专题培优课2 指对幂式大小比较问题（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 专题培优课2　指对幂式大小比较问题 探究 特殊值法、估算法比较大小 D A B 探究 利用单调性比较大小 A C 探究 引入媒介值 D A 探究 数形结合比较大小 A ABD 探究 构造函数比较大小 ABC C 探究 “条件等式”下比较大小 AD C 请完成：课时作业（十二） 温馨提示 谢谢观看！ 比较大小的问题，是高考命题中的热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序．这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答．从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造转化． 【例1】 (2024·北京海淀二模)已知x>y>0, 则(　　) A． eq \f(1,x) > eq \f(1,y) B．( eq \f(1,2) )x>( eq \f(1,2) )y C．cos x>cos y D．ln (x＋1)>ln (y＋1) 解析：取x＝2，y＝1，利用排除法，逐一排除即可得结果． 因为x＝2，y＝1 时， eq \f(1,x) < eq \f(1,y) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ，cos x<cos y，所以可排除选项A，B，C，故选D. 【例2】 设a＝log32，b＝log53，c＝ eq \f(2,3) ，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：因为a＝ eq \f(1,3) log323< eq \f(1,3) log39＝ eq \f(2,3) ＝c，b＝ eq \f(1,3) log533> eq \f(1,3) log525＝ eq \f(2,3) ＝c，所以a<c<b. 特殊值法是“小题小做”的重要策略，是高中数学一种常见的解选择题的思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性；估算法一般是通过放缩的方法，估计所给函数式的范围，通过函数式的范围在不同区间比较大小． 【练1】 若a＝log2 eq \r(3) ，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：由题意b＝＝，c＝＝ eq \f(\r(2),2) ，故b>c.又2 eq \r(2) <2 eq \s\up16(\f(3,2)) ＝2 eq \r(2) <3，即2 eq \r(2) <3，所以log42 eq \r(2) <log43，即 eq \f(\r(2),2) <log43. 因为a＝log2 eq \r(3) ＝log43，所以c<a. 因为28＝256>243＝35，故log23< eq \f(8,5) < eq \r(3) ，即2 eq \r(3) >3，所以log42 eq \r(3) >log43，所以 eq \f(\r(3),2) >log43，所以b>a，所以b>a>c. 【例3】 (2024·西安一模)已知a＝ln eq \f(1,2) ，b＝ln (lg 2)，c＝lg (ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a 解析：先比较a，b，易知lg 2<lg 10 eq \s\up16(\f(1,2)) ＝ eq \f(1,2) ， 故ln (lg 2)<ln eq \f(1,2) ，即b<a. 又e<10，故当x>1 时，ln x>lg x； 当0<x<1 时，ln x<lg x, 故lg eq \f(1,2) >ln eq \f(1,2) ， 而ln 2> eq \f(1,2) ，故lg (ln 2)>lg eq \f(1,2) >ln eq \f(1,2) ，有c>a. 综上，可得b<a<c. 利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同，考虑幂函数的增减性，当两者不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间(一般是看(－∞，0)，(0，1)，(1，＋∞)三个区间)；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用． 【练2】 (2024·南昌二模)已知a＝，b＝sin eq \f(π,7) ，c＝( eq \f(1,4) ) eq \s\up16(\f(1,3)) ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a 解析：a＝>＝1，因为y＝sin x 在x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上是单调递增函数，所以0<b＝sin eq \f(π,7) <sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ，因为y＝x eq \s\up6(\f(1,3)) 在[0，＋∞)上是单调递增函数，所以1>c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up16(\f(1,3)) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8))) eq \s\up16(\f(1,3)) ＝ eq \f(1,2) ，所以a>c>b. 