专题培优课1 函数性质的综合问题（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 专题培优课1　函数性质的综合问题 探究 函数的单调性与奇偶性的综合 B A 探究 函数的奇偶性与周期性的综合 A B 探究 函数的奇偶性与对称性的综合 C C 探究 函数的周期性与对称性的综合 A C BD 探究 函数的奇偶性与对称性的综合 AD 请完成：课时作业（八） 温馨提示 谢谢观看！ 高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练． 【例1】 (2024·聊城二模)已知f(x)为R上的奇函数，f(2)＝2，若对∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1>x2时，都有(x1－x2)[ eq \f(f（x1）,x2) － eq \f(f（x2）,x1) ]<0，则不等式(x＋1)f(x＋1)>4的解集为(　　) A．(－3，1) B．(－3，－1)∪(－1，1) C．(－∞，－1)∪(－1，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：由(x1－x2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x1）,x2)－\f(f（x2）,x1))) <0，得(x1－x2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x1f（x1）－x2f（x2）,x1x2))) <0， 因为x1－x2>0，x1x2>0所以x1f(x1)－x2f(x2)<0，即x1f(x1)<x2f(x2). 设g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 而g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝2f(2)＝g(2)，则0<x＋1<2，解得－1<x<1. 因为f(x)为R上的奇函数，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)， 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递增， g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝g(－2)，则－2<x＋1<0，解得－3<x<－1. 综上，原不等式的解集为(－3，－1)∪(－1，1). 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． 【练1】 (2024·新疆三模)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且当x∈[0，3]时，f(x)＝xex，则下面结论正确的是(　　) A．f(ln 3)<f(e3)<f(－e) B．f(－e)<f(ln 3)<f(e3) C．f(e3)<f(－e)<f(ln 3) D．f(ln 3)<f(－e)<f(e3) 解析：当x∈[0，3]，f(x)＝xex， f′(x)＝ex(x＋1)>0，∴当x∈[0，3]时，f(x)单调递增． ∵f(x＋6)＝f(x)，∴x∈[18，21]时，f(x)单调递增． 又由f(x)为偶函数，∴f(－e)＝f(e). ∵f(x)满足f(x＋6)＝f(x)， ∴f(e3)＝f(e3－18). 又由1<ln 3<2<e3－18<e， 得f(ln 3)<f(e3－18)<f(e)， 故f(ln 3)<f(e3)<f(－e). 【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则 eq \i\su(k=1,22,f)(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数．令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)，即f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4， 所以 eq \i\su(k=1,22,f)(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 利用函数的奇偶性和周期性求解策略：周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性结合周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知函数值或解析式的定义域内求解． 【练2】 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f( eq \f(3,2) －x)＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 015)＝(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 解析：因为函数f(x)是奇函数且满足f( eq \f(3,2) －x)＝f(x)，可得f( eq \f(3,2) －x)＝－f(－x)， 则f(3－x)＝－f( eq \f(3,2) －x)＝f(－x)，即f(3－x)＝f(－x)，所以f(x)为周期为3的函数． 又因为数列{an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13， 可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝3，,a1＋6d＝13，)) 解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1， 所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 015)＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(4 029). 因为f(－2)＝－3，f(0)＝0，所以f(1)＝－3， 所以f(1)＋f(3)＋f(5)＝0， 所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 015)＝f(1)＋…＋f(4 029)＝f(1)＋f(3)＝－3. 将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心；将偶函数平移可以得到轴对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个轴对称函数平移后都可以变成偶函数，这样便可以得到对称轴． 【例3】 (2024·天津二模)设函数y＝f(x)的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，且x1＋x2＝2a，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称函数f(x)具有对称性，其中点(a，b)为函数y＝f(x)的对称中心，研究函数f(x)＝x＋1＋ eq \f(1,x－1) ＋tan (x－1)的对称中心，求f( eq \f(1,2 026) )＋f( eq \f(3,2 026) )＋f( eq \f(5,2 026) )＋…＋f( eq \f(4 051,2 026) )＝(　　) A．2 026 B．4 051 C．4 052 D．8 104 解析：令函数g(t)＝t＋ eq \f(1,t) ＋tan t，则g(－t)＝－t－ eq \f(1,t) ＋tan (－t)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)＋tan t)) ＝－g(t)， 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， 可得f(x)＝x－1＋ eq \f(1,x－1) ＋tan (x－1)＋2的图象关于点(1，2)中心对称， 即当x1＋x2＝2，可得f(x1)＋f(x2)＝4， 设M＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 026))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2 026))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2 026))) ＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 051,2 026))) ， M＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 051,2 026))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 049,2 026))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 047,2 026))) ＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 026))) ， 所以2M＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 026)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 051,2 026))))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2 026))) ＋f( eq \f(4 049,2 026) )＋…＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 051,2 026)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 026))))) ＝2 026×4＝8 104， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 026))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2 026))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2 026))) ＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4 051,2 026))) ＝4 052. 