式的解集为； （iii）当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$