【例4】 (2025·泰安模拟)若a＝log23，b＝log34，c＝log45，则a，b，c 的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a 解析：由题意，log23>log22＝1，log34>log33＝1，log45>log44＝1，即a>1，b>1，c>1， ∵c＝log45＝log225＝ eq \f(1,2) log25＝log25 eq \s\up16(\f(1,2))＝log2 eq \r(5) ，而a＝log23>log2 eq \r(5) ，∴a>c>1. ∵a＝log23>log22 eq \r(2) ＝ eq \f(3,2) ， 而b＝log34<log33 eq \r(3) ＝ eq \f(3,2) ， ∴a> eq \f(3,2) >b>1. 又∵ eq \f(5,4) ＝log33 eq \s\up16(\f(5,4))＝log3 eq \r(4,35) ，b＝log34＝log3 eq \r(4,44) ，而44>35，则log3 eq \r(4,44) >log3 eq \r(4,35) ，∴b> eq \f(5,4) . 同理，∵ eq \f(5,4) ＝log44 eq \s\up16(\f(5,4))＝log4 eq \r(4,45) ，c＝log45＝log4 eq \r(4,54) ，而45>54，则log4 eq \r(4,45) >log4 eq \r(4,54) ，∴ eq \f(5,4) >c， 综上，a> eq \f(3,2) >b> eq \f(5,4) >c>1，所以c<b<a. 指、对、幂式比较大小问题有时要注意一些特殊值(如0，1， eq \f(1,2) ， eq \f(3,2) )的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．如本例中a，b分别与中间值 eq \f(3,2) 比较，得出a> eq \f(3,2) >b>1，b，c分别与中间值 eq \f(5,4) 比较，得出b> eq \f(5,4) >c. 【练3】 已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：由题意可知a，b，c∈(0，1)， eq \f(a,b) ＝ eq \f(log53,log85) ＝ eq \f(lg 3,lg 5) · eq \f(lg 8,lg 5) < eq \f(1,（lg 5）2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3＋lg 8,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3＋lg 8,2lg 5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 24,lg 25))) eq \s\up12(2) <1，∴a<b. 由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84， ∴5b<4，可得b< eq \f(4,5) . 由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c， ∴5c>4，可得c> eq \f(4,5) .综上所述，a<b<c. 【例5】 设a，b，c 均为正数，且2a＝log eq \s\do19(\f(1,2))a，( eq \f(1,2) )b＝log eq \s\do19(\f(1,2))b，( eq \f(1,2) )c＝log2c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：在同一坐标系中分别画出y＝2x，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ，y＝log2x，y＝log eq \s\do19(\f(1,2))x 的图象，y＝2x 与y＝log eq \s\do19(\f(1,2))x 的图象的交点的横坐标为a，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 与y＝log eq \s\do19(\f(1,2))x 的图象的交点的横坐标为b，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 与y＝log2x 的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出a<b<c. 用数形结合的方式比较大小，观察所给等式左右两侧的结构特征，画出函数图象，考虑两函数的交点位置，确定所给指、对、幂式的大小． 【练4】 (多选)(2024·邯郸一模)下列大小关系正确的是(　 　) A．1.92<21.9 B．22.9<2.92 C． eq \f(2ln 2,2ln 2－1) < eq \f(2\r(2),2\r(2)－1) D．log74<log127 解析：作出y＝2x 和y＝x2 的图象，如图所示， 由图象可得，当x∈(0，2)时，2x>x2，则1.92<21.9， 当x∈(2，4)时，x2>2x，则22.9<2.92，故A，B正确． 令f(x)＝ eq \f(2x,2x－1) ，则f(x)＝1＋ eq \f(1,2x－1) ，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以 eq \f(2ln 2,2ln 2－1) > eq \f(2\r(2),2\r(2)－1) ，故C错误． log74－log127＝log74－ eq \f(1,log712) ＝ eq \f(log74·log712－1,log712) < eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log74＋log712,2)))\s\up12(2)－1,log712) ＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log748,2)))\s\up12(2)－1,log712) <0，所以log74<log127，故D正确． 【例6】 (多选)已知实数x，y满足log3x－log3y<( eq \f(1,3) )x－( eq \f(1,3) )y，则下列结论正确的是(　　 ) A． eq \f(1,x) > eq \f(1,y) B．x3<y3 C．