奇偶性与对称性结合的问题，常利用奇偶函数的奇偶性，通过平移变换转换为一般函数的对称性问题，多考查求值问题． 【练3】 (2025·上海模拟)若函数f(x)＝ eq \f(2（x＋1）2＋sin x,x2＋1) 的最大值和最小值分别为M，m，则函数g(x)＝(M＋m)x＋sin [(M＋m)x－ eq \f(π,3) ]的图象的对称中心不可能是(　　) A．( eq \f(π,3) ， eq \f(4π,3) ) B．( eq \f(π,12) ， eq \f(π,3) ) C．( eq \f(2π,3) ， eq \f(8π,3) ) D．( eq \f(4π,3) ， eq \f(16π,3) ) 解析：设h(x)＝f(x)－2＝ eq \f(4x＋sin x,x2＋1) ，x∈R，则h(－x)＝ eq \f(－4x－sin x,x2＋1) ＝－h(x)，即h(x)为奇函数， ∴M＋m＝h(x)＋2＋h(－x)＋2＝4， ∴g(x)＝4x＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) ＋ eq \f(π,3) . 令s(x)＝4x＋sin 4x， 则s(x)＋s eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－x)) ＝4x＋sin 4x＋4 eq \f(kπ,2) －x＋sin (2kπ－4x)＝2kπ，k∈Z， 可知s(x)＝4x＋sin 4x的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,4)，kπ)) (k∈Z)， 将s(x)＝4x＋sin 4x的图象向右平移 eq \f(π,12) 个单位长度，再向上平移 eq \f(π,3) 个单位长度得到g(x)的图象， ∴g(x)的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,4)＋\f(π,12)，kπ＋\f(π,3))) (k∈Z). 当 eq \f(kπ,4) ＋ eq \f(π,12) ＝ eq \f(2π,3) 时，解得k＝ eq \f(7,3) ，不符合题意，可知不可能为C选项， 又当k＝1，0，5时分别对应选项A，B，D可知A，B，D均为g(x)的对称中心． 【例4】 (2024·大庆三模)已知定义域为R的偶函数满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝ eq \f(1,|x－1|) 在区间[－3，5]上所有解的和为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)， 所以函数f(x)是周期为2的函数． 又g(x)＝ eq \f(1,|x－1|) 的图象也关于直线x＝1对称， 作出函数f(x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示， 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且两函数关于直线x＝1对称， 所以方程f(x)＝ eq \f(1,|x－1|) 在区间[－3，5]上所有解的和为4×2×1＝8. 周期性与对称性的综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴(或对称中心)之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍． 【练4】 (2024·济宁一模)设函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，f(x－2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－1，则f(2 023)－f(2 024)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，且f(－1)＝0. 因为f(x－2)为偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)，所以函数f(x)关于直线x＝－2对称． 又f(x)＝－f(－2－x)＝－f(－2＋x)＝－[－f(－4＋x)]，所以函数f(x)的周期为4. 因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－1， 所以f(2 023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝0， f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝－1， 所以f(2 023)－f(2 024)＝1.故选C. 【例5】 (多选)已知函数f(x)＝log eq \s\do19(\f(1,2))(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域是[－4，2] B．函数y＝f(x－1)是偶函数 C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数 D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称 解析：函数f(x)＝log eq \s\do19(\f(1,2))(2－x)－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]， 由2－x>0，x＋4>0可得－4<x<2，故函数f(x)的定义域为(－4，2)，故A选项错误； y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]的定义域为(－3，3)，设g(x)＝－log2[(3－x)(x＋3)]， 所以g(－x)＝－log2[(3＋x)(－x＋3)]＝g(x)，即y＝f(x－1)是偶函数，故B选项正确； f(x)＝－log2[(2－x)(x＋4)]＝－log2(－x2－2x＋8)＝－log2[－(x＋1)2＋9]＝log eq \s\do19(\f(1,2))[－(x＋1)2＋9]， 当x∈[－1，2)时，t＝－(x＋1)2＋9是减函数，外层y＝log eq \s\do19(\f(1,2))t也是减函数，所以函数f(x)在区间[－1，2)上是增函数，故C选项错误； 由f(－2－x)＝－log2[(x＋4)(2－x)]＝f(x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D选项正确． 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合到一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题． 【练5】 (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(4－x)，且f(x＋1)＝f(1－x)，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的图象关于x＝2对称 C．f(x＋2)为偶函数 D．f(x)是周期为4的周期函数 解析：因为f(x＋1)＝f(1－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称． 因为f(x)＝－f(4－x)，所以f(x＋2)＝－f(2－x)，所以f(x)的图象关于点(2，0)对称． 对于A，由点(2，0)关于直线x＝1的对称点为(0，0)，(2，0)为f(x)的对称中心，且f(x)关于直线x＝1对称， 所以点(0，0)为f(x)的对称中心， 即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)＝－f(4－x)， 所以f(x＋2)＝－f(2－x)， 所以f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故B错误； 对于C，因为f(x)＝－f(4－x)，将x＋2代换x，得到f(x＋2)＝－f(2－x).① 对于f(x＋1)＝f(1－x)，将x＋1代换x，得到f(x＋2)＝f(－x).② 由①②得f(－x)＝－f(2－x)，将－x代换x，得到f(x)＝－f(2＋x)， 与②结合得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋2)为奇函数，故C错误； 对于D，对于f(x＋1)＝f(1－x)，将x－1代换x，得到f(x)＝f(2－x)， 又因为f(x)＝－f(4－x)，所以f(2－x)＝－f(4－x)， 将2－x代换x，得到f(x)＝－f(2＋x)， 将x－2代换x，得到f(x－2)＝－f(x)，所以f(x－2)＝f(x＋2)， 将x＋2代换x，得到f(x)＝f(x＋4)，即f(x)是周期为4的函数，故D正确． $$