2x－y<1 D．ln (y－x)>0 解析：因为log3x－log3y< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) 成立，所以x，y∈R＋，由log3x－log3y< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) 变形得log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) <log3y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) ，令函数f(x)＝log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ，因为y＝log3x，y＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) 都在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) 在(0，＋∞)上单调递增，log3x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) <log3y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y) ，即f(x)<f(y)，所以0<x<y，因为函数y＝ eq \f(1,x) 在 (0，＋∞)上单调递减，所以 eq \f(1,x) > eq \f(1,y) ，A正确；因为函数y＝x3 在(0，＋∞)上单调递增，所以x3<y3，B正确； 因为x－y<0，且函数y＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y<20＝1，C正确；因为y－x>0，所以ln (y－x)的符号可正可负，D错误．故选ABC. 对于指数式、对数式比较大小问题，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过函数研究其单调性，比较出大小． 【练5】 (2025·江苏扬州中学模拟)已知0<α<β< eq \f(π,4) ，则下列大小关系中正确的是(　　) A．(sin α)cos α>(sin α)cos β B．logsin αcos α>logsin αcos β C．(cos α)sin α>(cos β)sin β D．(cos α)sin β<(sin α)cos β 解析：∵0<α<β< eq \f(π,4) ，∴0<sin α<cos α<1，且cos α>cos β，sin α<sin β. 构造函数y＝(sin α)x，∵函数y＝(sin α)x 在R上单调递减，∴(sin α)cos α<(sin α)cos β，A错误；构造函数y＝logsin αx，∵函数y＝logsin αx 在(0，＋∞)上单调递减，∴logsin αcos α<logsin αcos β，B错误； 构造函数y＝(cos α)x 及函数y＝xsin β，∵函数y＝(cos α)x 在R上单调递减，函数y＝xsin β 在(0，＋∞)上单调递增，(cos α)sin α>(cos α)sin β>(cos β)sin β，C正确；(cos α)sin β<(sin α)cos β⇔sin βln (cos α)<cos βln (sin α) ⇔ eq \f(sin β,cos β) > eq \f(ln （sin α）,ln （cos α）) ⇔tan β>logcos αsin α， ∵0<β< eq \f(π,4) ，∴0<tan β<1，又logcos αsin α>logcos αcos α＝1，∴tan β<logcos αsin α，D错误． 【例7】 (多选)已知正数x，y，z 满足3x＝8y＝15z，则下列说法正确的是(　　) A．2x－3y>0 B．2x－3y<0 C．x－5z>0 D．x－5z<0 解析：∵x，y，z均为正数， ∴可设3x＝8y＝15z＝k>1，则x＝log3k，y＝log8k，z＝log15k， 对于A，B，2x－3y＝2log3k－3log8k＝log eq \r(3) k－log2k＝lg k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lg \r(3))－\f(1,lg 2))) ， ∵lg 2>lg eq \r(3) ，∴ eq \f(1,lg \r(3)) > eq \f(1,lg 2) ，又lg k>lg 1＝0， ∴2x－3y>0，A正确，B错误； 对于C，D，x－5z＝log3k－5log15k＝log3k－log eq \r(5,\a\vs4\al(15)) k ＝lg k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lg \r(5,243))－\f(1,lg \r(5,15)))) ，∵lg eq \r(5,243) >lg eq \r(5,15) ， ∴ eq \f(1,lg \r(5,243)) < eq \f(1,lg \r(5,15)) ，又lg k>lg 1＝0， ∴x－5z<0，C错误，D正确． 当题目条件中出现连等式时，把连等式设为一个常参数，通过指数式与对数式的相互转化，进行大小比较．关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数函数和对数函数的图象． 【练6】 (2024·茂名一模)已知x，y，z 均为大于0的实数，且2x＝3y＝log5z，则x，y，z 大小关系正确的是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．z>x>y D．z>y>x 解析：因为x，y，z 均为大于0的实数，所以令2x＝3y＝log5z＝t>1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t>1 的交点的横坐标的关系，故作出函数图象，如图，由图可知z>x>y. $$